1수의 확장과 유리수
중1 1학기에서는 자연수를 소인수분해·최대공약수·최소공배수로 깊이 파고들고, 그 자연수를 정수와 유리수로 넓혀 왔습니다. 중2 1학기 1단원은 그렇게 만난 유리수를 소수의 관점에서 다시 들여다보는 단원입니다.
🗺️ 중2 1학기 지도
수 → 유리수와 소수 (이번 단원)식 → 단항식·다항식의 계산
대수 → 일차부등식·연립일차방정식
함수 → 일차함수
1-1에서 배운 정비례·반비례는 이름만 없었을 뿐 사실 함수였고, 중3에서는 무리수·이차방정식·이차함수로 이어집니다.
⚠️ "소수", 헷갈리지 않도록
1-1에서 배운 소수(素數, prime number)는 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수(2, 3, 5, 7…)였습니다. 이 단원에서 배우는 소수(小數, decimal)는 0.5, 3.14처럼 소수점이 있는 수예요. 한글로는 똑같이 "소수"지만 전혀 다른 개념이니 혼동하지 않도록 주의하세요.유리수는 분모, 분자가 정수이고 분모가 0이 아닌 분수로 나타낼 수 있는 수입니다.
🔑 정수는 유리수다 — 그러나 역은 성립하지 않는다
정수는 모두 분모가 1인 분수로 볼 수 있으므로 유리수입니다. 예) 5 = 5/1하지만 1/2 처럼 정수가 아닌 유리수도 있으므로, "유리수 = 정수"는 성립하지 않습니다.
유리수
정수
자연수1, 2, 3, …
0
음의 정수−1, −2, −3, …
정수가 아닌 유리수
1/2, −0.7, 0.3, 2/5 …
무리수
순환하지 않는 무한소수
π = 3.141592… (중3에서 만납니다)
유리수 상자와 무리수 상자는 겹치는 부분이 전혀 없다
Q. 다음 다섯 개의 수 −4, 0, 5/2, 6/3, −0.7 중에서 정수가 아닌 유리수는 몇 개인가?
Q. 유리수 −8/4 은 정수인가? (예 / 아니요로 답하시오)
2분수와 소수 — 같은 수의 다른 옷
자연수·정수·유리수는 수를 분류하는 이름입니다. 반면 분수와 소수는 그 수를 어떻게 적을 것인가, 즉 표현의 형태입니다. 1/2 과 0.5 는 서로 다른 수가 아니라 같은 수를 다르게 적은 것일 뿐입니다.
🏆 시험 포인트 — 가장 많이 헷갈리는 개념
"분수는 유리수이고 소수는 무리수다"처럼 분수·소수를 수의 분류로 착각하면 안 됩니다. 분수도 소수도 표현 형태일 뿐이고, 그 값이 유리수인지 아닌지는 따로 판단해야 합니다.그런데 유리수는 왜 굳이 "분수로 나타낼 수 있는 수"로 정의할까요? "소수로 나타낼 수 있는 수"라고 하면 안 될까요? 1/3 = 0.333…처럼 나눗셈이 끝나지 않는 분수가 있어서, 소수만으로는 표현이 깔끔하지 않습니다. 게다가 정의를 "소수로 나타낼 수 있는 수"로 넓혀 버리면 원주율 π = 3.141592…처럼 유리수가 아닌 수까지 들어와 버립니다. 그래서 분수를 기준으로 삼는 것입니다.
🔑 분수를 소수로 — 나눗셈
분수를 소수로 바꾸는 방법은 분자를 분모로 나누는 것입니다.1/8 = 1 ÷ 8 = 0.125
1/3 = 1 ÷ 3 = 0.333… (나눗셈이 끝나지 않는다)
2/7 을 나눗셈으로 직접 계산해 보면, 나머지가 되풀이되는 과정을 눈으로 볼 수 있습니다.
| 단계 | 계산 | 몫의 자리 숫자 | 나머지 |
|---|---|---|---|
| 1 | 20 ÷ 7 | 2 | 6 |
| 2 | 60 ÷ 7 | 8 | 4 |
| 3 | 40 ÷ 7 | 5 | 5 |
| 4 | 50 ÷ 7 | 7 | 1 |
| 5 | 10 ÷ 7 | 1 | 3 |
| 6 | 30 ÷ 7 | 4 | 2 ← 처음으로 되돌아옴 |
나머지가 되풀이되므로 몫도 되풀이된다 → 2/7 = 0.285714
Q. 7/8 을 소수로 나타내면?
Q. 분수와 소수의 관계로 옳은 것의 번호는? ① 수를 분류하는 서로 다른 이름이다 ② 같은 수를 나타내는 서로 다른 형태이다
3유한소수와 무한소수
유한소수는 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 유한 번 나타나는 소수입니다. 무한소수는 소수점 아래 숫자가 무한히 계속되는 소수고요.
| 분수 | 소수로 나타내면 | 0이 아닌 숫자가 | 분류 |
|---|---|---|---|
| 1/8 | 0.125 | 유한 번 | 유한소수 |
| 7/40 | 0.175 | 유한 번 | 유한소수 |
| 1/3 | 0.333… | 무한 번 | 무한소수 |
| 1/6 | 0.1666… | 무한 번 | 무한소수 |
| 분수로 못 쓴다 | π = 3.141592… | 무한 번 | 무한소수 |
🔑 0을 무한히 붙여도 유한소수다
0.5 = 0.5000…처럼 소수점 아래에 0을 아무리 길게 늘어놓아도, 0이 아닌 숫자는 딱 한 번(5)만 나타나므로 유한소수입니다. "소수점 아래 숫자가 끝없이 이어지니 무한소수 아닌가?"라고 헷갈리기 쉬운 지점이에요.💡 π는 문자가 아니라 상수
π(파이) = 3.141592…는 1-2 원과 부채꼴 단원에서 만난 원주율입니다. x, y 같은 문자가 아니라 정해진 하나의 값을 가진 상수예요. 다만 그 값을 분수로 나타낼 수 없어서(중3에서 배웁니다), 소수로 적으면 순환하지 않는 무한소수가 됩니다.Q. 11/20 을 소수로 나타내면 유한소수인가? (예 / 아니요)
Q. 7/12 를 소수로 나타낼 때, 소수점 아래 열째 자리의 숫자는?
4순환소수와 순환하지 않는 무한소수
무한소수는 다시 둘로 나뉩니다. 소수점 아래에서 일정한 부분이 되풀이되는 것과, 전혀 되풀이되지 않는 것입니다.
🔑 순환소수와 무리수
되풀이되는 무한소수를 순환소수라 하고, 순환소수는 모두 유리수입니다.되풀이되지 않는 무한소수는 무리수입니다(중3에서 자세히 배웁니다).
즉 유리수 = 유한소수 + 순환소수이고, 유리수와 무리수는 겹치는 부분이 전혀 없습니다.
소수
유한소수
0.5, 0.125
유리수
무한소수
소수점 아래가 끝없이 이어진다
순환소수
0.3, 0.12
유리수
순환하지 않는 무한소수
π = 3.141592…
무리수
무한소수라고 모두 무리수인 것은 아니다 — 순환소수는 유리수다
⚠️ "무한소수 = 무리수"는 틀린 말
0.4040…처럼 되풀이되는 순환소수는 무한소수이지만 유리수입니다. "무한소수라고 다 무리수는 아니다"라는 것을 꼭 기억하세요.Q. "모든 무한소수는 무리수이다"는 옳은가? (예 / 아니요)
Q. 다음 중 유리수가 아닌 것의 번호는? ① 0.4 ② 0.4 ③ 0.4040040004… (0의 개수가 하나씩 늘어난다)
5순환마디와 순환소수의 표기
순환마디는 소수점 아래에서 되풀이되는 부분 중 가장 짧은 것입니다. 표기할 때는 순환마디의 첫 숫자와 끝 숫자 위에 점을 찍습니다. 순환마디가 한 자리면 점을 하나만 찍고요.
| 소수 | 순환마디 | 자릿수 | 표기 |
|---|---|---|---|
| 0.333… | 3 | 1 | 0.3 |
| 0.323232… | 32 | 2 | 0.32 |
| 0.325325… | 325 | 3 | 0.325 |
| 0.4275275… | 275 | 3 | 0.4275 |
| 2.752752… | 752 | 3 | 2.752 |
맨 아래 줄이 함정 — 순환마디는 소수점 뒤에서만 찾으므로 275가 아니라 752
⚠️ 순환마디는 소수점 "뒤"에서만 찾는다
2.752752752…에서 순환마디를 275라고 답하기 쉬운데, 정수 부분(2)은 순환마디에 들어가지 않습니다. 소수점 뒤 752752…에서 되풀이되는 부분을 찾아야 하므로 순환마디는 752입니다.Q. 0.6183183183… 의 순환마디는?
Q. 5.6363636… 의 순환마디는?
6유한소수가 되는 조건
우리가 쓰는 수 표기법은 십진법입니다. 0부터 9까지 열 개의 기호를 쓰고, 자릿값이 10의 거듭제곱(1, 10, 100, …)인 방식이에요. 그래서 분모를 10의 거듭제곱으로 만들 수 있으면 그 분수는 곧바로 소수가 됩니다.
💡 10ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ
10 = 2×5, 100 = 2²×5², 1000 = 2³×5³ … 즉 10의 거듭제곱은 항상 2와 5의 거듭제곱의 곱입니다. 그래서 분모의 소인수가 2와 5뿐이면, 분모·분자에 2 또는 5를 적당히 곱해 분모를 10의 거듭제곱으로 만들 수 있습니다.1
주어진 분수를 기약분수로 약분한다.
이 단계를 건너뛰면 오답 — 7/14 는 분모에 7이 있어 보이지만 약분하면 1/2 이다
↓
2
분모를 소인수분해한다.
↓
3
분모의 소인수를 살펴본다.
2와 5뿐이다 → 유한소수
9/40 = 9/(23×5) → 0.225
2, 5 이외의 소인수가 있다 → 순환소수
1/150 = 1/(2×3×52) → 0.006
1/2 = 5/10 = 0.5 처럼 분모·분자에 5를 곱해 분모를 10으로 만들 수도 있고, 9/40 = 9/(2³×5) = 225/1000 = 0.225 처럼 분모·분자에 5²을 곱해 분모를 1000으로 만들 수도 있습니다.
Q. 21/56 은 유한소수로 나타낼 수 있는가? (예 / 아니요)
Q. 7/60 에 어떤 자연수를 곱하여 유한소수로 나타낼 수 있게 할 때, 가장 작은 자연수는?
7순환소수를 분수로 (1) — 방정식
순환소수를 기약분수로 바꾸는 방법을 배웁니다. 핵심은 x로 놓고 10의 거듭제곱을 곱해, 소수점 아래를 완전히 겹친 뒤 빼는 것입니다.
🔑 예제 — x = 0.273
순환마디가 273으로 세 자리이므로 1000배합니다.1000x = 273.273273… , x = 0.273273… 두 식을 빼면 소수점 아래가 완전히 사라집니다.
1000x − x = 273 → 999x = 273 → x = 273/999 = 91/333
순환하지 않는 부분이 섞여 있으면 두 번 곱해서 뺍니다.
| 1000x = | 372 | .727272… |
| −) 10x = | 3 | .727272… |
| 990x = | 369 |
소수점 아래가 완전히 같으므로 빼면 통째로 사라진다 → x = 369/990 = 41/110
🏆 시험 포인트 — 곱하는 두 수를 정하는 법
x = 0.372 는 순환하지 않는 자리(3)가 하나, 순환마디(72)가 두 자리입니다. 그래서 1000배(순환마디까지 포함해 소수점을 옮긴 것)와 10배(순환하지 않는 부분만 옮긴 것)를 곱해 뺍니다. 두 식 모두 소수점 아래가 72727272…로 똑같아야 뺐을 때 완전히 사라집니다.Q. x = 0.45 일 때, 100x − x 의 값은?
Q. 0.135 을 기약분수로 나타내면? (a/b 꼴로 입력)
8순환소수를 분수로 (2) — 공식과 역변환
매번 방정식을 세우는 대신, 공식으로 한 번에 구할 수도 있습니다.
분모
9를 순환마디 자릿수만큼, 0을 순환하지 않는 자릿수만큼 이어 쓴 수
분자
(소수점을 뺀 전체 수) − (순환하지 않는 부분의 수)
| 순환소수 | 순환하는 자릿수 | 순환하지 않는 자릿수 | 분모 | 분자 | 기약분수 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.3 | 1 | 0 | 9 | 3 − 0 | 1/3 |
| 0.53 | 2 | 0 | 99 | 53 − 0 | 53/99 |
| 0.532 | 2 | 1 | 990 | 532 − 5 | 527/990 |
| 1.57 | 2 | 0 | 99 | 157 − 1 | 52/33 |
| 0.04 | 1 | 1 | 90 | 04 − 0 | 2/45 |
분모는 소수점 뒤만 보고, 분자는 정수부까지 전부 본다
예를 들어 0.532 는 순환마디가 2자리(32), 순환하지 않는 자리가 1자리(5)이므로 분모는 990, 분자는 (532−5)=527 → 527/990. 1.57 은 (157−1)/99 = 156/99 = 52/33, 0.3 은 3/9 = 1/3입니다.
🏆 시험 포인트 — 거꾸로도 읽을 줄 알아야 한다 (수업에서 말한 "최종 목표")
분모가 9, 99, 90, 990 같은 꼴이면 거꾸로 순환소수를 읽어낼 수도 있습니다.1/3 = 3/9 = 0.3
2/45 = 4/90 = 0.04
11/45 = 22/90 → 분자 24−2=22 → 0.24
Q. 0.345 을 기약분수로 나타내면? (a/b 꼴로 입력)
Q. 7/90 을 순환소수로 나타낼 때 순환마디는?
📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)
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🔓 연습문제 잠금 해제
아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.
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✏️ 연습문제
기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용 10문제를 모두 채점하면 심화가 열립니다. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.
기본기본 — 유리수·소수의 분류와 순환마디0 / 10
1.다음 다섯 개의 수 −6, 0, 9/3, −2.5, 4/7 중에서 정수가 아닌 유리수는 몇 개인지 구하시오.
2.3/16 을 소수로 나타내시오.
3.5/6 을 소수로 나타낼 때, 순환마디를 구하시오.
4.순환소수 0.416 의 순환마디는 몇 자리인지 구하시오.
5.2.1345345345… 의 순환마디를 구하시오.
6.다음 중 유한소수로 나타낼 수 있는 것의 번호를 쓰시오. ① 3/14 ② 7/40 ③ 5/12
7.17/40 을 소수로 나타내시오.
8.다음 중 순환소수 0.27 과 같은 수의 번호를 쓰시오. ① 0.2777… ② 0.2727… ③ 0.2727
9.0.45 을 기약분수로 나타내시오. (a/b 꼴)
10.0.16 을 기약분수로 나타내시오. (a/b 꼴)
응용응용 — 조건을 만족하는 분수 찾기0 / 10
🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.
1.두 분수 15/84 와 21/90 에 어떤 자연수 A를 곱하여 두 분수가 모두 유한소수로 나타내어지도록 할 때, 가장 작은 자연수 A의 값을 구하시오.
2.27개의 분수 1/28, 2/28, 3/28, …, 27/28 중에서 유한소수로 나타낼 수 있는 것의 개수를 구하시오.
3.분수 x/180 은 유한소수로 나타낼 수 있고, 기약분수로 나타내면 7/y 이다. x가 두 자리 자연수일 때 x + y 의 값을 구하시오.
4.0.35 + 0.1 을 기약분수로 나타내시오. (a/b 꼴)
5.1.27 을 기약분수로 나타내시오. (a/b 꼴)
6.분수 11/45 를 순환소수로 나타내면 0.ab 꼴이다 (a, b는 한 자리 숫자). a + b 의 값을 구하시오.
7.어떤 기약분수를 소수로 나타내는데, 지호는 분모를 잘못 보아 0.5 로 나타내고, 서연이는 분자를 잘못 보아 0.27 로 나타내었다. 처음 기약분수를 순환소수로 나타낼 때, 그 순환마디를 구하시오.
8.두 분수 1/4 과 2/3 사이의 분수 중에서 분모가 24이고 유한소수로 나타낼 수 있는 것의 개수를 구하시오.
9.순환소수 0.2317 의 소수점 아래 50번째 자리의 숫자를 구하시오.
10.두 분수 n/140 과 n/36 이 모두 유한소수로 나타내어질 때, 자연수 n 중 가장 작은 두 자리 수를 구하시오.
심화심화 — 조건 역추적과 자릿수 다루기0 / 10
🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.
🔮 전략
이 세트는 ① 분모의 소인수를 조건으로 되짚거나 ② 잘못 본 분수에서 원래 분수를 복원하거나 ③ 소수점 아래 특정 자리·자릿수의 합을 다룹니다. 순서는 늘 같습니다 — 주어진 순환소수를 먼저 분수로 바꾸고 → 분모를 소인수분해해 조건으로 옮기고 → 마지막에 개수·자릿수를 센다.
🧩 단계별 풀이 — 조건을 만족하는 분자 세기
분모가 60인 분수 중에서 1/5 이상 7/15 이하인 것 가운데, 소수로 나타내면 순환소수가 되는 것은 몇 개인가?
STEP 1
범위를 분모 60으로 통일합니다. 1/5 = 12/60, 7/15 = 28/60 이므로 분자 n은 12 이상 28 이하, 모두 17개입니다.
범위를 분모 60으로 통일합니다. 1/5 = 12/60, 7/15 = 28/60 이므로 분자 n은 12 이상 28 이하, 모두 17개입니다.
STEP 2
60 = 2²×3×5 이므로 n/60 이 유한소수가 되려면 3이 약분되어야 합니다. 즉 n이 3의 배수일 때만 유한소수입니다.
60 = 2²×3×5 이므로 n/60 이 유한소수가 되려면 3이 약분되어야 합니다. 즉 n이 3의 배수일 때만 유한소수입니다.
STEP 3
12 이상 28 이하의 3의 배수는 12, 15, 18, 21, 24, 27 → 6개(유한소수).
12 이상 28 이하의 3의 배수는 12, 15, 18, 21, 24, 27 → 6개(유한소수).
정답
순환소수가 되는 것은 17 − 6 = 11개.
순환소수가 되는 것은 17 − 6 = 11개.
1.두 분수 18/55 와 21/78 에 어떤 자연수 a를 곱하면 두 분수가 모두 유한소수로 나타내어진다. 이때 가장 작은 자연수 a의 값을 구하시오.
2.0.2 와 5/6 사이의 분수 중에서 분모가 48인 분수가 유한소수로 나타내어지는 것의 개수를 구하시오.
3.길이가 1 m인 실을 남김없이 사용하여 정n각형을 만들려고 한다. 30보다 작은 자연수 n 중에서 정n각형의 한 변의 길이(m)를 유한소수로 나타낼 수 있는 n의 개수를 구하시오.
4.어떤 기약분수를 소수로 나타내는데, 민서는 분자를 잘못 보아 0.583 으로 나타내고, 준우는 분모를 잘못 보아 0.5 로 나타내었다. 처음 기약분수를 구하시오. (a/b 꼴로 입력)
5.순환소수 x = 0.54 에 대하여 y = 1 − (1/3)x 라 하자. y를 소수로 나타낼 때, 소수점 아래 첫째 자리부터 45번째 자리까지의 숫자의 합을 구하시오.
6.순환소수 x = 0.abc (순환마디가 abc인 세 자리 순환소수)에 대하여 1/x = 3.36 이다. 한 자리 숫자 a, b, c에 대하여 2a + b − c 의 값을 구하시오.
7.1.2 × 2 − 0.5 + 1.16 − 0.83 을 계산한 값을 기약분수로 나타내면 a/b 이다. a + b 의 값을 구하시오. (단, a/b 는 기약분수)
8.서로소인 한 자리 자연수 a, b에 대하여 0.4a = (3a+4)/30 이고 0.6 × (b/a) = 1.1 일 때, a + b 의 값을 구하시오.
9.분모가 72인 분수 중에서 3/8 이상 5/9 이하인 것 가운데, 소수로 나타내면 순환소수로만 나타낼 수 있는 것의 개수를 구하시오.
10.한 자리 자연수 a, b에 대하여 0.ab + 0.ba = 1.1 이 성립한다. 이때 a × b 의 최댓값을 구하시오.
📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)
아직 틀린 문제가 없어요.