삼각형의 성질(2)

삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원을 그 삼각형의 외접원이라 하고, 외접원의 중심을 외심이라 합니다. 삼각형은 어떤 모양이든 세 꼭짓점을 지나는 원을 딱 하나 그릴 수 있습니다 — 그래서 모든 삼각형은 외접원을 하나씩 가집니다.

그런데 외심을 찾을 때 원을 먼저 그리는 것이 아닙니다. 변의 수직이등분선을 그어 그 교점을 찾습니다 — 그것이 외심을 만드는 방법입니다.

이렇게 찾은 점에는 성질이 하나 따라옵니다. 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 같습니다 — 그 거리가 바로 외접원의 반지름입니다. 만드는 방법과 성질을 문장으로 한 세트로 외웁니다 — 「외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이고, 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.」

외심에서 한 변에 내린 수선의 발은 그 변의 중점입니다(수직이등분선 위의 점이기 때문입니다). 그래서 수선의 발까지의 길이를 두 배 하면 그 변의 길이가 됩니다.

외접원을 대충 그려 보면 외심이 어디 있는지 짐작할 수 있습니다 — 예각삼각형이면 삼각형 안, 둔각삼각형이면 밖에 있습니다.

수업에서 특히 강조한 것은 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이라는 사실입니다. 같은 말을 바꾸면 빗변이 외접원의 지름이 됩니다.

거꾸로 읽는 연습도 필요합니다. 문제가 「이 삼각형의 외심은 한 변 위에 있다」고 하면 → 직각삼각형이구나 → 그 변이 빗변이구나 → 그 변과 마주 보는 각이 90°구나, 가 순서대로 떠올라야 합니다.

이 성질은 나중에 원을 다시 배울 때 크게 쓰입니다.

외심과 세 꼭짓점을 잇는 선분은 모두 반지름입니다 — 그래서 이등변삼각형이 세 개 숨어 있습니다. 외심 문제는 이 세 이등변삼각형의 밑각을 표시하는 데서 시작합니다.

외심이 삼각형 안에 있으면(예각삼각형) 세 내각이 a, a, b, b, c, c 여섯 조각으로 나뉘므로 2(a + b + c) = 180°, 곧 ∠OAB + ∠OBC + ∠OCA = 90°입니다.

△OBC 에서 ∠BOC = 180° − 2b = 2a + 2c 인데, 그 등 뒤의 ∠A 는 a + c 입니다. 그래서 ∠BOC = 2∠A 입니다.

내접원을 말하려면 먼저 접선을 알아야 합니다 — 내접원 입장에서 보면 삼각형의 세 변이 모두 접선이기 때문입니다.

접선의 성질 두 가지를 문장으로 외웁니다. 첫째 「접선은 접점에서 반지름과 수직이다.」 둘째 「원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.」 여기서 접선의 길이는 원 밖의 그 점에서 접점까지의 거리입니다.

삼각형의 세 변에 모두 접하는 원을 내접원, 그 중심을 내심이라 합니다. 모든 삼각형은 내접원을 하나씩 가집니다.

만드는 방법은 세 내각의 이등분선의 교점입니다. 성질은 내심에서 세 변까지의 거리가 같다는 것 — 그 거리가 내접원의 반지름입니다. 점과 직선 사이의 거리는 그 점에서 직선에 내린 수선의 길이입니다(앞 단원에서 배운 각의 이등분선의 성질이 그대로 쓰입니다).

두 내각의 이등분선만 그어도 그 교점은 세 번째 각의 이등분선 위에 있습니다(교점에서 세 변까지의 거리가 같아지므로, RHS 합동으로 확인됩니다).

외심과 한 세트로 외워 둡니다.

내심과 세 꼭짓점을 이으면 각 꼭짓점의 각이 정확히 반으로 나뉩니다(내심이 각의 이등분선의 교점이기 때문입니다). 외심 때처럼 여섯 조각이 두 개씩 같습니다.

첫 번째 관계는 외심과 똑같은 모양입니다 — ∠IAB + ∠IBC + ∠ICA = 90°(여기서 세 각은 각 꼭짓점 각의 절반입니다). 다만 내심은 어떤 삼각형에서든 안에 있으므로, 외심과 달리 둔각삼각형에서도 그대로 성립합니다.

두 번째 관계는 외심과 비교해서 외웁니다 — 외심은 등 뒤의 각의 두 배, 내심은 등 뒤의 각의 절반에 90°를 더한 것입니다.

세 변의 길이를 알 때 한 꼭짓점에서 접점까지의 길이를 구하려면, 구하려는 조각을 x 로 놓고 삼각형을 한 바퀴 돌면서 나머지 조각을 x 로 나타낸 뒤, 마지막 변에서 식을 세웁니다.

넓이는 높이를 모르는 삼각형도 내접원의 반지름과 둘레를 알면 구할 수 있습니다 — 삼각형의 넓이 공식이 하나 더 생긴 셈입니다.

거꾸로도 씁니다 — 넓이와 둘레를 알면 내접원의 반지름을 구할 수 있습니다.

시험에 가장 자주 나오는 내심 그림입니다. 「내심을 지나고 한 변에 평행한 직선」이 나오면 이등변삼각형 두 개를 먼저 찾습니다.

그 결과 DE = DI + IE = DB + EC 이므로, △ADE 의 둘레 = AB + AC — BC 의 길이와는 상관이 없습니다.

넓이를 묻는 문제는 사다리꼴 DBCE 의 높이가 무엇인지를 알아차리는 것이 관건입니다.

외심과 내심이 한 문제에 같이 나오면 각을 따로따로 구합니다 — ∠BOC 는 외심의 관계로, ∠BIC 는 내심의 관계로. 둘을 섞어 한 번에 구하려 하지 않습니다.

이등변삼각형에서는 두 점이 한 직선 위에 있으므로, 예각삼각형이면 「∠OBI」같은 각은 두 각의 차로 구합니다(둔각이면 O 가 BC 건너편으로 가서 합이 됩니다).

어느 점이 위에 있는지는 삼각형마다 다릅니다 — 그림에 의존하지 말고 두 각의 크기를 비교해 큰 쪽에서 작은 쪽을 뺍니다.

마무리하면, 삼각형은 누구나 외접원과 내접원을 가집니다. 나중에 배우는 사각형은 그렇지 않습니다 — 외접원을 가지는 사각형과 내접원을 가지는 사각형이 따로 있습니다.