정수와 유리수 강의노트 PRO

1수의 확장 — 왜 정수가 필요할까?

1·2단원에서 자연수를 깊이 공부했어요. 그런데 자연수만으로 해결이 안 되는 상황이 있어요.

💡 실생활 예시

사과 3개 중 1개를 빌렸고 나중에 1개를 갚아야 하는 상태 → −1로 표현!

🔑 핵심 아이디어

자연수에 마이너스(−) 부호를 붙이면 반대 방향의 수를 표현할 수 있어요. 0을 기준으로 오른쪽(+) / 왼쪽(−).

🔮 분수·소수와 다른 점

½ = 0.5는 같은 값의 '표현 형태' 차이지만, 자연수·정수·유리수는 수 체계의 종류 분류예요.

Q. −2는 자연수인가요? (예 / 아니오)

2정수

📐 정수의 구성 — 세 가지!

정수 = 양의 정수 + 0 + 음의 정수

양의 정수 (+)

+1, +2, +3, …

= 자연수 / + 생략 가능

양수도 음수도 아님 / 기준점

음의 정수 (−)

−1, −2, −3, …

자연수에 − 붙인 수

🏆 시험 킬러 포인트

"정수 = 양의 정수 + 음의 정수" → ❌ 0을 빠뜨리면 틀려요! 정수는 세 가지.

Q. 0은 정수인가요? (예 / 아니오)

3유리수와 수 체계

🔑 유리수(有理數) 정의

b/a 꼴로 나타낼 수 있는 수 (a ≠ 0, a·b는 정수)

분모·분자의 재료는 정수. 분모는 0 불가, 분자는 0 가능(0/3 = 0 → 유리수).

💡 포함 관계

자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수

단, "유리수는 반드시 정수" → ❌ (1/2처럼 정수 아닌 유리수 존재)

🏆 유리수 정의 주의!

"모든 유리수는 자연수분의 자연수" → ❌ 재료는 정수예요. 예: −3/5의 분자 −3은 음의 정수.

Q. 1/2은 정수인가요? (예 / 아니오)

Q. −10/5는 약분하면 −2가 됩니다. 정수인가요? (예 / 아니오)

→ 약분해 분모가 1이면 정수

4수직선

🔑 수직선이란?

직선 위에 수를 대응시킨 것. 기준점 0 = 원점, 오른쪽=양수, 왼쪽=음수.

🏆 분수 읽기 / 가분수 표기

−2와 −1의 한가운데 점 → −3/2. 중학교부터는 대분수(1½) 대신 가분수(3/2)로!

Q. 수직선의 기준점인 원점이 나타내는 수는?

5절댓값

🔑 절댓값 정의

절댓값 = 수직선에서 0으로부터의 거리

기호 | | · 읽기 "절댓값 3" (|3|)

⚠️ 절댓값은 '거리' 개념!

단순히 "마이너스 떼기"로 외우면 고등학교에서 막혀요. 항상 거리로 이해하세요.

💡 절댓값이 주어진 수

0으로부터 거리가 a인 점은 양쪽 2개 → 절댓값이 a인 수는 +a, −a. 단 절댓값 0은 0 하나뿐.

🏆 음수의 절댓값과 크기

음수는 작아질수록(더 음수) 절댓값은 커져요. 예: −5 < −2 인데 |−5| = 5 > |−2| = 2.

Q. |−9|의 값은?

Q. 절댓값이 4인 수는 모두 몇 개인가요?

→ 4와 −4

6대소 관계와 부등호

🔑 수직선과 대소

오른쪽에 있을수록 크다. 양수 > 0 > 음수. 음수끼리는 절댓값이 작을수록 더 크다.

a < b

a는 b보다 작다

b 미만

a > b

a는 b보다 크다

b 초과

a ≤ b

작거나 같다

b 이하

a ≥ b

크거나 같다

b 이상

🏆 "~보다 작지 않다" 해석

"작다"의 반대 = "크거나 같다(≥)". 예: "x는 −1보다 작지 않다" → x ≥ −1.

Q. 음수끼리는 절댓값이 작을수록 더 큰 수이다 — 맞나요? (예 / 아니오)

Q. "x는 −1보다 작지 않다"는 x ≥ −1 과 같은 뜻인가요? (예 / 아니오)

7수 분류 총정리

수	자연수?	정수?	유리수?	비고
+5	✅	✅	✅	양의 정수 = 자연수
0	❌	✅	✅	자연수 아님
−3	❌	✅	✅	음의 정수
1/2	❌	❌	✅	정수 아닌 유리수
−10/5	❌	✅	✅	약분하면 −2 → 정수

⚠️ 분수의 정수 판별

약분해 분모가 1이면 정수. −10/5 = −2 ✅ / −4/10 = −2/5 ❌

Q. 0은 '자연수·정수·유리수' 중 몇 가지에 해당하나요? (해당하는 체계 수)

→ 정수·유리수

Q. −3.7은 유리수인가요? (예 / 아니오)

📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)

아직 틀린 문제가 없어요. 퀴즈를 풀어보세요!

🔓 연습문제 잠금 해제

아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.

✓본문 퀴즈 전부 채점하기 (0 / 11)
✓오답노트 확인하기 (위에서 '오답 정리 완료' 누르기)

✏️ 연습문제

기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열려요. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.

기본개념 다지기0 / 10

1.−5, 0, +3, −¹⁄₂, 2.5 중 정수는 모두 몇 개인가?

2.|−7| 의 값은?

3.−3과 +2 중 큰 수를 쓰시오.

4."0은 양수도 음수도 아니다." 이 설명은 옳은가? (예 / 아니요)

5.다음 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. 모든 자연수는 정수이다 ㄴ. 모든 유리수는 정수이다
ㄷ. 0은 유리수이다 ㄹ. 정수는 양의 정수와 음의 정수로만 이루어져 있다

6.절댓값이 6인 수는 모두 몇 개인가?

7.−²⁄₅ 를 소수로 나타내면?

8.수직선에서 −4를 나타내는 점과 원점 사이의 거리는?

→ 원점까지의 거리 = 절댓값

9.−1.5, −¹⁄₂, 0.3 중 가장 작은 수를 쓰시오. (소수로)

10.절댓값이 가장 작은 정수는?

응용분류 · 판별 · 대소 비교0 / 10

🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.

1.−3, +⁷⁄₂, 5, 0, +⁴⁄₂, +0.4, −³⁄₃ 중 정수가 아닌 유리수는 모두 몇 개인가?

→ ⁴⁄₂ 와 −³⁄₃ 은 약분하면?

2.다음 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. 0은 유리수이다 ㄴ. −²⁄₃ 은 음수이다 ㄷ. 정수는 유리수이다
ㄹ. ¹²⁄₃ 은 정수가 아닌 유리수이다 ㅁ. 0과 1 사이에는 정수가 없다 ㅂ. 절댓값이 같은 수는 항상 두 개이다

3.⁵⁄₃, 2, −⁵⁄₄, 0, −0.8, −²⁄₃ 을 수직선 위에 나타낼 때, −³⁄₄ 을 나타내는 점보다 오른쪽에 있는 수는 모두 몇 개인가?

→ 통분하거나 소수로 바꿔 비교

4.수직선에서 −¹¹⁄₆ 에 가장 가까운 정수와 −3.8에 가장 가까운 정수의 곱은?

5.'a는 −3.2보다 작지 않고 2 이하이다'를 만족하는 음의 정수 a는 모두 몇 개인가?

→ 0은 음의 정수가 아니다

6.다음 중 옳지 않은 문장은 모두 몇 개인가?
ㄱ. 절댓값이 가장 작은 정수는 1이다 ㄴ. 소수와 합성수를 통틀어서 자연수라고 한다
ㄷ. 모든 자연수의 약수의 개수는 2개 이상이다 ㄹ. 유리수의 역수가 항상 존재하는 것은 아니다
ㅁ. 유리수는 양의 유리수와 음의 유리수로 이루어져 있다

→ ㄹ은 0의 역수를 생각해 보자

7.−⁵⁄₃ 과 −³⁄₂ 중 큰 수를 소수로 나타내면?

→ 음수는 절댓값이 작을수록 크다

8.16보다 크거나 같고 24보다 작거나 같은 자연수 중에서 15와 서로소인 수는 모두 몇 개인가?

→ 15 = 3 × 5

9.두 수 a, b에 대하여 |a| = |b| 이고 a가 b보다 18만큼 클 때, a의 값은?

→ 절댓값이 같고 다른 수라면 부호가 반대

10.−2와 1 사이에 있는 정수가 아닌 유리수 중에서, 기약분수로 나타낼 때 분모가 3인 수는 모두 몇 개인가?

→ −⁶⁄₃ 과 ³⁄₃ 사이에서 분자가 3의 배수가 아닌 것

심화킬러 — 절댓값 역추론 · 부호 케이스0 / 10

🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.

🔮 이 세트의 핵심 — 절댓값은 '거리', 부호는 '경우의 수'

|x| = k 이면 x는 k와 −k 두 가지. 조건에 절댓값이 나오면 부호 경우를 빠짐없이 나열한 뒤, 나머지 조건(부호 곱, 대소, 차)으로 걸러내는 것이 핵심이에요. "가장 큰/작은 것"을 물으면 모든 조합을 계산해서 비교해야 합니다.

🧩 준비 예제 — 절댓값이 같고 부호가 반대

두 수 a, b가 a ≠ b, |a| = |b|, a = b + 1.6 을 모두 만족할 때, a의 값은?

STEP 1
|a| = |b| 인데 a ≠ b → 두 수는 부호가 반대. 즉 a = −b.

STEP 2
a = b + 1.6 에 a = −b 를 대입: −b = b + 1.6 → −2b = 1.6

STEP 3
b = −0.8, 따라서 a = 0.8

정답
a = 0.8 ( = ⁴⁄₅ ) — a가 큰 쪽이므로 양수

🧩 본 유형 — 두 점 사이 거리의 최대·최소 (아래 2·3번 유형)

수직선에서 절댓값이 5인 두 점 중 한 점, 3을 나타내는 점으로부터 10만큼 떨어진 두 점 중 한 점을 택할 때 두 점 사이 거리의 최댓값과 최솟값은?

STEP 1
절댓값이 5인 점 → 5, −5 (두 개)

STEP 2
3에서 10만큼 떨어진 점 → 3+10 = 13, 3−10 = −7 (두 개)

STEP 3
2 × 2 = 네 조합을 모두 계산: |5−13| = 8, |5−(−7)| = 12, |−5−13| = 18, |−5−(−7)| = 2

정답
최대 18, 최소 2 — 한 조합만 보고 답하면 틀린다!

1.두 수 a, b가 a ≠ b, |a| = |b|, a = b + 1.6 을 모두 만족할 때, a의 값은? (소수로)

→ 위 준비 예제 참고

2.수직선에서 절댓값이 5인 두 점 중 한 점을 택하고, 3을 나타내는 점으로부터 10만큼 떨어진 두 점 중 한 점을 택하여 두 점 사이의 거리를 구할 때, 가장 큰 거리는?

3.위 2번과 같은 조건에서, 두 점 사이의 거리가 가장 짧은 경우의 거리는?

→ 네 조합을 모두 계산해 비교

4.B의 절댓값이 A의 절댓값의 2배이고, A는 수직선에서 원점으로부터 ⁵⁄₂ 만큼 떨어진 점에 대응하는 수이다. A × B < 0 일 때, A ÷ B 의 값은? (기약분수로)

→ 부호가 반대인 두 경우 모두 계산해 보면 값이 같다

5.두 정수 a, b에 대하여 a × b < 0, a − b = 12 이고 b의 절댓값이 a의 절댓값의 2배일 때, a + b 의 값은?

→ a × b < 0 이고 a − b = 12 이면 a와 b의 부호는?

6.수직선 위에서 −4, 2, 10을 나타내는 점을 각각 A, B, C라 하자. 두 점 A, B와 같은 거리에 있는 점을 M, 두 점 B, C와 같은 거리에 있는 점을 N이라 할 때, 두 점 M과 N 사이의 거리는?

→ 같은 거리에 있는 점 = 한가운데 점

7.다음 조건을 모두 만족하는 서로 다른 세 정수 a, b, c의 대소 관계를 부등호로 나타내면?
· a와 b는 4보다 작다 · c는 −4보다 작다
· a의 절댓값은 −4의 절댓값과 같다 · c는 b보다 4에 더 가깝다

→ a부터 확정한 뒤 c, b 순으로 좁혀 간다

8.수직선에서 0을 나타내는 점으로부터 4만큼 떨어진 두 점 중 한 점을 택하고, −1을 나타내는 점으로부터 8만큼 떨어진 두 점 중 한 점을 택하여 두 점 사이의 거리를 구할 때, 거리가 가장 짧은 것은?

9.두 정수 a, b가 |a| = 4, |b| = 6, a × b > 0 을 모두 만족할 때, a + b 로 가능한 값을 모두 더하면?

→ a × b > 0 이면 두 수의 부호가 같다. 경우가 하나뿐일까?

10.−3과 2 사이에 있는 정수가 아닌 유리수 중에서, 기약분수로 나타낼 때 분모가 4인 수는 모두 몇 개인가?

→ 분자가 짝수면 약분되어 분모가 4가 아니게 된다

📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)

아직 틀린 문제가 없어요.