삼각형의 무게중심 · 닮음의 활용

중선은 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분입니다. 한 삼각형에는 중선이 세 개 있습니다.

삼각형의 중선은 그 삼각형의 넓이를 이등분합니다. 이유는 간단합니다. 두 삼각형 ABD, ADC 는 밑변 BD, DC 의 길이가 같고 높이도 같습니다. 앞에서 「높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다」고 배운 것을 그대로 쓴 것입니다.

넓이가 같다고 모양까지 같은 것은 아닙니다. 두 삼각형은 대개 합동이 아닙니다.

중선 위의 어느 점 P 를 잡아도 △ABP 와 △ACP 의 넓이가 같습니다. △ABD = △ADC 이고, PD 는 △PBC 의 중선이라 △PBD = △PDC 이기 때문입니다. 같은 넓이에서 같은 넓이를 빼면 같습니다.

또 중선 위의 점이 중선을 어떤 비로 나누면 그 비대로 넓이도 나뉩니다. △ABP 와 △PBD 는 높이가 같고 밑변이 AP, PD 이기 때문입니다.

삼각형의 세 중선이 만나는 점을 무게중심이라 하고, 보통 G 로 나타냅니다(외심 O, 내심 I 처럼). 외심을 「세 변의 수직이등분선의 교점」, 내심을 「세 내각의 이등분선의 교점」으로 기억했듯이, 무게중심은 세 중선의 교점으로 기억합니다.

「무게」의 중심이라고 부르는 까닭이 있습니다. 삼각형 모양의 판을 무게중심 위에 손끝으로 받치면 기울지 않고 균형을 이룹니다. 수업에서는 철판 이야기로 이것을 설명했습니다.

수업에서 「무게중심에서 가장 중요한 성질」이라고 한 것은, 세 중선 모두에서 꼭짓점 쪽 : 변 쪽 = 2 : 1 이라는 점입니다. 그래서 AG = 23AD, GD = 13AD 입니다.

중선을 하나만 그려도, 그 중선을 꼭짓점 쪽에서 2 : 1 로 나누는 점을 찍으면 그것이 무게중심입니다.

왜 2 : 1 일까요? D, E 가 BC, CA 의 중점이므로 앞 단원의 「두 변의 중점을 연결한 선분」에 의해 ED ∥ AB, ED = 12AB 입니다. 그러면 △GAB 와 △GDE 는 맞꼭지각(∠AGB = ∠DGE)과 엇각(∠GAB = ∠GDE)이 같아 AA 닮음이고, 닮음비는 AB : DE = 2 : 1 입니다. 대응하는 변 AG 와 DG 도 2 : 1 입니다.

세 중선이 한 점에서 만나는 이유도 같은 방법으로 설명됩니다. AB 의 중점을 F 라 하면, 중선 CF 가 AD 와 만나는 점도 AD 를 2 : 1 로 나눕니다. AD 를 2 : 1 로 나누는 점은 하나뿐이므로 두 점은 같은 점입니다. 수업에서: 이 증명은 시험에 빈칸 채우기로 나옵니다. 빈칸 앞뒤의 흐름을 따라가며 읽는 연습을 해 둡니다.

정삼각형에서는 세 중선이 각각 수직이등분선이자 각의 이등분선이므로 외심·내심·무게중심이 모두 같은 점입니다.

무게중심을 한 번 더 쓰는 경우도 있습니다. 점 G′ 이 △GBC 의 무게중심이면, GD 는 △GBC 의 중선(D 는 BC 의 중점)이므로 G′ 은 GD 를 다시 2 : 1 로 나눕니다. 큰 삼각형의 2 : 1 을 먼저 쓰고, 작은 삼각형에서 한 번 더 씁니다.

세 중선은 삼각형을 넓이가 같은 여섯 조각으로 나눕니다. 각 조각은 △ABC 의 16 입니다.

왜 같을까요? 첫째, 중선 AD 가 △ABC 를 넓이가 같은 두 삼각형으로 나눕니다. 둘째, G 가 AD 를 2 : 1 로 나누므로 △ABD 안에서 △ABG : △GBD = 2 : 1 입니다(높이가 같고 밑변의 비가 2 : 1). 셋째, △ABG 는 GF(F 는 AB 의 중점)에 의해 다시 반으로 나뉩니다. 그래서 1 : 1 : 1 이 되고, 다른 중선 쪽도 마찬가지입니다.

꼭짓점과 G 만 이으면 세 조각 △GAB, △GBC, △GCA 가 생기고 넓이가 각각 △ABC 의 13 입니다(여섯 조각 중 두 개씩).

수업에서: 같은 그림을 「여섯 조각」으로도, 「세 조각」으로도 볼 줄 알아야 합니다. 문제에 그려진 선이 어느 쪽인지 먼저 봅니다.

평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분하므로 교점 O 는 AC 의 중점입니다. 그래서 BO 는 △ABC 의 중선이고, AM(M 은 BC 의 중점)도 △ABC 의 중선입니다.

따라서 P 는 △ABC 의 무게중심이고, 같은 이유로 Q 는 △ACD 의 무게중심입니다. 무게중심은 중선 BO 를 2 : 1 로 나누므로 BP = 23BO = 13BD 이고, 마찬가지로 QD = 13BD 입니다. 결국 BP = PQ = QD 입니다. 대각선 BD 가 삼등분됩니다.

수업에서: 평행사변형 문제에 「중점」이 보이면 대각선을 하나 더 그어 숨은 삼각형과 무게중심을 찾습니다. 시험에는 대각선이 그려져 있지 않은 그림이 자주 나옵니다.

넓이에도 그대로 씁니다. △ABC 는 □ABCD 의 12 이고, P 가 그 삼각형의 무게중심이므로 앞에서 본 여섯 조각·세 조각을 그대로 쓸 수 있습니다.

여기서부터는 「닮음의 활용」입니다. 앞에서 닮음을 배울 때 닮음비는 대응하는 변의 길이의 비라고 했습니다. 그런데 변만이 아닙니다. 대응하는 높이, 둘레의 길이처럼 「길이」인 것은 모두 닮음비와 같습니다.

닮음비가 1 : 3 이면 넓이의 비는 1 : 9 입니다. 수업에서 한 계산은 이렇습니다. 작은 삼각형의 밑변을 a, 높이를 h 라 하면 큰 삼각형은 밑변 3a, 높이 3h 이므로 넓이는 12ah 와 12 × 3a × 3h = 9 × 12ah 입니다. 길이 두 개가 각각 3배이니 넓이는 3 × 3 = 9배입니다.

일반적으로 닮음비가 m : n 이면 넓이의 비는 m² : n² 입니다. 둘레의 길이는 길이를 더한 것이라 닮음비 그대로입니다.

거꾸로 넓이의 비를 알면 닮음비를 구할 수 있습니다. 제곱하기 전으로 되돌아가면 됩니다(넓이의 비 9 : 16 → 닮음비 3 : 4). 지금은 제곱수끼리의 비만 다룹니다.

앞 단원의 평행선 그림에도 그대로 씁니다. DE ∥ BC 이면 △ADE ∽ △ABC 이고, 닮음비 AD : AB 를 제곱하면 넓이의 비입니다.

입체도형도 닮음비가 있습니다. 대응하는 모서리의 길이의 비이고, 높이·반지름처럼 길이인 것은 모두 같은 비입니다.

닮음비가 m : n 이면 겉넓이의 비는 m² : n², 부피의 비는 m³ : n³ 입니다.

왜 세제곱일까요? 위 그림처럼 모서리가 2배인 정육면체에는 작은 정육면체가 2 × 2 × 2 = 8개 들어갑니다. 모서리의 방향마다 한 번씩, 세 번 2배가 되기 때문입니다. 겉넓이는 면의 넓이들의 합이고 각 면의 넓이가 m² : n² 이므로 합도 m² : n² 입니다.

수업에서: 문제에 길이·넓이·부피 가운데 무엇이 주어졌는지, 무엇을 묻는지를 먼저 표시합니다. 주어진 것을 닮음비로 되돌린 다음 묻는 것으로 다시 올라갑니다.

구는 모두 서로 닮은 도형입니다(앞에서 본 「항상 닮은 도형」). 반지름의 비가 곧 닮음비입니다.

꼭짓점이 아래인 원뿔 모양의 그릇에 물을 담으면, 물이 이루는 원뿔은 그릇 전체와 닮았습니다. 닮음비는 (물의 높이) : (그릇의 높이) 입니다.

일정한 속도로 물을 넣으면 걸리는 시간은 부피에 정비례합니다. 시간 문제는 부피의 비로 바꿔 풉니다.

원뿔을 밑면에 평행하게 자르면 위쪽은 처음 원뿔과 닮은 작은 원뿔이고, 아래쪽은 원뿔대입니다. 원뿔대는 닮음이 아니므로 직접 비를 쓸 수 없습니다. (큰 원뿔) − (작은 원뿔) 로 구합니다.

여러 번 자르면 꼭짓점에서부터 원뿔을 차례로 크게 보고 부피를 빼 나갑니다.

축도는 실제 모양을 일정한 비율로 줄여 그린 그림입니다(지도가 대표적입니다). 「축」은 줄인다는 뜻입니다. 축도와 실제 모양은 닮은 도형입니다.

축척은 축도에서 실제 길이를 줄인 비율, 곧 (축도의 길이) : (실제 길이) 입니다. 1 : n 이나 1n 꼴로 씁니다.

축척을 쓸 때는 단위를 먼저 맞춥니다. 1 m = 100 cm, 1 km = 1000 m = 100000 cm 입니다.

넓이에도 쓸 수 있습니다. 축도와 실제는 닮음이므로 넓이의 비는 축척을 제곱한 비입니다.

직접 잴 수 없는 높이는 닮음으로 잽니다. 같은 시각에는 햇빛이 같은 각도로 비추므로, 지면에 수직으로 선 나무와 막대가 그림자와 함께 만드는 두 직각삼각형이 AA 닮음입니다. 그래서 (나무의 높이) : (막대의 높이) = (나무의 그림자) : (막대의 그림자) 입니다.

수업에서: 실생활 문제는 「닮은 두 삼각형이 어디 있는가」를 먼저 찾습니다. 수직으로 세운 것이 둘이면 평행이고, 평행이면 닮음을 의심합니다. 그리고 답을 구한 뒤 단위가 문제가 묻는 것과 같은지 확인합니다.

이 노트의 앞 절반은 중점과 닮음이 만든 2 : 1 을, 뒤 절반은 닮음비가 넓이와 부피로 퍼져 나가는 모습을 다루었습니다. 두 부분 모두 닮음비 하나를 찾으면 나머지가 따라온다는 점에서 같습니다. 다음 단원에서는 직각삼각형의 세 변 사이의 관계인 피타고라스 정리를 배웁니다.