최대공약수와 최소공배수 강의노트 PRO

11단원 핵심 복습

이번 단원은 소인수분해를 도구로 활용해요. 1단원 내용을 빠르게 체크!

개념	핵심 내용
자연수 분류	1 (약수 1개) / 소수 (약수 2개) / 합성수 (약수 3개 이상)
소인수분해	합성수를 소수들의 곱으로 (예: 30 = 2 × 3 × 5)
약수의 개수	소인수분해 후 각 지수에 +1 하여 곱하기

💡 이번 단원의 핵심 변화

초등: 약수·배수를 일일이 나열해 공통인 것 찾기 → 중등: 소인수분해로 바로 구하기!

Q. 30 = 2 × 3 × 5 의 약수의 개수는?

2공약수와 최대공약수 (G)

최대공약수 (GCD)

Greatest Common Divisor
공통인 약수 중 가장 큰 것

이 단원에서는 G로 표기

공약수

두 수의 공통인 약수

= 최대공약수(G)의 약수

🔑 핵심 관계

공약수 = 최대공약수(G)의 약수

예) 12와 18의 G = 6 → 공약수는 6의 약수인 1, 2, 3, 6

Q. 두 수의 최대공약수가 8일 때, 1·2·4·6·8 중 공약수가 될 수 없는 수는?

→ 공약수는 G(=8)의 약수여야 해요

3소인수분해로 최대공약수 구하기

예) 12와 18의 최대공약수를 구하자.

= 2² × 3

→

= 2 × 3²

소인수	12의 지수	18의 지수	GCD에 쓸 지수
2	2	1	↓ 1 (작은 것)
3	1	2	↓ 1 (작은 것)

→ G = 2 × 3 = 6

🔑 최대공약수 구하는 법

① 각 수를 소인수분해 → ② 공통 소인수만 고르기 → ③ 각 소인수의 작은 지수 선택 → ④ 곱하기

⚠️ 이 단원의 취지

초등 방식(거꾸로 나눗셈)은 사용하지 않아요. 반드시 소인수분해 방식으로!

Q. 28 = 2² × 7, 70 = 2 × 5 × 7 의 최대공약수는?

Q. 75 = 3 × 5², 90 = 2 × 3² × 5 의 최대공약수는?

4서로소

🔑 서로소 정의

두 수의 최대공약수(G)가 1인 관계 = 공약수가 1뿐인 관계

와

→ 서로소 ✅

🏆 서로소 판별 세 가지 (같은 말!)

① 1 외의 공약수가 없다 ② 최대공약수가 1이다 ③ 겹치는 소인수가 없다

🔮 서로소와 최대공약수의 관계

A = G × a, B = G × b 로 쓰면 a와 b는 서로소예요. (고1 집합 단원에서 재등장!)

Q. 8과 25의 최대공약수는? (서로소이면 1)

Q. 12와 15는 서로소인가요? (예 / 아니오) — 둘 다 3의 배수예요

5공배수와 최소공배수 (L)

최소공배수 (LCM)

Least Common Multiple
공통인 배수 중 가장 작은 것

이 단원에서는 L로 표기

공배수

두 수의 공통인 배수
무한히 많아 최대는 없음

= 최소공배수(L)의 배수

🔑 핵심 관계

공배수 = 최소공배수(L)의 배수 — 배수는 계속 늘어나 최대공배수는 없어요!

Q. 두 수의 공배수는 최소공배수(L)의 무엇인가요? (약수 / 배수)

6소인수분해로 최소공배수 구하기

예) 10, 18, 30의 최소공배수를 구하자.

= 2 × 5

= 2 × 3²

= 2 × 3 × 5

소인수	10	18	30	LCM에 쓸 지수
2	1	1	1	↑ 1 (큰 것)
3	없음	2	1	↑ 2 (큰 것)
5	1	없음	1	↑ 1 (큰 것)

→ L = 2 × 3² × 5 = 90

🏆 GCD vs LCM — 지수 선택의 차이

	소인수 범위	지수 선택
GCD	공통 소인수만	↓ 작은 것 (min)
LCM	모든 소인수	↑ 큰 것 (max)

Q. 12 = 2² × 3, 54 = 2 × 3³ 의 최소공배수는?

7핵심 관계식 A × B = G × L

⭐ 두 자연수 사이의 핵심 관계식

A × B = G × L

두 자연수의 곱 = 최대공약수 × 최소공배수

예) A = 12, B = 18

A × B = 12 × 18 =216

G×L= 6 × 36 =216✅

🏆 시험 단골 — 모르는 수 구하기

자연수 a와 15의 G = 3, L = 45 → a × 15 = 3 × 45 = 135 → a = 9

⚠️ 관계식은 두 수일 때만!

A × B = G × L 은 두 자연수 사이에만 성립해요. 세 수 이상엔 못 써요.

Q. 두 자연수의 최대공약수가 6, 최소공배수가 60일 때, 두 수의 곱은?

Q. 두 자연수의 곱이 180이고 최소공배수가 60일 때, 최대공약수는?

Q. 자연수 x와 8의 최대공약수가 4, 최소공배수가 24일 때, x의 값은?

→ x × 8 = G × L = 4 × 24

📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)

아직 틀린 문제가 없어요. 퀴즈를 풀어보세요!

🔓 연습문제 잠금 해제

아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.

✓본문 퀴즈 전부 채점하기 (0 / 11)
✓오답노트 확인하기 (위에서 '오답 정리 완료' 누르기)

✏️ 연습문제

기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열려요. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.

기본개념 다지기0 / 10

1.20과 28의 최대공약수는?

2.6과 8의 최소공배수는?

3.15와 28은 서로소인가? (예 / 아니요)

4.두 자연수의 최대공약수가 12일 때, 두 수의 공약수는 모두 몇 개인가?

→ 공약수 = 최대공약수의 약수

5.다음 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. 가장 작은 소수는 1이다 ㄴ. 합성수는 약수가 3개 이상이다
ㄷ. 서로소인 두 수의 최대공약수는 1이다 ㄹ. 서로소인 두 수의 최소공배수는 두 수의 곱과 같다

6.2³×3² 과 2²×3×5 의 최대공약수는?

→ 공통 소인수의 작은 지수

7.2³×3² 과 2²×3×5 의 최소공배수는?

→ 모든 소인수의 큰 지수

8.12, 18, 30의 최대공약수는?

9.어떤 두 자연수의 최대공약수가 9, 최소공배수가 54일 때, 두 수의 곱은?

→ A × B = G × L

10.9와 16의 최소공배수는?

→ 두 수가 서로소일 때 최소공배수는?

응용판별 · 조건 · 실생활0 / 10

🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.

1.두 수 2³×3²×5 와 3³×5³ 의 공약수는 모두 몇 개인가?

→ 최대공약수를 먼저 구하고 그 약수의 개수를 센다

2.50보다 큰 두 자리 자연수 중, 15와의 최대공약수가 5인 수는 모두 몇 개인가?

→ 5의 배수이면서 3의 배수는 아니어야 한다

3.가로 40cm, 세로 24cm, 높이 16cm인 직육면체 상자를 크기가 같은 정육면체로 빈틈없이 채우려고 한다. 가능한 한 큰 정육면체를 쓸 때, 그 한 모서리의 길이는? (cm)

4.사과 110개, 감 183개를 학생들에게 똑같이 나누어 주었더니 사과는 2개, 감은 3개가 남았다. 학생 수가 될 수 있는 가장 큰 수는?

→ 나누어떨어지는 것은 110−2와 183−3

5.4로 나누어도 3이 남고, 6으로 나누어도 3이 남는 가장 작은 두 자리 자연수는?

→ (공배수) + 3 꼴

6.도서관에 6일마다 오는 학생과 8일마다 오는 학생이 오늘 화요일에 함께 왔다. 두 학생이 다시 처음으로 함께 오는 날은 무슨 요일인가?

→ 최소공배수를 구한 뒤 7로 나눈 나머지만큼 요일을 뒤로 센다

7.공원을 한 바퀴 도는 데 A는 12분, B는 18분이 걸린다. 같은 지점에서 동시에 출발해 같은 방향으로 돌 때, 출발 지점에서 처음으로 다시 만나는 것은 몇 분 후인가?

8.두 분수 ²⁰⁄_a, ³⁰⁄_a 를 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 a의 값을 모두 더하면?

→ a는 20과 30의 공약수

9.다음 조건을 모두 만족하는 자연수 중 가장 작은 수는?
ㄱ. 약수가 1과 자기 자신뿐이다 ㄴ. 40 이상이다 ㄷ. 65와 서로소이다

→ 65 = 5 × 13

10.다음 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. 29와 87은 서로소이다 ㄴ. 54와 45의 최대공약수는 9이다
ㄷ. 2³과 2×3²의 최소공배수는 두 수의 곱과 같다 ㄹ. 최대공약수가 18인 두 자연수의 공약수는 6개이다

심화킬러 — 역산 · 케이스 분류 · 추상 추론0 / 10

🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.

🔮 이 세트의 핵심 — G·L 역설계

두 수를 A = G×a, B = G×b (a, b는 서로소) 로 두면 L = G×a×b. 이 한 줄로 대부분의 킬러 문제가 풀립니다. 조건이 여러 개면 (a, b) 후보를 빠짐없이 나열하는 게 핵심이에요.

🧩 준비 예제 — 비가 3 : 4, 최소공배수 48

두 자연수의 비가 3 : 4이고 최소공배수가 48일 때, 두 수의 최대공약수는?

STEP 1
비가 3:4이고 3과 4는 서로소 → A = 3G, B = 4G 로 둔다.

STEP 2
L = G × 3 × 4 = 12G

STEP 3
12G = 48 → G = 4

정답
최대공약수 G = 4 (두 수는 12와 16)

🧩 본 유형 — 조건이 둘일 때 후보 나열하기 (아래 8번 유형)

최대공약수가 6이고 최소공배수가 60인 두 자연수가 모두 두 자리일 때, 두 수의 합은?

STEP 1
A = 6a, B = 6b (a, b 서로소) 로 두면 L = 6ab = 60 → ab = 10.

STEP 2
ab = 10이면서 서로소인 (a, b)를 모두 나열: (1, 10), (2, 5).

STEP 3
(1, 10) → 두 수는 6과 60. 6은 한 자리라 조건 위반. (2, 5) → 12와 30, 둘 다 두 자리 ✓

정답
12 + 30 = 42 — 조건을 다 쓰지 않으면 답이 두 개로 갈린다는 게 함정!

1.자연수 a, b, c가 있다. a와 b의 최대공약수는 30, b와 c의 최대공약수는 45일 때, a, b, c의 최대공약수는?

→ 세 수의 공약수는 30과 45의 공약수이기도 하다

2.두 자연수의 곱이 605이고 최대공약수가 11일 때, 두 자연수의 합은?

→ 11a × 11b = 605 에서 ab를 먼저 구한다

3.12와 42에 어떤 분수를 각각 곱하였더니 그 결과가 모두 자연수가 되었다. 이러한 분수 중에서 가장 작은 수가 ^b⁄_a (기약분수)일 때, a + b의 값은?

→ 분모 a는 12와 42의 공약수여야 한다

4.세 변의 길이가 각각 28, 42, 49인 삼각형의 세 변에 일정한 간격으로 점을 찍으려고 한다. 세 꼭짓점에는 반드시 점을 찍는다고 할 때, 최소한 몇 개의 점을 찍어야 하는가?

→ 간격은 세 변의 최대공약수. 꼭짓점이 겹쳐 세어지지 않도록 주의

5.세 수 2⁶×5, 2⁷×3, 2⁶×3×5 의 최소공배수는 이 수들의 최대공약수의 몇 배인가?

6.두 수 2²×3^a×5 와 2^b×3² 의 최대공약수가 12이고 최소공배수가 360일 때, a + b의 값은? (단, a, b는 자연수)

→ 12와 360을 소인수분해해 지수를 하나씩 맞춘다

7.두 자연수 a, b의 최대공약수를 a★b, 최소공배수를 a▲b로 나타내기로 하면 (24★30)▲32 의 값은?

→ 괄호 안부터. ★는 최대공약수

8.최대공약수가 6이고 최소공배수가 60인 두 자연수가 모두 두 자리일 때, 두 수의 합은?

→ 위 단계별 풀이 참고

9.최대공약수가 8이고 최소공배수가 240인 두 자연수 a, b의 순서쌍 (a, b)는 모두 몇 개인가? (단, a ≤ b)

→ 8ab = 240에서 ab를 구하고 서로소인 쌍을 모두 센다

10.최대공약수가 12이고 최소공배수가 180인 두 자연수의 쌍 중에서, 두 수의 합이 가장 작은 쌍의 합은?

→ 후보를 모두 나열한 뒤 합을 비교

📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)

아직 틀린 문제가 없어요.