연립일차방정식의 활용

지금부터는 지난 두 단원에서 배운 풀이법을 문장제에 적용합니다. 이 단원의 목적은 방정식을 «푸는» 것이 아니라 «만드는» 것입니다 — 수업에서 선생님이 세 번 반복해 강조한 말입니다. 푸는 법은 이미 끝났습니다. 여기서 배우는 것은 미지수 두 개를 어떻게 잡고 식 두 개를 어떻게 세우느냐입니다.

왜 미지수를 굳이 둘로 놓을까요? 하나로 줄이면 나머지 하나를 항상 «전체 − x» 꼴로 계속 표현해야 해서, 조건이 조금만 늘어도 식이 손댈 수 없이 복잡해집니다.

두 그룹은 어떻게 알아볼까요? 문제에 서로 다른 두 대상(어른과 어린이, 사탕과 초콜릿, 걸은 구간과 뛴 구간)이 나오면 그 둘입니다. 문제가 직접 말해 주지 않는 것도 있습니다 — «회의에 참석한 사람»은 «찬성한 사람 + 반대한 사람»이라는 상식적인 읽기가 필요합니다.

사탕 x개와 초콜릿 y개를 합해 11개 사고 6200원을 낸 경우라면 x + y = 11, 400x + 700y = 6200으로 풀려 사탕 5개, 초콜릿 6개가 나옵니다.

때로는 연립방정식을 풀어 얻은 x, y의 값이 아니라 그것으로 다시 계산한 값이 답입니다. 연립방정식을 세우고 푸는 데까지 다 해내고도 이 마지막 한 걸음에서 틀리면 점수를 받지 못합니다 — 시험에서 정답률이 갈리는 자리가 대체로 여기입니다.

확인 단계는 왜 필요할까요? 사람 수가 소수로 나오거나 나이가 음수면, 답이 아니라 식을 잘못 세운 것입니다. 구한 값을 넣어 원래 조건이 맞는지 항상 확인하세요.

수에 관한 문제에서는 나눗셈을 몫과 나머지로 따로 두지 않고, (나누어지는 수) = (나누는 수) × (몫) + (나머지) 꼴로 씁니다. 이 꼴이라야 나머지가 식 안으로 들어옵니다.

«각 자리 숫자의 합»과 «수의 값»은 다릅니다 — 앞의 것은 x + y, 뒤의 것은 10x + y입니다. 세 자리 수라면 백의 자리 숫자에 100을 곱합니다.

나이 문제에서 미지수는 왜 현재를 기준으로 잡을까요? 미래를 기준으로 잡으면 «몇 년 후»를 다시 표현할 방법이 없기 때문입니다.

동물의 마릿수나 문제의 개수처럼 세는 관점과, 금액이나 다리의 개수처럼 재는 관점이 있으면 식이 두 개 나옵니다. 개수와 금액은 단위가 다르기 때문입니다 — 같은 관점으로 두 번 세면 똑같은 식이 두 번 나와 아무것도 못 풉니다.

개와 닭이 합해 15마리, 다리가 모두 46개인 경우라면 x + y = 15, 4x + 2y = 46으로 풀려 개 8마리, 닭 7마리가 나옵니다.

평균이 나오면 총합으로 바꿉니다: (평균) × (인원) = (총합). 그리고 개수를 물으면 «몇 개», 값을 물으면 «얼마» — 마지막 문장을 놓치면 다른 미지수를 답하게 됩니다.

예제 — 평균은 총합으로. 두 과목의 평균이 80점이고 한 과목이 다른 과목보다 10점 높다면, x + y = 160과 x − y = 10을 연립해 85점과 75점임을 알 수 있습니다. 평균이 나오면 먼저 총합으로 바꿔 두는 것이 요령입니다.

«작년에 비해 몇 % 늘었다»처럼 문제의 조건이 전부 과거를 기준으로 한 말이기 때문에, 미지수는 과거(작년, 원가)의 값으로 잡습니다.

원가와 정가는 구조를 먼저 봅니다: 이익을 붙이면 (원가) × (1 + 이익률), 할인하면 (원가) × (1 − 할인율)입니다. 110/100으로 바로 정리해도 되지만, 처음에는 1 + 10/100 꼴로 써야 구조가 보입니다.

전체가 몇 명 늘었다·줄었다처럼 변화량이 주어질 때는 변화량만으로 식을 세워도 됩니다. 계수가 작아져 계산이 훨씬 편해집니다.

예제 — 원가에 이익을 붙이면. 두 상품 A, B의 원가의 합이 50000원인데 A에는 20%, B에는 10%의 이익을 붙여 정가를 정했더니 정가의 합이 57000원이 되었다고 합시다. x + y = 50000과 (1 + ²⁰⁄₁₀₀)x + (1 + ¹⁰⁄₁₀₀)y = 57000을 연립하면 A의 원가는 20000원, B의 원가는 30000원입니다.

거리, 속력, 시간 중 둘을 알면 나머지 하나가 정해집니다 — 그래서 무엇을 미지수로 잡느냐가 식의 모양을 정합니다.

단위는 식을 세우기 전에 하나로 고쳐 두는 편이 안전합니다. 식을 다 세운 뒤에 고치려 하면 어느 항에 무엇을 곱하고 나눠야 하는지 헷갈려 오히려 실수가 늘어납니다. 40분을 ²⁄₃시간으로, 1.4 km를 1400 m로 바꿔 놓고 시작하세요.

상황이 잘 안 잡히면 그림을 그려 보세요 — 수업에서 특히 강조한 부분입니다. 어디서 출발해 어디서 무엇이 바뀌는지 선 위에 표시하면 구간이 보입니다.

속력이 셋으로 늘어나거나 구간이 셋으로 나뉘어도 표를 한 줄 더 그리면 됩니다.

이 유형은 문제가 직접 말해 주지 않는 조건을 읽어 내는 것이 전부입니다. «만났다» 한 마디에 조건이 하나 더 숨어 있습니다 — 마주 보고 가면 거리가 합쳐지고, 뒤따라가면 거리가 같아집니다. 두 사람이 같은 방향인지 반대 방향인지부터 확인하세요.

24 km 떨어진 두 지점에서 마주 보고 걸어 만나는 경우라면 x + y = 24, x/3 = y/5로 풀려 9 km와 15 km를 걸었다는 것을 알 수 있습니다 — 두 사람 모두 3시간을 걸은 셈입니다.

예제 — 뒤따라가서 만나기. 동생이 분속 80 m로 집을 나선 지 18분 후에 형이 분속 240 m로 뒤따라갔다고 합시다. 동생이 걸린 시간을 x분, 형이 걸린 시간을 y분이라 하면 시간의 차가 x − y = 18이고, 같은 지점에서 만났으니 거리가 같아 80x = 240y입니다. 풀면 형이 출발한 지 9분 후에 만납니다(동생은 27분을 걸었습니다).

트랙 문제에서는 왜 속력을 미지수로 잡을까요? 묻는 것이 속력이고, 각자 움직인 거리도 걸린 시간도 따로는 알 수 없기 때문입니다. 거리를 미지수로 잡는 평소 방식이 통하지 않는 드문 경우입니다.

왜 속력이 더해지고 빼질까요? 강물이나 바람이 밀어 주거나 막아서기 때문입니다. 배와 강물처럼 움직이는 것이 둘이면 각각의 속력을 미지수로 잡습니다.

내려갈 때와 거슬러 올라갈 때 걸린 시간이 다르게 주어지면, 두 식 (거리) = (속력) × (시간)을 세워 연립하면 됩니다.

예제 — 강을 오르내리기. 40 km를 강물을 타고 내려가는 데 2시간, 거슬러 올라가는 데 5시간이 걸렸다고 합시다. 내려갈 때의 속력은 x + y, 거슬러 올라갈 때는 x − y이므로 2(x + y) = 40, 5(x − y) = 40입니다. 풀면 배의 속력은 시속 14 km, 강물의 속력은 시속 6 km입니다.

기차는 왜 다를까요? 배와 강물처럼 움직이는 것이 둘인 경우와 달리, 짝이 될 두 번째 속력이 없습니다. «완전히 지난다»와 «보이지 않는다»는 재는 구간이 다르지만, 어느 쪽이든 코가 움직인 거리를 재는 것이 기준입니다.

왜 전체를 1로 놓을까요? 전체 일의 양이 얼마인지 문제가 말해 주지 않기 때문입니다. 어떤 수로 놓아도 상관없지만 1로 놓으면 계산이 가장 깔끔합니다.

이 유형은 답이 미지수의 역수인 경우가 많습니다. 하루에 하는 일의 양을 구했다면 한 번 더 뒤집어야 «며칠»이 나옵니다 — ①의 원칙 2가 가장 자주 걸리는 자리입니다.

농도에서는 왜 소금의 양을 쫓을까요? 농도끼리는 그냥 더할 수 없지만(5%와 10%를 섞어도 15%가 되지 않습니다) 소금의 양은 그대로 더해지기 때문입니다. 물을 더 붓거나 증발시키면 소금물의 양은 변하지만 소금의 양은 변하지 않으므로 두 줄을 따로 확인해야 합니다.

비율 문제에서는 기본 단위를 맞춥니다 — «100 g당 얼마»로 주어졌는데 먹는 양이 100 g의 배수라는 보장은 없습니다. 1 g당으로 고쳐 놓고 시작하면 안전합니다.