일차함수와 일차방정식의 관계

앞에서 미지수가 2개인 일차방정식 ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0)을 배웠고, 그다음 일차함수 y = ax + b를 배웠습니다. 두 식은 이항 한 번이면 서로 바뀝니다 — 겉보기에 다른 두 개념이 아니라 같은 식을 보는 두 가지 관점입니다.

이 연결이 왜 중요할까요 — 한쪽 관점에서 막히면 다른 관점으로 바꿔 풀 수 있기 때문입니다. 수업에서 «차수가 이차·삼차로 늘어나도 똑같다»고 했습니다 — 지금 익히는 이 연결은 앞으로도 계속 쓰입니다.

그래프를 그리기 전에는 조건부터 읽습니다. 수업에서 «아무것도 안 보고 대충 그리면 안 된다»고 했습니다 — x, y 의 값이 자연수(또는 정수)로 제한되면 그래프의 모습이 달라집니다.

일차방정식의 그래프를 다루는 길은 둘입니다 — y 에 대하여 풀어 기울기·y절편을 읽는 길, 절편 두 개를 바로 구하는 길. 무엇을 묻는지에 따라 고릅니다: 기울기를 묻거나 다른 직선과 견주어야 하면 앞의 길, 그래프를 그리기만 하면 뒤의 길입니다.

식에 모르는 계수가 있고 그래프가 지나는 점이 주어지면, 그 점의 좌표를 x, y 에 넣어 계수부터 구합니다.

시험 보기에 «두 직선이 평행하다»라고 적혀 있지만 실제로는 같은 직선인 경우가 자주 나옵니다.

x = q 는 x + 0·y = q 처럼 y 의 계수가 0 인 경우입니다. 그래서 «미지수가 2개인 일차방정식»은 아니지만 그래프는 여전히 직선입니다. y = p 도 마찬가지입니다.

수업에서 «급하게 읽지 말라»고 한 자리입니다 — 문제 문장에 축 이름과 «평행·수직»이 함께 나옵니다. 둘 중 하나만 보고 식을 쓰면 x 와 y 가 뒤바뀝니다.

두 점을 지나는 직선이 어느 축에 평행하다는 조건이 주어지면, 같아야 하는 좌표끼리 등식을 세워 모르는 수를 구합니다.

x = q 와 y = p 가 만나는 점은 계산 없이 (q, p) 입니다.

좌표평면의 직선은 모두 ax + by + c = 0 (a, b 가 동시에 0 은 아님) 꼴로 쓸 수 있고, 이 식을 직선의 방정식이라 부릅니다.

수업의 질문 — «직선의 방정식과 일차함수는 같은 말인가?» 답은 아닙니다. 가장 넓은 이름이 직선의 방정식이고 일차함수는 그 일부입니다.

y = p 는 x 가 무엇이든 y 가 하나로 정해지므로 함수이지만, y 가 x 의 일차식이 아니라서 일차함수가 아닙니다 → 상수함수라고 부릅니다.

함수의 뜻(하나의 x 에 하나의 y)을 떠올리면 x = q 가 왜 함수가 아닌지 바로 판단할 수 있습니다.

시험에서 «x축에 평행한 직선이 되기 위한 조건»을 물으면 0 이어야 하는 계수와 0 이 아니어야 하는 계수를 둘 다 적어야 합니다. 보기에서 이 둘을 섞어 냅니다.

연립방정식은 두 직선을 한 좌표평면에 함께 그린 것과 같습니다.

수업의 가장 큰 메시지 — 앞으로 그래프 사이의 교점이 나오면 «연립방정식을 푼다»가 기본입니다. 이차함수나 다른 함수에서도 똑같습니다.

그래프에서 해를 읽으면 한눈에 보이지만, 교점이 눈금에 딱 맞지 않으면 정확한 값을 읽을 수 없습니다 → 계산으로 확인합니다.

문제에 교점의 좌표가 없어도 «두 직선의 교점을 지나는» 이라는 말이 보이면 그것이 신호입니다.

세 직선이 한 점에서 만나는 문제는 모르는 수가 없는 두 식을 골라 먼저 연립합니다. 모르는 수가 든 식을 먼저 쓰면 미지수가 셋이 되어 풀리지 않습니다.

x = k 처럼 축에 평행한 직선도 직선이므로, «x = k 가 두 그래프의 교점을 지난다»도 세 직선이 한 점에서 만나는 문제와 같습니다.

앞에서 연립방정식을 배울 때 계수의 비로 해가 무수히 많은지·없는지를 가렸습니다. 새로 외울 것은 없습니다 — 그 판별이 좌표평면에서 무엇을 뜻하는지를 보는 것입니다.

두 식을 y 에 대하여 풀어 기울기·y절편을 견주어도 같은 결론이 나옵니다. 계수의 비는 식을 정리하지 않고 바로 쓸 수 있어 빠를 뿐입니다.

밑변이 x축이 아니라 y = 1 같은 x축에 평행한 직선 위에 있으면, 높이는 위쪽 꼭짓점의 y좌표에서 그 직선의 높이를 뺀 값입니다.

세 직선이 삼각형을 만들지 못하는 경우를 찾는 문제는 두 갈래를 빠짐없이 셉니다 — 세 직선이 한 점을 지나는 경우, 어느 두 직선이 평행한 경우. 평행한 경우는 직선마다 따로 확인합니다.

직사각형·평행사변형은 가운데 점(두 대각선이 만나는 점)을 중심으로 반 바퀴 돌리면 자기 자신과 겹치는 도형입니다. 그래서 그 점을 지나는 직선으로 자르면 두 조각의 모양이 같아 넓이도 같습니다.

삼각형의 넓이를 이등분할 때는 한 꼭짓점과 마주 보는 변의 중점을 잇습니다(밑변이 반, 높이는 같다).