평행사변형

사각형에서 마주 보는 변을 대변, 마주 보는 각을 대각이라 합니다. 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형입니다 — 이것이 정의입니다. 기호로 쓰면 □ABCD 에서 AB ∥ DC, AD ∥ BC. 이름을 붙일 때는 꼭짓점을 돌아가는 순서대로 읽습니다(A → B → C → D). 그래서 AB 와 마주 보는 변은 DC, ∠A 와 마주 보는 각은 ∠C 입니다.

수업에서 특히 강조한 것: 정의와 성질을 섞어서 외우면 안 됩니다. 시험에서 「정의」를 물었는데 성질을 쓰면 틀립니다. 성질이 왜 성립하는지는 바로 다음에 증명합니다.

이웃한 두 각의 합이 180° 인 이유는 이렇습니다 — 대각끼리 같으니 네 각은 ∠A, ∠B, ∠A, ∠B 이고, 합이 360° 이므로 ∠A + ∠B = 180°. 이것은 성질 2 와 「사각형의 내각의 합은 360°」에서 바로 따라 나오므로 따로 번호를 붙이지 않습니다.

성질을 쓰는 문제는 구하려는 것과 마주 보는 것 또는 이웃한 것을 먼저 찾는 데서 시작합니다.

평행사변형의 세 가지 성질이 왜 성립하는지 대각선으로 확인해 봅니다.

성질 1·2 가 성립하는 이유: △ABC 와 △CDA 에서 엇각 두 쌍이 같고 AC 는 공통이므로 ASA 합동. 합동인 두 삼각형의 대응변·대응각에서 AB = CD, BC = DA, ∠B = ∠D 가 나옵니다. (∠A = ∠C 는 두 엇각의 합으로 나옵니다.)

성질 3 이 성립하는 이유: 두 대각선의 교점을 O 라 하면 △OAB 와 △OCD 에서 AB = CD(성질 1), ∠OAB = ∠OCD, ∠OBA = ∠ODC(엇각)이므로 ASA 합동 → OA = OC, OB = OD.

좌표평면에서는 평행사변형의 대변이 평행하고 길이가 같으므로 B 에서 A 로 옮긴 만큼 C 에서 옮기면 D 가 됩니다. 한 꼭짓점의 좌표를 모를 때 이렇게 구합니다. 고등학교에서는 같은 성질을 「두 대각선의 중점이 일치한다」로 표현합니다.

위 그림처럼 B 에서 A 로 간 만큼 C 에서 가면 D 는 (9, 6) 이다.

시험에 가장 자주 나오는 평행사변형 그림입니다. 한 각의 이등분선을 그으면 평행선 때문에 엇각이 하나 더 생겨 같은 각이 세 개가 되고, 그중 두 개를 밑각으로 가진 이등변삼각형이 생깁니다.

그래서 「이등분선」이 보이면 가장 먼저 엇각을 옮겨 표시하고, 이등변삼각형의 두 변(같은 길이)을 찾습니다. 그다음 평행사변형의 대변의 길이가 같다는 것으로 나머지 길이를 구합니다.

∠B 가 60° 처럼 특별한 각이면 이등변삼각형이 정삼각형이 되어 세 변이 모두 같아집니다.

「한 변의 중점」과 「연장선」이 함께 나오면 중점을 꼭짓점으로 하는 두 삼각형이 합동입니다 — 중점이라 한 변이 같고, 맞꼭지각과 엇각이 같으므로 ASA 합동입니다.

합동이면 두 가지를 옮길 수 있습니다. 첫째 길이(연장된 부분의 길이 = 평행사변형의 한 변), 둘째 넓이(잘려 나간 삼각형을 반대편으로 옮겨 붙여도 넓이가 같습니다).

넓이 문제에서는 「잘라서 옮겨 붙이면 무엇과 같아지는가」를 먼저 생각합니다.

넓이 계산에 필요한 두 가지(뒤에서 다시 자세히 봅니다): 평행사변형의 넓이는 (밑변) × (높이) 이고, 평행사변형의 한 변을 밑변으로 하고 마주 보는 변 위의 한 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 평행사변형 넓이의 ½ 입니다(밑변과 높이가 같으므로).

지금까지는 「평행사변형이면 → 이런 성질이 있다」였습니다. 이제 방향을 뒤집어 「사각형이 이런 조건을 만족하면 → 평행사변형이다」를 봅니다.

증명 문제에서는 다섯 가지 중 주어진 조건에 가장 잘 맞는 것 하나를 골라 씁니다. 정해진 하나의 길이 있는 것이 아닙니다.

평행사변형 안에 선을 그어 만든 사각형이 평행사변형인지 확인할 때도 되는 조건 다섯 가지 중 하나를 씁니다. 그림마다 가장 빠른 조건이 다릅니다.

대각선 위에 BE = DF 인 두 점을 잡으면 — O 에서 OB − BE = OD − DF 이므로 OE = OF, 그리고 OA = OC. 두 대각선이 서로를 이등분하므로 □AECF 는 평행사변형(조건 4).

두 대각 ∠B, ∠D 의 이등분선을 그으면 □EBFD 는 조건 5(한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다)로 평행사변형입니다. ED 와 BF 의 길이가 같다는 것은 앞에서 본 각의 이등분선이 만드는 이등변삼각형으로 보입니다. 엇각으로 BE ∥ FD 를 보여 조건 1 로 확인해도 됩니다.

안쪽 사각형이 평행사변형인 것을 알면, 그 사각형의 대변의 길이가 같다는 것으로 둘레·길이를 구할 수 있습니다.

앞에서 쓴 평행사변형의 넓이 (밑변) × (높이) 의 이유: 대각선 하나가 평행사변형을 합동인 두 삼각형으로 나누고, 삼각형 하나가 ½ × (밑변) × (높이) 이므로 두 개를 합하면 ½ 이 사라집니다.

수업에서 특히 강조한 것: 평행사변형에는 가로·세로가 없습니다. 「밑변」과 「높이」라고 정확히 말합니다. 높이는 밑변에 수직인 거리입니다(비스듬한 변의 길이가 아닙니다).

대각선 두 개가 만든 네 삼각형은 넓이가 모두 같습니다. 일반적인 평행사변형에서 이웃한 두 조각은 합동이 아닌데도 그렇습니다. 이유 — 예를 들어 △OAB 와 △OBC 는 밑변 OA, OC 의 길이가 같고(대각선이 서로를 이등분) 높이(B 에서 AC 까지의 거리)가 같습니다.

여기서 쓴 생각을 일반화하면: 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같습니다. 한 대각선 위에서 밑변을 나누는 문제에 그대로 씁니다.

두 대각선의 교점 O 를 지나는 직선은 평행사변형을 넓이가 같은 두 부분으로 나눕니다. 잘린 삼각형끼리 합동(ASA)이라, 한쪽에서 떼어 반대쪽에 붙이면 대각선이 나눈 조각과 같아지기 때문입니다.

평행사변형 안의 아무 점 P 에서 네 꼭짓점으로 선분을 그으면 삼각형 네 개가 생깁니다. 이때 마주 보는 두 삼각형의 넓이의 합은 평행사변형 넓이의 절반입니다: △PAB + △PCD = △PBC + △PDA = ½ □ABCD.

가장 짧은 이유: △PAB 와 △PCD 는 밑변 AB, CD 의 길이가 같고, 두 높이를 더하면 AB 와 DC 사이의 거리(평행사변형의 높이)가 됩니다. 그래서 합이 ½ × (밑변) × (높이) 입니다.

작은 평행사변형 네 개로 나눠 보면 △PAB = a + b, △PBC = b + c, △PCD = c + d, △PDA = d + a — 마주 보는 둘을 더하면 양쪽 모두 a + b + c + d 입니다.

P 가 대각선 위에 있으면 더 강한 사실이 있습니다 — P 가 대각선 AC 위에 있으면 △PAB = △PAD, △PCB = △PCD. (B, D 에서 AC 까지의 거리가 같기 때문입니다.)

넓이의 합·비·차가 주어진 문제는 「마주 보는 둘의 합 = 절반」 식을 먼저 세웁니다.

평행사변형은 앞으로 배울 직사각형·마름모·정사각형의 바탕입니다. 다음 단원에서는 평행사변형에 조건을 하나씩 더해 새 사각형을 만듭니다 — 이 단원의 성질은 그 사각형들에서도 전부 그대로 성립합니다.