연립일차방정식의 풀이

6단원에서 가감법과 대입법으로 연립방정식을 푸는 법을 이미 배웠습니다. 이번 단원은 새로운 풀이법을 배우는 것이 아니라, 식이 괄호·소수·분수로 지저분할 때 그것을 어떻게 정리해서 그 두 방법으로 끌고 가는지를 배웁니다.

가감법(소거법)은 두 식을 통째로 더하거나 빼서 한 문자를 지우는 방법이고, 대입법은 한 식을 y = … 꼴로 정리해 다른 식에 갈아 끼워 한 문자를 지우는 방법입니다.

시험에서는 「대입법으로 풀어라」처럼 방법을 지정하는 문제도 나옵니다. 그때는 지정된 방법을 따라야 하므로 두 방법을 모두 손에 익혀 두어야 합니다.

괄호는 분배법칙으로 풀어 ax + by = c 꼴로 정리한 뒤에 연립합니다. 정리만 끝나면 6단원에서 풀던 것과 똑같습니다. 괄호가 여러 겹이면 가장 안쪽부터 풉니다.

괄호 앞에 마이너스가 있을 때는 부호를 놓치기 특히 쉬우니 주의합니다.

소수점 아래 자리 수만큼 양변에 10, 100, … 을 곱하면 정수 계수로 바꿀 수 있습니다. 여기까지 정리하고 나면 6단원에서 풀던 꼴이 그대로 나옵니다.

순환소수는 ×10 으로 해결되지 않습니다. 끝이 없는 소수라 자리를 옮겨도 소수가 그대로 남기 때문입니다. 1단원에서 배운 대로 먼저 분수로 바꾼 뒤 정리합니다. 자주 쓰는 값은 아래에 정리했습니다.

그 식에 있는 분모들의 최소공배수를 양변에 곱합니다. 소수와 마찬가지로 두 식에 곱하는 수가 달라도 됩니다.

⚠ 곱하기를 빠뜨리는 자리는 정해져 있습니다. 아래 그림에서 붉게 표시한 곳을 눈에 익혀 두세요.

소수와 분수가 한 문제에 섞여 나오면 각 식을 따로 정리하면 됩니다.

A = B, B = C, A = C 세 가지를 만들 수 있고, 그중 두 개만 골라 연립하면 됩니다. 나머지 하나는 저절로 성립합니다.

C 자리에 상수가 오면 A = C, B = C 로 묶는 것이 유리합니다 — 우변이 이미 상수라 이항할 것이 없기 때문입니다.

보통 연립방정식은 해가 한 쌍입니다. 그렇지 않은 경우를 특수한 경우라고 합니다. 판별은 두 식의 계수끼리 비를 견주는 것으로 끝납니다. x의 계수, y의 계수, 상수항으로 각각 비를 만들어 견주면 됩니다.

식의 꼴로 보면 — 해가 무수히 많다는 한 식에 수를 곱했을 때 양변이 완전히 같아지는 경우이고, 해가 없다는 좌변은 같아지는데 우변만 다른 경우입니다.

두 연립방정식의 해가 같을 때는 네 식의 해가 모두 같다는 뜻입니다. 상수(a, b)가 없는 두 식을 먼저 골라 풀어 해를 구하고, 그 해를 나머지 두 식에 대입해 상수를 구합니다.

조건이 한 줄 더 붙는 문제는 그 조건을 반드시 식으로 옮겨 적고 시작하세요. 머릿속에만 두면 세 번째 식이 있다는 사실을 잊은 채 미지수 하나를 남기고 막히게 됩니다.

시험에 자주 나오는 유형입니다. 핵심은 두 식을 나눠 보는 것입니다 — 바르게 본 식은 잘못 푼 사람의 해도 그대로 만족하고, 잘못 본 식은 그 값을 모르므로 미지수로 놓거나 잘못 푼 해를 대입해 되찾습니다.

이 유형에서 가장 많이 하는 실수는 잘못 푼 해를 쓸모없다고 버리는 것입니다. 잘못 푼 해도 바르게 본 식은 그대로 만족하므로, 그것이 잘못 본 값을 되찾는 열쇠가 됩니다.