도형의 닮음

합동은 모양과 크기가 모두 같은 것이었습니다. 닮음은 모양만 같으면 됩니다. 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 것이 다른 도형과 합동일 때, 두 도형은 서로 닮음인 관계에 있다고 하고, 닮음인 관계에 있는 두 도형을 닮은 도형이라 합니다. 크기까지 같으면 합동이므로 합동은 닮음의 특별한 경우입니다.

기호: △ABC 와 △DEF 가 닮은 도형일 때 △ABC ∽ △DEF 로 씁니다(∽ 는 S 를 눕힌 모양입니다).

수업에서: 합동에서 가장 중요한 것이 순서였던 것처럼 닮음에서도 순서가 가장 중요합니다. △ABC ∽ △DEF 라고 쓰면 A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F 가 대응한다는 뜻입니다. 그래서 △ABC ∽ △DEF 와 △ABC ∽ △EFD 는 같은 말이 아닙니다. 대응하는 점·변·각을 각각 대응점·대응변·대응각이라 합니다.

닮은 평면도형에서는 대응각의 크기가 각각 같습니다. 길이는 커지거나 작아져도 각은 그대로입니다.

따져 보지 않아도 언제나 닮은 도형이 있습니다 — 두 원, 변의 개수가 같은 두 정다각형, 두 구, 면의 개수가 같은 두 정다면체.

닮음비는 닮은 두 도형에서 대응하는 변의 길이의 비입니다. 가장 간단한 자연수의 비로 나타냅니다.

수업에서 짚은 두 가지입니다. 첫째, 대응해야 합니다. 대응하지 않는 변끼리의 비는 아무 뜻이 없습니다. △ABC ∽ △DEF 에서 AB 의 짝은 반드시 DE 입니다. 둘째, 세 변만 볼 필요는 없습니다. 수업에서는 높이를 예로 들었습니다 — 한쪽에서 높이를 골랐으면 다른 쪽에서도 대응하는 높이를 골라야 합니다.

닮음비를 쓸 때도 순서를 지킵니다. 「△ABC 와 △DEF 의 닮음비」를 물으면 △ABC 쪽을 앞에 씁니다 — 2 : 3 을 3 : 2 로 쓰면 틀립니다.

둘레의 길이가 닮음비를 따르는 이유는, 세 변이 모두 같은 비율로 늘어나면 그 합도 같은 비율로 늘어나기 때문입니다. 그래서 둘레를 물으면 변을 하나하나 구하지 않아도 됩니다.

입체도형도 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 것이 다른 도형과 합동이면 닮은 도형입니다. 평면도형의 「변」이 입체도형에서는 「모서리」로 이름만 바뀝니다. 기호와 대응의 순서도 평면도형과 똑같이 씁니다.

두 원기둥이 닮았는지 확인할 때는 반지름의 비와 높이의 비를 둘 다 봅니다. 하나만 같아서는 안 됩니다 — 반지름의 비와 높이의 비가 다르면 닮은 원기둥이 아닙니다. 반면 두 구는 반지름만 있으므로 언제나 닮았습니다.

두 삼각형이 닮았는지 세 변과 세 각을 모두 확인할 필요는 없습니다. 합동 조건처럼 닮음 조건이 있습니다.

수업에서: 닮음은 크기가 아니라 모양이 중요하므로, 합동 조건의 ASA 대신 AA 만 있으면 됩니다. 삼각형의 세 각의 합은 180° 이므로 두 쌍의 각이 같으면 나머지 한 쌍도 저절로 같고, 삼각형은 세 각이 정해지면 모양이 정해집니다(사각형과 다른 점입니다).

세 조건 중 실제 문제에서 가장 많이 쓰는 것은 AA 입니다. 각은 평행선·공통인 각·직각에서 거저 얻는 경우가 많기 때문입니다. 길이가 여러 개 주어졌으면 SSS·SAS 를 의심합니다.

닮음을 찾았으면 대응하는 순서대로 이름을 씁니다. 이름을 잘못 쓰면 이어지는 비례식이 모두 틀립니다.

큰 삼각형 안에 작은 삼각형이 있고 두 삼각형이 한 각을 함께 가지면, 그 각이 닮음의 출발점입니다. 나머지 하나 — 각 하나(AA) 또는 그 각을 낀 두 변의 비(SAS) — 만 더 찾으면 됩니다.

수업에서: 두 삼각형이 서로 다른 방향으로 놓여 있으면 어느 변이 어느 변에 대응하는지 잘 안 보입니다. 그럴 때는 작은 삼각형을 공통인 각을 잡은 채 뒤집어 큰 삼각형에 겹쳐 봅니다. 뒤집으면 대응하는 변이 같은 방향에 놓여, 같은 각을 낀 변끼리 비를 맞추면 됩니다.

길이가 주어진 문제에서는 먼저 공통인 각을 낀 변의 길이를 짧은 것끼리, 긴 것끼리 짝지어 비가 같은지 봅니다. 같으면 SAS 닮음입니다.

수선이 두 개 그어진 그림도 같은 방법입니다. 두 직각삼각형이 직각과 공통인 각을 하나씩 함께 가지므로 AA 닮음이 됩니다.

수업에서: 문제에 닮음이라는 말이 없어도 그림에 평행선이 보이면 언제나 닮음을 의심합니다. 닮음은 평행선이 있는 곳에서 가장 많이 나타납니다.

평행선은 동위각이나 엇각을 만들고, 그 각 두 쌍으로 AA 닮음이 됩니다. 왼쪽 모양은 작은 삼각형이 큰 삼각형 안에 들어 있고(∠A 를 함께 가집니다), 오른쪽 모양은 두 삼각형이 한 점에서 마주 보며 O 에서 맞꼭지각으로 크기가 같은 각을 하나씩 가집니다.

대응을 쓸 때 주의합니다. 오른쪽 모양에서는 두 삼각형이 뒤집힌 채 마주 봅니다. △OAB 의 A 는 엇각이 같은 D 와, B 는 C 와 대응합니다 — 그래서 △OAB ∽ △ODC 이지 △OAB ∽ △OCD 가 아닙니다.

평행사변형·사다리꼴·마름모처럼 평행한 변을 가진 사각형 안에 대각선이나 연장선이 그어지면 이 두 모양이 숨어 있습니다.

수업에서: 닮음이 가장 자주 등장하는 곳은 직각삼각형입니다. ∠A = 90° 인 직각삼각형 ABC 의 꼭짓점 A 에서 빗변 BC 에 수선 AD 를 내리면, 그림 안에 직각삼각형이 세 개 생기고 셋이 모두 닮음입니다.

이유: 직각삼각형에서 직각이 아닌 두 각의 합은 90° 입니다. 그래서 ∠B 와 크기가 같은 각(●)이 △ADC 에도 생기고, ∠C 와 크기가 같은 각(×)이 △ABD 에도 생깁니다. 세 삼각형이 모두 「직각 · ● · ×」를 가지므로 AA 닮음입니다: △ABC ∽ △DBA ∽ △DAC.

수업에서 알려 준 방법: 세 삼각형에서 짧은 변 · 긴 변 · 빗변을 같은 순서로 나열하면 그 비가 모두 같습니다. 한 삼각형에서 두 변을 골라 비를 만들면, 다른 삼각형에서도 같은 이름의 두 변을 골라 같은 비를 만듭니다.

수업에서 선생님은 「딱 하나」를 세 번이나 강조했습니다 — 다른 비례식은 그때그때 만들면 되지만 AD² = BD × DC 는 문장으로 외워 둡니다: 「직각인 꼭짓점에서 빗변에 내린 수선의 길이의 제곱은, 그 수선의 발이 빗변을 나눈 두 조각의 곱과 같다.」

넓이로도 식 하나를 얻습니다: △ABC 의 넓이를 ½ × AB × AC 로도, ½ × BC × AD 로도 구할 수 있으므로 AB × AC = BC × AD.

종이를 접은 그림에는 두 가지가 함께 있습니다. 첫째, 접은 부분과 접기 전 부분은 합동입니다(길이와 각이 그대로 옮겨 갑니다). 둘째, 접어서 생긴 꼭짓점 주변에 닮은 삼각형이 생깁니다.

정삼각형을 접으면 왜 닮음일까요? ∠A = ∠B = 60° 이고, 접힌 각 ∠DC′E 도 원래 ∠C 였으므로 60° 입니다. 일직선 위의 C′ 에서 ∠AC′D + 60° + ∠BC′E = 180° 이고, △ADC′ 에서도 ∠AC′D + 60° + ∠ADC′ = 180° 이므로 ∠ADC′ = ∠BC′E. 따라서 △ADC′ ∽ △BC′E (AA 닮음).

대응을 조심합니다: A ↔ B, D ↔ C′, C′ ↔ E 입니다. 그리고 DC′ = DC, C′E = CE 처럼 접어서 옮겨 간 길이를 함께 씁니다.

정사각형을 접으면 직각이 세 번 나옵니다(∠B, 접힌 ∠EA′D′, ∠C). 일직선 위의 A′ 에서 두 직각삼각형의 예각이 서로 엇갈려 같아지므로 △EBA′ ∽ △A′CP (AA 닮음). 같은 방법으로 △A′CP 와 맞꼭지각을 가진 △FD′P 도 닮음입니다.

앞에서 배운 것처럼 둘레의 길이의 비도 닮음비와 같습니다 — 세 변을 다 구하지 않고 둘레를 바로 구할 수 있습니다.

이 단원에서 닮음을 찾은 곳은 세 군데였습니다 — 공통인 각, 평행선, 직각. 접은 그림도 결국 직각과 일직선에서 같은 각을 찾는 문제였습니다. 다음 단원에서는 평행선 사이에 생기는 선분의 길이의 비를 본격적으로 다룹니다.