1단원에서 수를 정리했으니 이제 식으로 넘어갑니다. 단항식끼리 곱하고 나누면 결과도 다시 단항식이므로, 할 일은 사실상 지수를 정리하는 것 하나뿐입니다. 그래서 지수법칙 네 가지를 먼저 세운 뒤, 지수가 0이나 음수가 되는 경우까지 한 가지 방법으로 처리하는 요령을 익히고, 단항식의 곱셈·나눗셈과 혼합 계산, 그리고 자릿수·넓이·부피에 쓰이는 활용까지 정리합니다.
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🔰 첫 완료🔥 절반 돌파🏆 단원 마스터
1단항식과 거듭제곱 — 왜 지수법칙부터인가
중2 1학기는 수 → 식 → 대수 → 함수 순서로 나아갑니다. 1단원 「유리수와 소수」에서 수 이야기가 끝났으니, 이제부터는 식 차례입니다.
🗺️ 중2 1학기 지도
수 → 유리수와 소수 (1단원, 완료)
식 → 단항식의 계산 (이번 단원) → 다항식의 계산 (다음 단원)
대수 → 일차부등식·연립일차방정식
함수 → 일차함수
1-1에서 다항식은 덧셈·뺄셈만 배웠습니다(동류항 정리). 곱셈은 상수를 다항식에 나눠 곱하는 데까지였죠. 이번 단원에서는 단항식끼리의 곱셈·나눗셈을 배우고, 다음 단원에서 다항식으로 넓힙니다.
🔑 항과 단항식
항은 수와 문자의 곱으로만 이루어진 덩어리입니다. 단항식은 항이 하나뿐인 식이에요.
예) 3x²y, −2ab³, 7 — 셋 다 곱으로만 되어 있으므로 단항식입니다.
단항식과 단항식을 곱하면 결과도 또 단항식입니다(곱으로만 이어지니까요). 그래서 이 단원에서 할 일은 사실상 지수를 정리하는 것 하나뿐입니다 — 그러니 지수법칙부터 차근차근 세워 봅시다.
거듭제곱을 복습해 봅시다. 5⁴ 에서 밑은 5, 지수는 4입니다(소인수분해에서 이미 쓴 용어예요).
⚠️ 지수 1은 생략된 것 — 0이 아니다
a 처럼 지수 없이 그냥 써 있으면 지수 1이 생략된 것입니다. 0이 아니에요. 예를 들어 x²y 에서 y의 지수는 1입니다.
a3
밑어떤 수를 곱하는가
지수몇 개를 곱하는가
a³ = a × a × a — a를 3개 곱했다는 뜻
법칙 ① 곱셈
am × an = am+n
밑이 같으면 지수끼리 더한다
법칙 ② 거듭제곱의 거듭제곱
(am)n = amn
지수끼리 곱한다
법칙 ③ 나눗셈
am ÷ an = am−n
지수끼리 뺀다
법칙 ④ 곱·분수의 거듭제곱
(ab)n = anbn
괄호 안 모두에게 나눠 준다
Q. 2를 여섯 번 곱한 것을 2의 거듭제곱으로 나타낼 때, 지수는?
Q. 단항식 −5a3b 에서 문자 b의 지수는?
2지수법칙 (1) 곱셈 — 지수끼리 더한다
a² × a³ 을 풀어 써 봅시다. (a×a)×(a×a×a) 이므로, a를 5개 곱한 것과 같습니다. 즉 a² × a³ = a⁵ 입니다. 지수는 '개수'라서, 곱하면 개수가 합쳐집니다.
aa×aaa
a² × a³ = a를 (2 + 3)개 곱한 것 = a⁵
지수는 '개수'다 — 곱하면 개수가 합쳐진다
지수법칙 ① 곱셈
am × an = am+n
⚠️ 밑이 같아야 한다
am × bn 처럼 밑이 다르면 지수끼리 더할 수 없습니다. 서로 다른 것을 곱하는 것이기 때문이에요.
문자가 여럿이면 같은 문자끼리 모아서 정리합니다. 예를 들어 x³y² × x⁴y 은 x끼리(3+4), y끼리(2+1)를 각각 더해 x⁷y³ 이 됩니다.
Q. a5 × a4 = a□ 일 때, □의 값은?
Q. x2y × x3y4 = xmyn 일 때, m + n 의 값은?
3지수법칙 (2) 거듭제곱의 거듭제곱 — 지수끼리 곱한다
(a²)³ 을 풀어 써 봅시다. a²를 3개 곱한 것이므로 a2+2+2 = a⁶ 입니다. 2를 3번 더한 것이 곧 2×3 이지요.
지수법칙 ② 거듭제곱의 거듭제곱
(am)n = amn
여러 겹으로 쌓여 있어도 차근차근 계산하면 됩니다. 예를 들어 ((x³)²)² 은 안쪽부터 (3×2)×2 = 12, 즉 x¹² 이 됩니다.
⚠️ 법칙①과 헷갈리지 말 것
곱셈은 지수를 더하고, 거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱합니다. 둘을 섞어 쓰는 실수가 가장 흔합니다.
같은 3과 2로 만들어 비교해 보세요.
a3 × a2 = a3+2 = a5 (더한다)
(a3)2 = a3×2 = a6 (곱한다)
숫자가 같은데도 답이 다릅니다.
Q. (a3)4 = a□ 일 때, □의 값은?
Q. (x2)3 × x4 = x□ 일 때, □의 값은?
4지수법칙 (3) 나눗셈 — 일단 빼고 결과를 본다
a⁵ ÷ a² 를 풀어 써 봅시다. a⁵/a² 에서 위아래의 a를 2개씩 약분하면 a³ 이 남습니다.
aaaaa
aa
=
aaa
1
=
a³
약분해서 다 지웠을 때 분모에 남는 것은 1이다 — 0이 아니다
⚠️ 약분해서 다 지운 자리에 남는 것은 1이다
0이 아닙니다. 약분은 나눗셈이니까요 — 학생들이 가장 많이 하는 실수입니다.
지수법칙 ③ 나눗셈
am ÷ an = am−n
교과서는 m>n / m=n / m<n 세 경우로 나눠 외우게 하지만, 일단 빼고 결과를 보면 한 가지로 끝납니다.
m − n 이 양수
am−n
그대로 쓴다
m − n 이 0
1
같은 수로 나눈 것
m − n 이 음수
1 / an−m
역수를 만든다
교과서는 세 경우로 나눠 외우게 하지만, 일단 빼고 결과를 보고 판단하면 한 가지로 끝난다
뺀 결과가 0이면 1입니다 — a³ ÷ a³ = a⁰ = 1. a를 0개 가져와 곱한다는 것은 아무것도 안 가져왔다는 뜻이니, 1이 그대로 남습니다. 뺀 결과가 음수이면 역수가 됩니다 — a³ ÷ a⁵ = a⁻² = 1/a².
💡 참고 — 지수가 0이나 음수가 될 때
지수 자리에 0이나 음수가 오는 것은 중2에서는 공식적으로 다루지 않습니다. 고등학교 「대수」에서 지수 자리에 모든 수가 올 수 있다고 배웁니다. 중2 답안에는 1 또는 1/a² 처럼 씁니다.
Q. b9 ÷ b4 = b□ 일 때, □의 값은?
Q. x2 ÷ x6 을 간단히 하면 1/x□ 이다. □의 값은?
5지수법칙 (4) 곱과 분수의 거듭제곱 — 괄호 안 모두에게 나눠 준다
(ab)³ = a³b³ 이고, (a²b)³ = a⁶b³ 입니다. 괄호 안의 곱해진 문자 하나하나가 모두 그 지수만큼 거듭제곱됩니다.
⚠️ 안 써 있는 지수는 1이다
(ab)³ 의 b도 사실은 b¹ 이므로 b1×3 = b³ 이 됩니다. 0으로 착각해 사라뜨리면 안 됩니다.
계수도 함께 거듭제곱됩니다. 예를 들어 (3a²)² 은 3도 거듭제곱되어 9a⁴ 이 됩니다 — 3이 아니라 9예요.
부호도 주의합니다. (−2a)³ 처럼 홀수 번 곱하면 음수(−8a³)가 되고, 짝수 번 곱하면 양수가 됩니다. 분수도 같은 방식입니다 — (a/b)³ = a³/b³.
지수법칙 ④ 곱·분수의 거듭제곱
(ab)n = anbn (a/b)n = an/bn
Q. (a2b3)4 = ambn 일 때, m + n 의 값은?
Q. (−3x)3 을 간단히 했을 때, 계수는?
6단항식의 곱셈과 나눗셈 — 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리
곱셈은 예를 들어 2xy × (−3x²) = −6x³y 처럼 계산합니다. 순서는 부호 → 계수 → 문자(알파벳 순)입니다.
나눗셈은 나눗셈 뒤의 것을 분모로 보내거나, 역수를 곱하는 방식으로 처리합니다(1-1 유리수 연산에서 쓰던 방법 그대로예요). 예를 들어 15a⁴b² ÷ 5a²b = 3a²b 입니다. 계수가 분수면 역수 곱셈이 편합니다 — 뒤집어서 분자로 올려 놓고 한 번에 정리합니다.
⚠️ 수업에서 특히 강조한 부분
빗금(사선 약분)을 치며 지워 나가지 마세요. 풀이가 지워져 나중에 뭘 썼는지 안 보이고, 그러다 실수가 납니다. 한 번에 눈으로 정리해 쓰는 것이 목표예요. 부수적으로, 2² 같은 것은 그대로 두지 말고 4로 계산해서 쓰세요. 부호와 숫자를 앞에 씁니다.
1
부호
−가 몇 개인지
2
계수
숫자끼리 계산
3
문자
같은 문자끼리 지수 정리
이 순서대로 한 번에 쓴다 — 빗금을 치며 지워 나가지 않는다
Q. 3x2y × (−4xy3) 을 간단히 했을 때, 계수는?
Q. 12a5b3 ÷ 3a2b = 4ambn 일 때, m + n 의 값은?
7혼합 계산과 어떤 식 구하기
혼합 계산의 순서는 거듭제곱 먼저 풀기 → 나눗셈을 곱셈(역수)으로 바꾸기 → 부호·계수·문자 정리입니다. 예를 들어 16a²b ÷ 8a × 3ab 은 16a²b ÷ 8a = 2ab 를 먼저 하고, 여기에 3ab 를 곱해 6a²b² 이 됩니다.
🏆 시험 포인트 — 뒤에 있는 것을 먼저 곱하면 안 된다
÷ 와 × 가 나란히 있으면 앞에서부터 차례로 계산합니다. 뒤의 8a × 3ab 를 먼저 묶어
16a²b ÷ (8a × 3ab) 로 계산해 버리면 답이 2/3 이 되어 전혀 다른 값이 나옵니다.
나눗셈을 처음부터 역수 곱셈으로 바꿔 두면 이런 실수를 막을 수 있어요.
어떤 식 구하기(□·A 문항)는 곱해서 갔으면 나눠서 돌아온다는 원리를 씁니다. 예를 들어 A × 3x² = 12x⁵ 이면, A = 12x⁵ ÷ 3x² = 4x³ 입니다. 여러 칸을 지나는 흐름도도 화살표를 거꾸로 따라가면 됩니다.
A× 3x²12x⁵
12x⁵÷ 3x²A
곱해서 갔으면 나눠서 돌아온다 → A = 12x⁵ ÷ 3x²
Q. 8x5 ÷ 2x2 × 3x = kxn 일 때, k + n 의 값은?
Q. 어떤 단항식 A 에 대하여 A × 2x3 = 10x7 이다. A = 5x□ 일 때 □의 값은?
8지수법칙의 활용 — 큰 수·자릿수·도형
10의 거듭제곱으로 묶기 — 2와 5를 짝지어 10을 만듭니다. 예를 들어 2⁵ × 5³ = 2² × (2³×5³) = 4 × 10³ = 4000, 즉 4자리입니다. 자릿수는 (10n 앞에 남은 수의 자릿수) + n 으로 셉니다.
a × 10n 꼴로 적은 큰 수의 나눗셈은 앞의 수끼리, 10의 거듭제곱끼리 따로 계산합니다. 예를 들어 빛은 1초에 3 × 105 km 를 갑니다. 어떤 별까지의 거리가 1.2 × 108 km 라면, 빛이 닿는 데 걸리는 시간은 (1.2 × 108) ÷ (3 × 105) = 0.4 × 103 = 400초입니다. 큰 수를 다룰 때는 2n·10n 처럼 거듭제곱 꼴로 바꿔 놓고 지수법칙으로 계산하는 것이 훨씬 빠릅니다 — 저장 용량(KB·MB·GB)이 2의 거듭제곱으로 정의된 것도 같은 이유입니다.
넓이·부피 공식에 단항식을 대입합니다. 공식은 그대로고 문자만 단항식일 뿐입니다.
도형
공식
원기둥의 부피
π × (반지름)² × (높이)
삼각형의 넓이
½ × (밑변) × (높이)
뿔의 부피
⅓ × (밑넓이) × (높이)
구의 부피
4/3 × π × (반지름)³
예를 들어 밑면의 반지름이 2a 이고 부피가 12πa⁵ 인 원기둥의 높이를 구해 봅시다. π(2a)²h = 4πa²h = 12πa⁵ 이므로, h = 3a³ 입니다.
Q. 23 × 55 은 몇 자리 자연수인가?
부피가 45πa⁵ 인 원기둥
Q. 밑면의 반지름이 3a 인 원기둥의 부피가 45πa5 이다. 높이가 5a□ 일 때 □의 값은?
다음 단원에서는 항이 여러 개인 다항식의 계산으로 넓힙니다.
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✏️ 연습문제
기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용 10문제를 모두 채점하면 심화가 열립니다. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.
기본기본 — 지수법칙 네 가지 그대로 쓰기0 / 10
1.a3 × a6 = a□ 일 때, □의 값을 구하시오.
2.(x5)4 = x□ 일 때, □의 값을 구하시오.
3.a10 ÷ a4 = a□ 일 때, □의 값을 구하시오.
4.(2a3b2)4 을 간단히 했을 때, 계수를 구하시오.
5.x3 × x□ = x11 일 때, □의 값을 구하시오.
6.y6 ÷ y6 의 값을 구하시오.
7.(−2x2y)3 = kx6y3 일 때, k의 값을 구하시오.
8.4a3 × 5a2 = kan 일 때, k + n 의 값을 구하시오.
9.24x8 ÷ 6x3 = kxn 일 때, k × n 의 값을 구하시오.
10.x8 ÷ x3 ÷ x2 = x□ 일 때, □의 값을 구하시오.
응용응용 — 여러 법칙을 섞고, 거꾸로 되돌리기0 / 10
🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.
1.(−3a2b3)3 = kambn 일 때, k + m + n 의 값을 구하시오.
2.(x2)5 × (x3)2 ÷ x7 = x□ 일 때, □의 값을 구하시오.
3.32 = a 일 때, 274 을 a의 거듭제곱으로 나타내면 a□ 이다. □의 값을 구하시오.
4.35 × 28 × 56 은 몇 자리의 자연수인지 구하시오.
5.12x5y3 ÷ (−3xy) × 2x2y4 = kxmyn 일 때, k + m + n 의 값을 구하시오.
6.어떤 단항식 A 에 대하여 A ÷ 3x2y = 4xy3 이다. A = 12xmyn 일 때, m + n 의 값을 구하시오.
7.밑면의 반지름이 2a2b 인 원기둥의 부피가 36πa7b5 이다. 높이가 9ambn 일 때, m + n 의 값을 구하시오.
부피가 36πa⁷b⁵ 인 원기둥
8.밑변의 길이가 6x2y 인 삼각형의 넓이가 24x3y4 이다. 높이가 8xmyn 일 때, m + n 의 값을 구하시오.
밑변의 길이가 6x²y 인 삼각형
9.(2x × 3y)3 = 29 × 315 일 때, x + y 의 값을 구하시오.
10.단항식 8x5y3 에 어떤 단항식을 곱해야 할 것을 잘못하여 나누었더니 2x2y 가 되었다. 바르게 계산한 식이 32xmyn 일 때, m + n 의 값을 구하시오.
심화심화 — 조건 역추적과 자릿수·도형 활용0 / 10
🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.
🧩 단계별 풀이 — 지수가 섞인 식은 공통인 것으로 묶는다
3x+2 + 3x = 90 일 때, x의 값을 구하시오.
STEP 1 3x+2 = 3x × 3² 입니다(법칙 ①을 거꾸로 쓴 것). 두 항 모두 3x 를 품고 있습니다.
STEP 2 공통인 3x 로 묶으면 3x × (3² + 1) = 3x × 10 = 90.
STEP 3 양변을 10으로 나누면 3x = 9 = 3².
정답 밑이 같으므로 지수를 비교해 x = 2.
1.2x+3 + 2x+1 + 2x = 176 일 때, x의 값을 구하시오.
2.2n+4 × 55 이 9자리의 자연수가 될 때, n이 될 수 있는 모든 자연수의 합을 구하시오.
힌트: 2와 5를 짝지어 10의 거듭제곱을 만들어 보세요.
3.32 = a, 23 = b 일 때, 723 을 ambn 으로 나타내면 m + n 의 값은?
4.(axbycz)w = a18b30c12 를 만족하는 가장 큰 자연수 w에 대하여, x + y + z + w 의 값을 구하시오.
힌트: w는 18, 30, 12 를 모두 나누어야 합니다.
5.컴퓨터에서 저장 용량은 1KB = 210Byte, 1MB = 220Byte, 1GB = 230Byte 로 환산한다. 용량이 64GB인 메모리 카드에 용량이 2MB인 사진을 최대 2□장 저장할 수 있다. □의 값을 구하시오.
단위
환산
1KB
210Byte
1MB
220Byte
1GB
230Byte
6.(2xy2)3 ÷ A × 3x2y = 12x3y5 이다. A = 2xmyn 일 때, m + n 의 값을 구하시오.
7.밑면이 가로 3ab, 세로 2a2b2 인 직사각형이고 높이가 (2ab)3 인 사각뿔의 부피가 kambn 일 때, k + m + n 의 값을 구하시오.
밑면이 직사각형인 사각뿔
8.지름이 6a2b 인 반원을 지름을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피가 kπa6b3 이다. k의 값을 구하시오.
지름을 축으로 1회전 시킨다
9.1 × 2 × 3 × … × 30 = A × 10n 꼴로 나타낼 때, n의 최댓값을 구하시오. (단, A는 자연수)
힌트: 10 하나를 만들려면 2와 5가 하나씩 필요합니다. 어느 쪽이 더 귀할까요?
10.어떤 단항식 A에 2x3y 를 곱한 것을 B, B를 2xy2 로 나눈 것을 C라 하자. C에 (−3y)2 을 곱했더니 18x5y3 이 되었다. A = kxmyn 일 때, k + m + n 의 값을 구하시오.