1왜 유리수만 배울까?
🔑 핵심 아이디어
유리수가 가장 큰 울타리이고 정수·자연수는 그 안에 있어요. → 유리수 계산법만 익히면 정수 계산도 저절로 해결!
🏆 오늘 배울 것 — 사칙연산
덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈. 크게 덧셈=뺄셈, 곱셈=나눗셈 두 그룹으로 이해해요.
Q. 유리수 계산법만 익히면 정수 계산도 해결된다 — 맞나요? (예 / 아니오)
2덧셈
📐 같은 부호 덧셈
절댓값의 합을 구하고, 그 앞에 원래 부호를 붙인다
음수 + 음수
(−10) + (−3) = −(10+3) = −13
📐 다른 부호 덧셈
절댓값의 차를 구하고, 절댓값이 큰 수의 부호를 붙인다
예제
5 + (−2): |5−2|=3, 5가 더 크니 → +3
🔮 뺄셈과의 연결
5 + (−2) = 3 은 5 − 2 = 3 과 같아요 → 뺄셈 = 음수를 더하는 덧셈!
Q. (−7) + (−5) = ?
Q. 4 + (−9) = ?
3덧셈의 법칙
🔑 교환법칙
순서를 바꿔도 결과가 같다. a + b = b + a
🔑 결합법칙
묶는 순서를 바꿔도 같다. (a + b) + c = a + (b + c)
🏆 기억!
교환·결합법칙 용어는 앞으로 정말 자주 쓰여요.
Q. a + b = b + a 는 무슨 법칙인가요? (교환 / 결합)
4뺄셈
🔑 뺄셈을 덧셈으로!
a − b = a + (−b)
뒤에 있는 수의 부호를 바꿔 더하면, 덧셈 규칙을 그대로 쓸 수 있어요.
| 식 | 덧셈으로 변환 | 결과 |
|---|---|---|
| 7 − (−3) | 7 + 3 | 10 |
| −3 − (−7) | −3 + 7 | 4 |
| −3 − 7 | −3 + (−7) | −10 |
🔮 마이너스 두 개가 만나면
− (−) = +
⚠️ 뺄셈은 교환·결합법칙 ❌
3 − 2 ≠ 2 − 3. 여러 항은 먼저 모두 덧셈으로 바꾼 뒤 법칙 적용!
Q. 5 − (−3) = ?
Q. −3 − 7 = ?
5곱셈
📐 곱셈의 부호
같은 부호끼리 = 양수 / 다른 부호끼리 = 음수
🏆 여러 수의 곱 — 음수 개수로 판단!
음수가 홀수 개 → 음수, 짝수 개 → 양수.
📐 분배법칙 (아주 중요)
a × (b + c) = a × b + a × c
묶기로 더 쉽게
6×41 + 6×39 = 6×(41+39) = 6×80 = 480
🔮 고등까지 계속
분배법칙은 3-1 인수분해·곱셈공식의 기초예요.
Q. (−2) × (−3) × (−4) = ?
→ 음수 3개(홀수) → 음수
Q. 6×41 + 6×39 를 분배법칙으로 계산하면?
6거듭제곱의 부호 — 괄호 주의!
⚠️ 괄호 안이냐 밖이냐로 완전히 달라져요
| 식 | 해석 | 계산 |
|---|---|---|
| −24 | 2를 4번 곱한 뒤 − | −(24) = −16 |
| (−2)4 | −2를 4번 곱함 | +16 |
🏆 음수 개수로 판단(동일)
(−2)4: −2를 4개 곱 → 짝수 → 양수. (−1)5: 5개 → 홀수 → −1.
Q. −24 의 값은?
→ 지수는 2에만
Q. (−2)4 의 값은?
7나눗셈
🔑 나눗셈 = 역수의 곱셈
a ÷ b = a × (1/b)
부호 판단은 곱셈과 동일. 역수를 만들 때 부호는 그대로!
분수가 나올 때
7 ÷ (−4) = 7 × (−1/4) = −7/4
🏆 연산 순서
괄호 → 거듭제곱 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈 (PEMDAS)
Q. 27 ÷ (−9) = ?
Q. (−18) ÷ (−9) = ?
📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)
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✏️ 연습문제
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기본개념 다지기0 / 10
1.(+5) + (−8) 을 계산하면?
2.(−3) − (−7) 을 계산하면?
→ 빼기는 부호를 바꿔 더하기
3.(−2) × (+6) 을 계산하면?
4.(−24) ÷ (−3) 을 계산하면?
5.(−2)3 의 값은?
6.−32 의 값은?
→ 괄호가 없으면 제곱이 먼저! (−3)2 과 다르다
7.다음 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. 양수와 음수의 곱은 음수이다 ㄴ. 음수와 음수의 합은 양수이다
ㄷ. 두 수의 뺄셈은 순서를 바꿔도 결과가 같다 ㄹ. 부호가 같은 두 수의 곱은 양수이다
ㄱ. 양수와 음수의 곱은 음수이다 ㄴ. 음수와 음수의 합은 양수이다
ㄷ. 두 수의 뺄셈은 순서를 바꿔도 결과가 같다 ㄹ. 부호가 같은 두 수의 곱은 양수이다
8.−2⁄3 의 역수는? (기약분수로)
9.|−7| + |+3| 의 값은?
10.3 + (−1⁄2) 를 기약분수로 나타내면?
응용문장 해석 · 혼합 계산 · 판별0 / 10
🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.
1.3보다 −12⁄7 만큼 큰 수와 −5보다 −17⁄4 만큼 작은 수의 합을 기약분수로 나타내면?
→ '−만큼 크다'는 빼는 것, '−만큼 작다'는 더하는 것
2.다음 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. 양수와 음수의 곱은 항상 음수이다 ㄴ. 음수와 음수의 합은 항상 양수이다
ㄷ. 부호가 다른 두 수의 합의 부호는 절댓값이 큰 수의 부호와 같다
ㄹ. 두 수의 뺄셈에서 순서를 바꾸어도 결과는 같다
ㅁ. 부호가 같은 두 수의 곱의 부호는 두 수의 공통부호와 같다
ㄱ. 양수와 음수의 곱은 항상 음수이다 ㄴ. 음수와 음수의 합은 항상 양수이다
ㄷ. 부호가 다른 두 수의 합의 부호는 절댓값이 큰 수의 부호와 같다
ㄹ. 두 수의 뺄셈에서 순서를 바꾸어도 결과는 같다
ㅁ. 부호가 같은 두 수의 곱의 부호는 두 수의 공통부호와 같다
→ ㅁ은 (−2)×(−3)으로 확인해 보자
3.다음 중 가장 큰 수를 기약분수로 나타내면?
4보다 −8만큼 큰 수 | 0보다 −1⁄2 만큼 작은 수 | −6보다 −7만큼 큰 수 | 3⁄2 보다 3⁄4 만큼 큰 수 | 24⁄5 보다 −3만큼 작은 수
4보다 −8만큼 큰 수 | 0보다 −1⁄2 만큼 작은 수 | −6보다 −7만큼 큰 수 | 3⁄2 보다 3⁄4 만큼 큰 수 | 24⁄5 보다 −3만큼 작은 수
4.인천이 4월 26일 오전 11시일 때, 뉴욕은 4월 25일 오후 10시이다. 두 도시의 시차는 몇 시간인가?
5.천연 비누 5개를 만드는 데 에센셜 오일 25⁄6 mL가 필요하다. 사용된 오일이 50mL였다면 만든 비누는 모두 몇 개인가?
→ 1개당 필요한 양을 먼저 구한다
6.1 − 2⁄3 × { ( 2⁄3 − 1⁄5 ) ÷ ( 2⁄3 )2 } 을 계산하면? (기약분수)
→ 거듭제곱 → 소괄호 → 중괄호 → 곱셈 → 뺄셈 순
7.다음 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. −(−3)2 = 9 ㄴ. −12 = −1 ㄷ. 22⁄3 = 4⁄9 ㄹ. (−32) = 9 ㅁ. (−2⁄3)2 = 4⁄9
ㄱ. −(−3)2 = 9 ㄴ. −12 = −1 ㄷ. 22⁄3 = 4⁄9 ㄹ. (−32) = 9 ㅁ. (−2⁄3)2 = 4⁄9
→ 괄호가 어디까지 걸리는지가 전부다
8.올해 1월 평균 기온은 작년 1월 평균 기온인 영하 0.7℃보다 0.8℃ 높았다. 올해 1월 평균 기온은 몇 ℃인가? (소수로)
→ 영하 0.7℃ = −0.7℃
9.두 유리수 a, b가 a × b < 0, a − b > 0, a + b > 0 을 모두 만족할 때, a와 b 중 절댓값이 큰 것은? (a 또는 b)
→ a×b<0에서 부호가 다르고, a−b>0에서 누가 큰지 알 수 있다
10.네 유리수 −7⁄3, −3⁄2, 0.5, −9 중에서 서로 다른 세 수를 택하여 곱한 값 중 가장 큰 수를 기약분수로 나타내면?
→ 곱이 양수가 되려면 음수를 짝수 개 골라야 한다
심화킬러 — 부호 규칙 · 복합 계산 · 조건 추론0 / 10
🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.
🔮 이 세트의 핵심 — 부호를 먼저, 크기는 나중에
유리수 계산 킬러는 대부분 부호 판단에서 갈립니다. 곱셈은 음수의 개수가 짝수면 +, 홀수면 −. 조건에 |a|, a×b, a+b가 섞여 나오면 부호부터 확정한 뒤 절댓값 크기를 비교하세요. "가장 큰/작은 값"을 물으면 모든 조합을 계산해야 합니다.
🧩 준비 예제 — 부호가 섞인 조건에서 대소 정하기
두 유리수 a, b가 a × b < 0, a − b > 0, a + b > 0 을 만족할 때, a, −a, b, −b 를 작은 것부터 나열하면?
STEP 1
a × b < 0 → a와 b의 부호가 다르다.
a × b < 0 → a와 b의 부호가 다르다.
STEP 2
a − b > 0 → a > b. 부호가 다른데 a가 더 크므로 a > 0, b < 0.
a − b > 0 → a > b. 부호가 다른데 a가 더 크므로 a > 0, b < 0.
STEP 3
a + b > 0 → 양수 쪽이 더 세다 → |a| > |b|.
a + b > 0 → 양수 쪽이 더 세다 → |a| > |b|.
STEP 4
예를 들어 a = 5, b = −2 로 두면 −a = −5, −b = 2 → 작은 것부터 −5, −2, 2, 5
예를 들어 a = 5, b = −2 로 두면 −a = −5, −b = 2 → 작은 것부터 −5, −2, 2, 5
정답
−a, b, −b, a — 구체적인 수를 하나 대입해 보면 실수가 확 줄어든다
−a, b, −b, a — 구체적인 수를 하나 대입해 보면 실수가 확 줄어든다
🧩 본 유형 — 부호가 규칙적으로 바뀌는 긴 곱셈 (아래 1번 유형)
(−1⁄2) × (+2⁄3) × (−3⁄4) × … × (−99⁄100) 처럼 항이 아주 많을 때는?
STEP 1
부호와 크기를 분리한다. 먼저 음수가 몇 개인지 센다.
부호와 크기를 분리한다. 먼저 음수가 몇 개인지 센다.
STEP 2
분모가 짝수인 항이 음수 → 2, 4, …, 100 → 50개. 짝수 개이므로 결과는 양수.
분모가 짝수인 항이 음수 → 2, 4, …, 100 → 50개. 짝수 개이므로 결과는 양수.
STEP 3
크기는 1⁄2 × 2⁄3 × 3⁄4 × … × 99⁄100 — 앞 분자와 뒤 분모가 줄줄이 약분된다.
크기는 1⁄2 × 2⁄3 × 3⁄4 × … × 99⁄100 — 앞 분자와 뒤 분모가 줄줄이 약분된다.
STEP 4
맨 앞 분자 1과 맨 뒤 분모 100만 남는다 → 1⁄100
맨 앞 분자 1과 맨 뒤 분모 100만 남는다 → 1⁄100
정답
= 1⁄100 — 하나하나 곱하지 말고 약분 구조를 볼 것
= 1⁄100 — 하나하나 곱하지 말고 약분 구조를 볼 것
1.(−1⁄2) × (+2⁄3) × (−3⁄4) × (+4⁄5) × … × (+98⁄99) × (−99⁄100) 를 계산하면? (기약분수)
→ 위 본 유형 풀이 참고
2.정육면체에서 마주 보는 면에 적힌 두 수가 서로 역수 관계이다. 마주 보는 세 쌍이 (a, −1⁄4), (b, −1), (c, 2⁄3) 일 때, a + b + c 의 값은? (기약분수)
3.세 유리수 a, b, c가 |a| = |b|, a × b < 0, b − a = 8⁄3 을 만족하고 c는 a의 역수일 때, c의 값은? (기약분수)
→ |a|=|b|이고 부호가 다르므로 b = −a
4.5 − (−22⁄3) − [ { (−3)2 + (−11⁄2) } × 5 ] ÷ 5⁄4 = a, −22 + (−3)2 − 18 × (−2⁄3) = b 일 때, a < x ≤ b 를 만족하는 정수 x의 개수는?
→ −22 은 제곱이 아니라 −(22) 이다
5.서로 다른 정수 a, b, c가 다음을 모두 만족할 때 대소 관계를 부등호로 나타내면?
· b는 수직선에서 0보다 오른쪽에 있다 · b의 절댓값은 −3의 절댓값과 같다
· a는 3보다 크다 · c의 절댓값이 제일 작다
· b는 수직선에서 0보다 오른쪽에 있다 · b의 절댓값은 −3의 절댓값과 같다
· a는 3보다 크다 · c의 절댓값이 제일 작다
6.두 유리수 a, b가 a × b < 0, a − b > 0, a + b > 0 을 만족할 때, a, −a, b, −b 를 작은 것부터 차례로 나열하면? (쉼표로 구분)
→ 위 준비 예제 참고
7.서로 다른 네 정수 A, B, C, D가 다음 조건을 만족할 때 작은 것부터 나열하면? (쉼표로 구분)
· C는 A, B, C, D 중 가장 큰 수이다 · A는 양의 정수이다
· 수직선에서 B와 C가 나타내는 점은 0에서 같은 거리에 있다 · B > D
· C는 A, B, C, D 중 가장 큰 수이다 · A는 양의 정수이다
· 수직선에서 B와 C가 나타내는 점은 0에서 같은 거리에 있다 · B > D
→ 0에서 같은 거리 → B = −C
8.네 유리수 −7⁄3, −3⁄2, 0.5, −9 중에서 서로 다른 세 수를 택하여 곱한 값 중 가장 작은 수를 기약분수로 나타내면?
→ 가장 작으려면 음수여야 한다. 음수를 홀수 개 고르되 절댓값은 크게
9.(−1) + (−1)2 + (−1)3 + … + (−1)100 의 값은?
→ 홀수 번째와 짝수 번째가 각각 몇 개씩일까?
10.두 유리수 a, b가 a × b > 0, a + b < 0, |a| − |b| = 2, |a| + |b| = 10 을 모두 만족할 때, a − b 의 값은?
→ 두 조건에서 |a|, |b|를 먼저 구하고 부호를 정한다
📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)
아직 틀린 문제가 없어요.