피타고라스 정리

직각삼각형에서 직각의 맞은편에 있는 변을 빗변이라 합니다. 빗변은 세 변 중에서 가장 깁니다.

피타고라스 정리: 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 a, b, 빗변의 길이를 c 라 하면 a² + b² = c² 입니다.

수업에서 강조한 것은 문제에서 직각이 어디 있는지 먼저 보라는 것입니다. ∠B = 90° 이면 빗변은 AC 이고, ∠C = 90° 이면 빗변은 AB 입니다. 문자 c 가 언제나 빗변인 것은 아닙니다.

거꾸로 빗변과 한 변의 길이를 알면 다른 한 변은 c² − a² = b² 로 구합니다.

제곱은 넓이로도 읽을 수 있습니다. 빗변 위의 정사각형의 넓이가 나머지 두 정사각형의 넓이의 합과 같다는 뜻입니다. 왜 그런지는 뒤에서 넓이로 증명합니다.

길이의 제곱이 49, 64 처럼 어떤 자연수의 제곱이면 길이를 바로 쓸 수 있습니다. 제곱이 50 처럼 제곱수가 아닌 길이를 나타내는 방법은 다음 학년에서 무리수와 함께 배웁니다. 이 노트에서는 길이가 자연수로 떨어지는 경우만 다룹니다.

수업에서 강조한 대로, 세 변의 길이가 모두 자연수인 직각삼각형 가운데 자주 나오는 것은 외워 둡니다. 계산이 빨라지고 실수가 줄어듭니다.

비가 같으면 왜 또 직각삼각형일까요? 세 변의 비가 같은 두 삼각형은 닮음이고, 닮은 도형은 대응하는 각의 크기가 같으므로 직각도 그대로 남기 때문입니다. (세 변이 3, 4, 5 인 삼각형이 정말 직각삼각형이라는 것은 뒤에서 피타고라스 정리를 거꾸로 쓰는 방법으로 확인합니다.)

직각삼각형이 그림에 바로 보이지 않으면 보조선으로 직각삼각형을 만듭니다. 가장 흔한 보조선은 한 꼭짓점에서 마주 보는 변에 내린 수선입니다.

두 직각삼각형이 한 변을 함께 쓰면, 한 삼각형에서 그 변을 먼저 구해 다른 삼각형으로 넘겨 씁니다.

길이를 몰라도 제곱은 압니다. AC 의 길이를 바로 쓸 수 없어도 AC² 은 a² + a² 이므로, 그 값을 그대로 다음 직각삼각형에 넣으면 됩니다. 마지막에 제곱이 제곱수가 될 때 길이로 바꿉니다.

수업에서 강조한 것은, 피타고라스 정리의 증명은 「증명하시오」로 나오지 않는다는 점입니다. 증명을 써 놓고 빈칸을 채우게 하므로 흐름을 기억합니다. 여기서는 넓이로 보는 증명 두 가지를 봅니다.

유클리드의 방법은 수업에서 가장 중요하다고 한 증명입니다. 큰 흐름은 「정사각형 □ADEB 의 넓이가 직사각형 □BFML 의 넓이와 같다」를 넓이가 같은 삼각형을 차례로 따라가며 보이는 것입니다.

1단계 — 정사각형의 대각선 AE 를 그으면 정사각형의 넓이가 반으로 나뉘므로 △EBA 는 □ADEB 의 절반입니다.

2단계 — ∠DAB = ∠BAC = 90° 라서 세 점 D, A, C 는 한 직선 위에 있고, 이 직선은 EB 와 평행합니다. 평행선 사이에서 밑변 EB 를 함께 쓰는 두 삼각형은 넓이가 같으므로 △EBC = △EBA 입니다. (앞에서 배운 넓이 성질입니다.)

3단계 — EB = AB, BC = BF 이고 ∠EBC = ∠ABF (둘 다 90° + ∠ABC) 이므로 △EBC ≡ △ABF (SAS 합동). 합동이면 넓이가 같습니다.

4단계 — AM ∥ BF 이므로 같은 이유로 △ABF = △LBF 이고, △LBF 는 직사각형 □BFML 의 절반입니다.

따라서 □ADEB = □BFML 입니다. 같은 방법으로 □ACHI = □LMGC 이고, 둘을 더하면 AB² + AC² = □BFGC = BC² 입니다.

피타고라스의 방법은 한 변이 a + b 인 똑같은 정사각형 두 개를 서로 다르게 나누는 것입니다.

두 큰 정사각형의 넓이는 같고, 어느 쪽에도 합동인 직각삼각형 네 개가 들어 있습니다. 그 네 개를 빼고 남은 넓이도 같아야 하므로 c² = a² + b² 입니다.

왼쪽 그림의 가운데 사각형이 정사각형인 이유는 이렇습니다. 네 변이 모두 빗변 c 이고, 한 꼭짓점에 모인 세 각 중 두 각의 합이 90° 라서(직각삼각형의 두 예각의 합) 남은 한 각이 90° 입니다.

닮음비로 비례식을 세우는 증명입니다(월리스의 방법). 직각인 꼭짓점에서 빗변에 수선을 그으면 직각삼각형이 세 개 보이고, 셋은 모두 닮음입니다.

왜 닮음일까요? △ABC 와 △HBA 는 ∠B 를 함께 갖고 ∠BAC = ∠BHA = 90° 이므로 AA 닮음이고, △ABC 와 △HAC 는 ∠C 를 함께 갖고 직각이 하나씩 있으므로 AA 닮음입니다.

닮은 두 삼각형에서 대응하는 변의 비를 맞추면 비례식이 나옵니다. 아래 세 식 가운데 첫 두 식이 그렇게 나온 것입니다.

수업에서 강조한 것은, 이 증명은 「직각삼각형에 수선 하나를 긋고, 닮은 세 삼각형의 비례식으로 간다」는 흐름만 기억하면 된다는 점입니다. 앞에서 배운 AH² = BH × CH 도 같은 닮음(△HBA ∽ △HAC)에서 나옵니다.

세 번째 식 AB × AC = BC × AH 는 닮음이 아니라 넓이에서 나옵니다. 직각을 낀 두 변을 밑변·높이로 보아도, 빗변과 수선을 밑변·높이로 보아도 같은 △ABC 의 넓이이기 때문입니다.

피타고라스 정리를 거꾸로 써도 맞습니다. 세 변의 길이가 a, b, c 인 삼각형에서 a² + b² = c² 이면, 이 삼각형은 길이가 c 인 변의 맞은편 각이 직각인 직각삼각형입니다.

그러면 c² 과 a² + b² 이 같지 않을 때는 어떨까요? 아래 표처럼 그 각이 직각보다 작은지 큰지를 알 수 있습니다. 이때 c 는 반드시 가장 긴 변이어야 합니다.

왜 그럴까요? 두 변의 길이는 그대로 두고 그 사이의 각을 벌리면 마주 보는 변이 길어지고, 좁히면 짧아집니다. 직각일 때가 c² = a² + b² 이므로, 벌린 쪽(둔각)은 c² 이 더 크고 좁힌 쪽(예각)은 c² 이 더 작습니다. 수업에서도 「당연한 것이라 따로 증명하지 않는다」고 했습니다.

수업에서 강조한 것은, 판정 전에 할 일이 둘이라는 점입니다. 첫째, 가장 긴 변을 찾습니다. 둘째, 그 세 수로 삼각형이 만들어지는지(가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합) 확인합니다.

예각삼각형은 세 각이 모두 예각이므로, 길이를 모르는 변이 있으면 그 변이 가장 긴 경우와 아닌 경우를 나누어 봅니다.

서로 수직인 선분이 있으면 직각삼각형이 여러 개 생기고, 피타고라스 정리를 여러 번 쓰면 제곱들이 짝을 지어 묶입니다. 수업에서 「외울 필요는 없고 흐름만 알면 된다」고 했습니다.

첫째, 대각선이 수직인 사각형입니다. 두 대각선의 교점을 O 라 하고 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d 라 하면 AB² = a² + b², BC² = b² + c², CD² = c² + d², DA² = d² + a² 입니다. AB² + CD² 에도, AD² + BC² 에도 a², b², c², d² 이 하나씩 들어 있으므로 AB² + CD² = AD² + BC² 입니다.

둘째, ∠B = 90° 인 △ABC 에서 P 가 AB 위, Q 가 BC 위에 있으면 AQ² = AB² + BQ², PQ² = PB² + BQ² 이므로 AQ² − PQ² = AB² − PB² 입니다. BQ² 이 빠지므로 Q 가 어디 있든 값이 같습니다.

이 두 가지 말고도 서로 수직인 선분이 있으면 「피타고라스 정리를 여러 번 쓰고, 같은 제곱끼리 짝지어 본다」는 같은 방법이 통합니다.

정사각형 대신 반원을 붙여도 같은 관계가 성립합니다. 반원의 넓이도 지름의 제곱에 일정한 수를 곱한 것이기 때문입니다. 그래서 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이는 나머지 두 반원의 넓이의 합과 같습니다.

히포크라테스의 원: 두 번째 그림의 두 초승달 모양의 넓이의 합은 직각삼각형의 넓이와 같습니다.

이유는 이렇습니다. 그림 전체(△ABC + AB 위 반원 + AC 위 반원)에서 BC 위 반원을 빼면 두 초승달이 남습니다. 그런데 BC 위 반원은 두 작은 반원의 넓이의 합과 같으므로, 빼고 나면 △ABC 만 남습니다.

수업에서 강조한 것은, 이 단원의 활용 문제 중 시험에 가장 잘 나오는 것이 히포크라테스의 원이라는 점입니다.

꺾인 길의 최단 거리는 한 직선이 되도록 펼쳐서 구합니다. 펼친 직선이 직각삼각형의 빗변이 되면 피타고라스 정리를 씁니다.

왜 대칭점일까요? Q 가 BC 위의 어느 점이든 QS = QS′ 이므로 PQ + QS = PQ + QS′ 입니다. 이 값은 P, Q, S′ 이 한 직선 위에 있을 때 가장 작습니다. 그때의 길이 PS′ 은 가로가 BC, 세로가 BP + CS 인 직각삼각형의 빗변입니다.

원뿔의 옆면 위의 최단 거리는 옆면을 펼친 부채꼴 위에서 직선으로 구합니다. 부채꼴의 호의 길이는 밑면의 둘레와 같으므로, 중심각 = 360° × (밑면의 반지름) ÷ (모선의 길이) 입니다.

중심각이 90° 가 되면 A 에서 만나는 두 모선이 수직이므로 피타고라스 정리를 바로 쓸 수 있습니다. 이 노트의 원뿔 문제는 모두 이 경우입니다.

이 단원의 길이는 모두 자연수로 떨어지도록 골랐습니다. 다음 학년에서 무리수를 배우면 같은 정리로 훨씬 많은 길이를 구하게 됩니다. 다음 단원은 경우의 수입니다.