평행선 사이의 선분의 길이의 비

△ABC 의 변 AB, AC 위에(또는 그 연장선 위에) 점 D, E 가 있고 DE ∥ BC 이면 △ADE ∽ △ABC 입니다.

왜 닮음일까요? 왼쪽 그림에서는 ∠A 를 두 삼각형이 함께 가지고, 평행선이 만드는 동위각(∠ADE = ∠ABC)이 같습니다. 오른쪽 그림에서는 A 에서 맞꼭지각이 같고, 평행선이 만드는 엇각(∠ADE = ∠ABC)이 같습니다. 두 경우 모두 AA 닮음입니다.

그래서 닮음비를 그대로 쓸 수 있습니다: AD : AB = AE : AC = DE : BC. 이 세 비는 모두 「작은 삼각형의 변 : 큰 삼각형의 대응하는 변」입니다.

오른쪽 그림처럼 두 삼각형이 A 에서 마주 보면 뒤집힌 모양이지만, 대응은 그대로 D ↔ B, E ↔ C 입니다. 그래서 비도 AD : AB = DE : BC 로 씁니다.

수업에서: 평행선은 삼각형 안쪽에 그을 수도 있고, 두 변을 연장해 바깥에 그을 수도 있습니다. 어디에 그었든 AA 닮음을 먼저 확인하고 대응하는 변끼리 비를 세웁니다.

DE ∥ BC 이면 두 변이 잘린 조각끼리도 비가 같습니다: AD : DB = AE : EC.

왜 그럴까요? AD : AB = AE : AC 이므로, 전체에서 위 조각을 뺀 아래 조각끼리도 비가 같습니다. 수업에서는 「상대적인 값의 비율이라 뺄셈을 해도 그대로」라고 했습니다.

증명(교과서 방식): 점 E 를 지나 AB 에 평행한 직선이 BC 와 만나는 점을 F 라 하면 □DBFE 는 평행사변형이라 EF = DB 입니다. △ADE ∽ △EFC (AA 닮음, 동위각) 이므로 AD : EF = AE : EC, 여기서 EF 대신 DB 를 넣으면 AD : DB = AE : EC 입니다.

앞에서 본 두 삼각형이 A 에서 마주 보는 모양(처음 그림의 오른쪽)에서는 사정이 다릅니다. 선분 DB 가 점 A 에서 두 조각 AD, AB 로 나뉘는데, 이 두 조각이 그 자체로 닮은 두 삼각형의 대응하는 변이라 조각의 비 AD : AB 가 곧 닮음비가 됩니다. 그래서 앞의 비교에서 말한 「같지 않다」는 D, E 가 두 변 위에 있을 때의 이야기입니다. 어느 모양이든 그때마다 「대응하는 변인가」를 확인합니다.

문제에 「평행」이라는 말이 없이 평행인지 아닌지를 묻는다면, 주어진 길이로 두 비를 계산해 같은지 봅니다. 수업에서는 「평행하면 비율이 같고, 비율이 같으면 평행하다 — 앞뒤를 바꿔도 괜찮다」고 했습니다.

△ABC 에서 ∠A 의 이등분선이 BC 와 만나는 점을 D 라 하면 BA : CA = BD : CD 입니다. 이것을 삼각형의 각의 이등분선의 성질이라 합니다.

교과서마다 AB : AC = BD : DC 처럼 이름과 순서를 조금씩 다르게 씁니다. 같은 말입니다. 수업에서는 외우기 편하게 BA : CA = BD : CD 로 쓰라고 했습니다 — 이유는 뒤에 나오는 표에 있습니다.

왜 성립할까요? 증명의 요점은 두 가지입니다. 첫째, 평행선을 긋습니다. 둘째, 이등변삼각형을 만듭니다.

위 그림처럼 보조선 CE 를 그으면 AD ∥ EC 이므로 동위각 ∠BAD = ∠AEC, 엇각 ∠DAC = ∠ACE 입니다. ∠BAD = ∠DAC 이므로 ∠AEC = ∠ACE, 곧 △ACE 는 AE = AC 인 이등변삼각형입니다. △BEC 에서 AD ∥ EC 이므로 평행선 사이의 선분의 비에 의해 BA : AE = BD : DC. 여기서 AE 대신 같은 길이 AC 를 넣으면 BA : AC = BD : DC 입니다.

수업에서: 이 증명은 시험에 빈칸 채우기로 나옵니다. 결과만 외우면 계산은 되지만, 「어디에 평행선을 그었고 왜 이등변삼각형이 되는가」를 한 번은 따라가 두어야 합니다.

넓이로도 볼 수 있습니다. △ABD 와 △ADC 는 높이가 같으므로 넓이의 비가 밑변의 비 BD : DC 와 같고, 그래서 △ABD : △ADC = AB : AC 입니다.

△ABC 에서 ∠A 의 외각의 이등분선이 BC 의 연장선과 만나는 점을 D 라 해도 BA : CA = BD : CD 가 그대로 성립합니다(AB ≠ AC 일 때). 식이 내각일 때와 글자 하나 다르지 않습니다 — 그래서 수업에서 같은 방식으로 외우라고 한 것입니다.

증명도 내각과 같은 두 단계입니다. 위 그림처럼 보조선 CE 를 그으면 엇각과 동위각이 같아 △AEC 가 AE = AC 인 이등변삼각형이 됩니다. △BDA 에서 EC ∥ AD 이므로 BA : EA = BD : CD, 여기서 EA 대신 CA 를 넣습니다.

D 가 B 쪽이 아니라 C 쪽 바깥에 생긴 것은 AB 가 AC 보다 길기 때문입니다(BD 가 CD 보다 길어야 하므로). AC 가 더 길면 D 는 B 쪽 바깥에 생깁니다. 시험에서는 그림이 주어지므로 그림의 위치를 그대로 따릅니다.

한 삼각형에서 내각의 이등분선과 외각의 이등분선을 함께 그으면 두 점이 BC 위와 BC 의 연장선 위에 하나씩 생깁니다. 두 점 모두 같은 비 BA : CA 로 B, C 에서의 거리가 정해집니다.

△ABC 에서 두 변 AB, AC 의 중점을 M, N 이라 하면 MN ∥ BC, MN = 12BC 입니다.

이유는 앞 단원의 닮음 조건으로 바로 보입니다. AM : AB = AN : AC = 1 : 2 이고 끼인각 ∠A 를 함께 가지므로 △AMN ∽ △ABC (SAS 닮음, 닮음비 1 : 2) 입니다. 대응각 ∠AMN = ∠ABC 가 동위각이라 MN ∥ BC 이고, 닮음비에서 MN = 12BC 입니다.

거꾸로도 성립합니다: AB 의 중점 M 을 지나 BC 에 평행한 직선은 AC 의 중점을 지납니다. 평행선이 두 변을 같은 비로 자르므로 AM : MB = 1 : 1 이면 AN : NC 도 1 : 1 이기 때문입니다. 문제에 「중점」과 「평행」이 함께 나오면 이 두 문장 중 하나를 씁니다.

왼쪽 그림 — 여러 가지 사각형을 배울 때 「이유는 뒤에서」라고 미뤄 둔 것이 여기서 풀립니다. □ABCD 의 네 변 AB, BC, CD, DA 의 중점을 각각 E, F, G, H 라 하고 대각선 AC 를 그으면 △ABC 에서 EF ∥ AC, EF = 12AC 이고, △ACD 에서 HG ∥ AC, HG = 12AC 입니다. 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으므로 □EFGH 는 평행사변형이고, 둘레의 길이는 두 대각선의 길이의 합 AC + BD 와 같습니다.

오른쪽 그림 — 사다리꼴 ABCD 에서 AB 의 중점 M 을 지나 BC 에 평행한 직선을 그으면, 앞에서 본 「거꾸로」 성질에 의해 △ABC 에서 AC 의 중점 G 를 지나고, 다시 △ACD 에서(GN ∥ AD) DC 의 중점을 지납니다 — 그 점이 N 입니다. 그래서 MN ∥ BC 이고, △ABC 에서 MG = 12BC, △ACD 에서 GN = 12AD 이므로 MN = 12(AD + BC) 입니다.

지금까지는 삼각형 안에서 일어나는 일이었습니다. 이제 평행한 세 직선 l, m, n 을 다른 두 직선이 자르는 경우로 넓힙니다.

수업에서 알려 준 방법은 같은 칸을 순서대로 바라보는 것입니다. 한 직선에서 「위 칸 : 아래 칸」을 잡았으면 다른 직선에서도 「위 칸 : 아래 칸」을 잡습니다: a : b = c : d.

왜 그럴까요? 한 직선을 다른 직선 쪽으로 평행이동해 두 직선이 l 위에서 만나게 하면, 평행선이 삼각형의 두 변을 자르는 그림이 됩니다. 앞에서 본 평행선 사이의 선분의 비가 그대로 쓰입니다.

칸을 묶어서 써도 됩니다 — a : (a + b) = c : (c + d) 처럼 「위 칸 : 전체」끼리도 비가 같습니다. 순서만 두 직선에서 똑같이 맞추면 됩니다.

두 직선이 평행선 사이에서 서로 엇갈리더라도(교차하더라도) 같은 방법이 통합니다. 평행선을 하나 더 그어 보면 됩니다.

평행한 세 직선에서 바깥으로 삐져나온 부분을 지우면 사다리꼴 안에 평행선이 하나 그어진 그림이 됩니다(AD ∥ EF ∥ BC). 이 그림의 대표 문제는 가운데 선분 EF 의 길이를 구하는 것입니다.

수업에서 두 가지 방법을 보여 주었습니다. 문제에서 방법을 정해 주지 않으면 연습해 보고 편한 쪽을 씁니다.

방법 1 — 평행사변형을 만듭니다. D 를 지나 AB 에 평행한 선분을 긋고, 이 선분이 EF, BC 와 만나는 점을 각각 G, H 라 하면 □AEGD 와 □ABHD 가 평행사변형이라 EG = AD, BH = AD 입니다. 나머지 GF 는 △DHC 안에서 닮음으로 구합니다(△DGF ∽ △DHC).

방법 2 — 대각선을 긋습니다. 대각선 AC 와 EF 의 교점을 G 라 하면, AC 가 EF 를 EG 와 GF 두 조각으로 나눕니다. 왼쪽 △ABC 에서 EG 를, 오른쪽 △CDA 에서 GF 를 각각 구해 더합니다.

두 선분 AC, BD 가 E 에서 만나고, E 를 지나 AB, DC 에 평행한 선분 EF 가 있는 그림입니다(AB ∥ DC).

AB = a, DC = b 라 합니다. 먼저 △EAB ∽ △ECD (AA 닮음, 엇각)이므로 BE : ED = AB : DC = a : b. 이 비는 평행선 사이의 선분의 비로 BC 위에도 그대로 옮겨 가 BF : FC = a : b 가 됩니다.

다음으로 △BEF ∽ △BDC (AA 닮음, 동위각)이고 닮음비가 BE : BD = a : (a + b) 이므로 EF = b × aa + b. 곧 EF = aba + b — 수업에서는 「양쪽 길이의 합분의 곱」이라고 불렀습니다.

이 공식은 결과입니다 — 지금까지 한 닮음과 비를 정리한 것이므로 외우기 힘들면 위 두 단계를 다시 밟아도 됩니다.

수업에서 특히 강조한 것은 그림이 공식의 조건을 정말 다 갖추었는지 확인하는 일입니다. 처음 보는 그림이 비슷해 보여도 하나라도 어긋나면 공식에 넣지 말고, 위의 두 단계처럼 닮음을 직접 찾습니다.

이 단원의 그림은 모양이 달라도 결국 같은 일을 했습니다 — 평행선이 만든 닮음을 찾고, 그 비가 닮음비인지 조각의 비인지 구별하는 것. 다음 단원에서는 삼각형의 무게중심과 닮은 도형의 넓이의 비·부피의 비로 이어집니다.