삼각형의 성질(1)

아무 삼각형이나 그리면 «변 세 개, 각 세 개» 말고는 할 말이 없습니다. 그래서 조건을 하나 걸어 특별한 성질이 나타나게 만듭니다 — 그 첫 번째가 이등변삼각형입니다.

수업에서 든 비유처럼, 저 과일을 «사과»라고 부르기로 한 것처럼 정의는 이름을 붙이기로 한 약속입니다. 누가 «왜 사과냐»고 따질 수 없습니다.

정의와 성질을 완전한 문장으로 외웁니다. 단어만 띄엄띄엄 외우면 시험 보기의 한 글자 차이를 못 가립니다. 시험에서 가장 먼저 쓰는 것은 첫 번째 성질입니다 — 한 각을 알면 나머지 두 각이 정해집니다.

성질이 «정말로» 맞는지 확인하는 과정이 증명입니다. 도구는 중1 때 배운 삼각형의 합동입니다. 증명의 출발은 꼭지각 ∠A 의 이등분선을 긋고 BC 와 만나는 점을 D 라 하는 것입니다 — 두 삼각형 △ABD, △ACD 로 나누어 합동을 보입니다.

요즘 시험은 증명을 통째로 쓰게 하기보다 증명 과정에 빈칸을 뚫어 들어갈 것을 고르게 합니다. 완성된 그림에서는 모든 표시가 한눈에 보이므로, 어느 것이 먼저 알고 있던 것인지 따로 기억해 두지 않으면 빈칸에 결과를 넣는 실수를 합니다.

두 변이 같다는 것, 밑각이 같다는 것, 꼭지각이 이등분된다는 것, 수직이라는 것, 밑변이 이등분된다는 것이 한 장에 다 표시된 앞의 증명 그림(합동인 두 삼각형)을 머릿속에 넣어 두면, 이등변삼각형이 나올 때마다 필요한 표시를 바로 떠올릴 수 있습니다.

«p 이면 q 이다» 꼴의 문장은 고등학교에서 명제라는 이름으로 자세히 배웁니다. 지금은 앞뒤를 바꾼 문장을 따로 확인해야 한다는 것만 기억합니다.

이등변삼각형에서는 확인 결과 성립합니다 — 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다. 그래서 각이 같다는 것이 보이면 거꾸로 두 변이 같다는 것을 끌어낼 수 있습니다. 이것이 이등변삼각형이 되는 조건입니다.

왜 성립하는가 — ∠B = ∠C 인 △ABC 에서 ∠A 의 이등분선 AD 를 그으면 ∠BAD = ∠CAD, 그리고 삼각형의 세 각의 합이 180° 이므로 ∠ADB = ∠ADC. AD 는 공통이므로 △ABD ≡ △ACD (ASA 합동) → AB = AC.

종이를 접으면 접힌 부분과 원래 부분은 합동입니다 — 그래서 접은 각끼리 크기가 같습니다(중1 때부터 쓰던 사실입니다). 폭이 일정한 종이테이프는 위아래 두 변이 평행합니다 → 평행선이 보이면 엇각을 찾습니다. 접은 각 + 엇각이 한 삼각형 안에서 만나면 두 각이 같아지므로, 앞에서 배운 조건에 따라 이등변삼각형이 됩니다.

시험에서는 이 그림을 보고 «여기에 이등변삼각형이 숨어 있다»를 먼저 알아차리는 것이 관건입니다. 각을 구하든 변을 구하든 거기서 시작합니다.

꼭짓점을 다른 꼭짓점에 맞춰 접는 문제는 접힌 각 = 원래 각을 먼저 표시하고, 모르는 각을 x 로 놓아 삼각형의 세 각의 합으로 식을 세웁니다.

모르는 각이 여럿이면 가장 먼저 나오는 각 하나만 x 로 놓고 나머지를 x 로 나타냅니다. 미지수를 여러 개 두면 식을 세울 수 없습니다. 중1 때 배운 외각의 성질이 여기서 가장 많이 쓰입니다 — 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합입니다.

이등분선이 나오면 나뉜 두 각을 같은 기호(●, ×)로 표시하고, 그 기호 하나를 한 문자로 놓습니다.

두 모양 모두 결과에 규칙이 있지만 공식으로 외우지 말고 매번 유도합니다 — 숫자나 모양이 조금만 바뀌어도 공식이 맞지 않는데, 유도하는 방법(삼각형의 세 각의 합, 외각의 성질)은 그대로 통합니다.

왜 직각삼각형을 따로 다루는가 — ② 에서 이등변삼각형을 꼭지각의 이등분선으로 자르면 직각삼각형 두 개가 생겼습니다. 앞으로 이 모양을 계속 씁니다.

이름의 뜻은 이렇습니다 — R은 Right angle(직각), H는 Hypotenuse(빗변), A는 Angle(각), S는 Side(변)입니다.

RHA 가 성립하는 이유: 직각과 한 예각이 같으면 나머지 한 예각도 저절로 같아집니다(세 각의 합 180°). 그러면 빗변과 그 양 끝의 두 예각이 같으므로 ASA 합동입니다.

RHS 가 성립하는 이유: 두 직각삼각형을 길이가 같은 변(빗변이 아닌 변)끼리 붙이면, 두 빗변이 같으므로 이등변삼각형이 생깁니다. 그 밑각이 같으므로 한 예각이 같아져 RHA 가 됩니다.

합동인 두 삼각형은 대응하는 꼭짓점 순서대로 씁니다(△ABC ≡ △DEF 이면 A↔D, B↔E, C↔F). 두 조건 모두 빗변끼리 같아야 한다는 점에 주의합니다.

직각이등변삼각형과 한 직선이 함께 나오는 모양이 시험에 자주 나옵니다. 같은 각을 찾는 방법 — 직선 위에서 세 각의 합이 180° 이고 가운데가 90° 이므로, 양쪽 두 각의 합이 90° 가 됩니다.

점과 직선 사이의 거리는 그 점에서 직선에 내린 수선의 길이입니다(중1 때 배운 것입니다).

이 성질이 쓰이는 대표적인 곳이 넓이 문제입니다 — 문제에 이등분선과 한 수선이 나오면 다른 변 쪽으로도 수선을 그어 볼 생각을 합니다.

이 성질은 다음 단원인 삼각형의 내심에서 그대로 다시 쓰입니다.