여러 가지 사각형

직사각형은 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형입니다 — 이것이 정의입니다. 네 각의 합이 360° 이므로 네 각은 모두 90° 입니다.

수업에서: 평행사변형에서 한 각만 90° 로 만들어도, 대각끼리 크기가 같고 이웃한 두 각의 합이 180° 이므로 네 각이 모두 90° 가 됩니다. 그래서 직사각형은 평행사변형이고, 평행사변형의 성질 세 가지를 모두 가집니다.

거기에 성질이 하나 더해집니다 — 두 대각선의 길이가 같다. (평행사변형이므로 두 대각선은 여전히 서로를 이등분합니다.)

성질의 이유: △ABC 와 △DCB 에서 AB = DC, ∠ABC = ∠DCB = 90°, BC 는 공통이므로 SAS 합동, 따라서 AC = DB 입니다.

두 대각선의 길이가 같고 서로를 이등분하므로 교점 O 에서 OA = OB = OC = OD 입니다. 그래서 직사각형의 두 대각선은 이등변삼각형 네 개를 만듭니다 — 각의 크기를 묻는 문제에서 가장 먼저 쓰는 사실입니다.

평행사변형의 성질이 곧 평행사변형이 되는 조건이었던 것처럼, 직사각형의 정의와 성질이 곧 직사각형이 되는 조건입니다.

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형입니다 — 이것이 정의입니다.

수업에서: 평행사변형에서 이웃한 두 변만 같게 만들어도, 대변끼리 길이가 같으므로 네 변이 모두 같아집니다. 그래서 마름모도 평행사변형이고, 평행사변형의 성질 세 가지를 모두 가집니다.

거기에 성질이 하나 더해집니다 — 두 대각선이 서로를 그냥 이등분하는 것이 아니라 수직이등분한다.

성질의 이유: △ABO 와 △ADO 에서 AB = AD, BO = DO, AO 는 공통이므로 SSS 합동. 따라서 ∠AOB = ∠AOD 인데 두 각의 합이 180° 이므로 각각 90° 입니다.

같은 합동에서 ∠BAO = ∠DAO 도 나옵니다 — 마름모의 대각선은 꼭짓점의 각을 이등분합니다.

직사각형과 마찬가지로, 마름모의 정의와 성질이 곧 평행사변형이 마름모가 되는 조건입니다. 두 갈래 중 어느 쪽으로 가는지는 조건의 겉모양(각인지 변인지)이 아니라 그 조건을 더했을 때 무엇이 같아지는지로 가릅니다 — 네 각이 같아지면 직사각형, 네 변이 같아지면 마름모. 예를 들어 「대각선이 ∠A 를 이등분한다」는 각에 관한 조건이지만, 엇각과 함께 보면 이웃한 두 변이 같아지므로 마름모 쪽 조건입니다.

두 대각선이 수직이므로 마름모의 넓이 = ½ × (한 대각선의 길이) × (다른 대각선의 길이) 입니다. 밑변과 높이를 몰라도 대각선만 알면 넓이를 구할 수 있습니다.

정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형입니다 — 이것이 정의입니다. (앞 학년에서 배운 정다각형의 정의와 같은 꼴입니다.)

정사각형은 직사각형이면서 동시에 마름모입니다. 그래서 두 사각형의 성질을 모두 가집니다 — 두 대각선은 길이가 같고, 서로를 수직이등분합니다.

그 결과 두 대각선이 만드는 네 삼각형은 모두 합동인 직각이등변삼각형이고, 대각선과 변이 이루는 각은 모두 45° 입니다.

수업에서: 평행사변형에서 갈라졌던 두 갈래가 정사각형에서 다시 만납니다. 그래서 정사각형이 되는 조건을 물으면 지금 어느 사각형에서 출발했는지를 먼저 보고, 아직 없는 쪽 갈래의 조건을 찾습니다.

정사각형의 대각선 위에 점이 있으면 SAS 합동이 거의 반드시 숨어 있습니다 — AB = CB(정사각형의 두 변), ∠ABP = ∠CBP = 45°(대각선이 각을 이등분), BP 는 공통. 합동이면 대응하는 각끼리 크기가 같습니다.

정사각형은 마름모이기도 하므로, 대각선의 길이만 알아도 넓이는 ½ × (대각선) × (대각선) 입니다.

평행사변형은 두 쌍의 대변이 평행했습니다. 조건을 하나 줄여 한 쌍의 대변이 평행한 사각형을 사다리꼴이라 합니다(두 쌍이 평행해도 한 쌍이 평행한 것이므로 평행사변형도 사다리꼴입니다). 사다리꼴만으로는 쓸 만한 성질이 거의 없어서 평행사변형부터 배웠는데, 사다리꼴에 조건을 하나 더하면 성질이 생깁니다 — 그것이 등변사다리꼴입니다.

등변사다리꼴은 아랫변의 양 끝 각(두 밑각)의 크기가 같은 사다리꼴입니다 — 이것이 정의입니다.

성질은 두 가지입니다 — 평행하지 않은 두 변의 길이가 같다(AB = DC). 그리고 두 대각선의 길이가 같다(AC = DB). 두 성질의 이유는 아래 보조선 그림 뒤에서 봅니다.

AD ∥ BC 이므로 ∠A + ∠B = 180° 입니다. 그래서 윗각 하나와 밑각 하나의 합은 언제나 180° 입니다.

두 보조선이 하는 일을 봅니다.

먼저 오른쪽 그림으로 AB = DC 의 이유를 봅니다. D 를 지나 AB 에 평행한 선이 BC 와 만나는 점을 G 라 하면 □ABGD 는 평행사변형이므로 AB = DG. 또 ∠DGC = ∠B(동위각) = ∠C 이므로 △DGC 는 이등변삼각형이고 DG = DC. 따라서 AB = DC.

이제 대각선의 이유 — △ABC 와 △DCB 에서 AB = DC, ∠ABC = ∠DCB, BC 는 공통이므로 SAS 합동, 따라서 AC = DB. 같은 합동에서 ∠ACB = ∠DBC 이므로, 두 대각선의 교점을 O 라 하면 △OBC 는 이등변삼각형(OB = OC)이고 OA = AC − OC = DB − OB = OD 입니다.

왼쪽 그림처럼 수선을 두 개 그으면 양쪽의 두 직각삼각형이 RHA 합동(빗변 AB = DC, ∠B = ∠C)이고 가운데는 직사각형이므로, 아랫변에서 윗변을 뺀 길이를 양쪽이 반씩 나눠 가집니다: BE = FC = (BC − AD) ÷ 2.

위에 있는 사각형의 성질은 그 아래 사각형에서도 모두 성립합니다. 그래서 「정사각형은 직사각형이다」는 참이지만 「직사각형은 정사각형이다」는 거짓입니다 — 아래에서 위로는 말할 수 있고, 위에서 아래로는 말할 수 없습니다.

헷갈리기 쉬운 두 문장입니다.

• 평행사변형은 사다리꼴이다 (○) — 한 쌍의 대변이 평행하다는 조건을 이미 만족합니다.
• 직사각형은 등변사다리꼴이다 (○) — 한 쌍의 대변이 평행하고, 두 밑각이 모두 90° 로 같습니다. 그림에는 평행사변형 쪽에만 그렸지만 등변사다리꼴의 조건도 만족합니다.

수업에서: 대각선의 길이에 관한 문제에서 직사각형·정사각형은 쉽게 떠올리지만, 흐름 밖에 있는 등변사다리꼴을 빠뜨립니다. 표에서 등변사다리꼴 줄을 따로 기억합니다.

조건을 고르는 문제의 순서: 먼저 이미 어떤 사각형인지 확인하고, 주어진 조건이 어느 갈래의 조건인지 봅니다. 평행사변형에 ∠B = 90° 를 더하면 직사각형, AB = AD 를 더하면 마름모입니다.

수업에서: 어떤 사각형이든 네 변의 중점을 차례로 이으면 반드시 평행사변형이 됩니다. 이유는 뒤에서 배울 「삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분」의 성질로 설명합니다 — 지금은 결과를 기억해 둡니다.

처음 사각형이 특별하면 중점을 이은 사각형도 특별해집니다. 직사각형과 마름모는 서로 자리를 바꿉니다. 그리고 여기서도 등변사다리꼴이 튑니다 — 등변사다리꼴은 마름모가 됩니다.

직사각형이 마름모가 되는 이유는 지금 배운 것만으로 보일 수 있습니다 — 네 귀퉁이의 직각삼각형이 모두 SAS 합동이므로 그 빗변인 EF, FG, GH, HE 의 길이가 모두 같습니다.

넓이도 이 그림에서 보입니다: 네 귀퉁이 삼각형은 각각 직사각형의 ⅛ 이라 합하면 절반이므로 □EFGH = ½ □ABCD. (어떤 사각형이든 중점을 이은 사각형의 넓이는 처음 넓이의 절반입니다.)

사각형에서 출발한 이야기의 마지막은 평행선입니다.

삼각형의 넓이는 ½ × (밑변) × (높이) 입니다. 두 삼각형은 밑변 BC 가 같고, 높이는 둘 다 두 평행선 사이의 거리라 같습니다. 그러므로 넓이가 같습니다.

수업에서 외우라고 한 문장: 「평행선 사이에서 밑변을 함께 가진 두 삼각형은 넓이가 같다.」 ⚠ 함께 가진 밑변이 평행선 위에 있어야 합니다.

AD ∥ BC 이므로 △ABC = △DBC 입니다. 두 삼각형은 △OBC 를 함께 가지므로, 그것을 빼면 △ABO = △DCO — 나비의 두 날개처럼 양쪽 넓이가 같습니다.

이 성질로 사각형을 넓이가 같은 삼각형으로 바꿀 수 있습니다. AC ∥ DE 이므로 △ACD = △ACE 이고, □ABCD = △ABC + △ACD = △ABC + △ACE = △ABE.

두 삼각형의 넓이는 ½ × m × (높이), ½ × n × (높이) 이고 높이가 같으므로, 넓이의 비는 m : n 입니다.

수업에서 외우라고 한 문장: 「높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.」 즉 △ABD : △ADC = BD : DC.

앞에서 본 평행선 성질과 함께 쓰면: 먼저 평행선을 이용해 넓이를 옮기고, 그다음 밑변의 비로 나눕니다.

사다리꼴의 네 조각 사이에는 두 가지 관계가 있습니다.

첫째, 앞에서 본 나비 모양이므로 좌우 두 조각의 넓이가 같습니다(둘 다 b).

둘째, △OAD 와 △OAB 는 A 에서 BD 까지의 높이가 같으므로 a : b = OD : OB, △OCD 와 △OBC 는 C 에서 BD 까지의 높이가 같으므로 b : c = OD : OB. 따라서 a : b = b : c, 곧 b × b = a × c 입니다.

사각형의 성질은 결국 평행과 합동에서 나왔고, 넓이 문제는 밑변과 높이를 어디서 같게 만드느냐의 문제였습니다. 다음 단원에서는 모양은 같고 크기만 다른 도형 — 닮음 — 을 배웁니다.