경우의 수

일상에서 「사건」은 대개 안 좋은 일을 떠올리게 하지만, 수학의 사건은 뜻이 다릅니다. 같은 조건에서 되풀이할 수 있는 실험이나 관찰의 결과를 말합니다. 조건이 같아야 하고(같은 책상에서 같은 주사위를 던집니다), 되풀이할 수 있어야 합니다.

경우의 수는 어떤 사건이 일어나는 가짓수입니다.

경우의 수를 셀 때는 빠짐없이, 중복 없이 셉니다. 그래서 하나씩 늘어놓을 때도 작은 수부터 차례대로 씁니다. 이때 사건은 「던지는 행동」이 아니라 「던져서 나온 결과」로 정합니다. 같은 주사위를 던져도 「짝수의 눈」, 「6 의 눈」처럼 결과를 어떻게 묶느냐에 따라 다른 사건이 됩니다.

「서로 다른 두 개의 주사위」라는 말은 두 주사위를 구별한다는 뜻입니다(예를 들어 빨간 주사위와 파란 주사위). 구별하므로 순서가 중요해집니다. 첫째 주사위의 눈을 앞에, 둘째 주사위의 눈을 뒤에 쓴 순서쌍으로 나타냅니다. (1, 6) 과 (6, 1) 은 다른 경우입니다.

주사위 한 개를 두 번 던지는 것도 같습니다. 처음에 나온 눈과 나중에 나온 눈을 순서쌍으로 씁니다.

두 주사위를 던질 때 일어나는 모든 경우는 순서쌍 36개입니다. 문제의 조건에 맞는 칸만 골라 셉니다.

합의 법칙: 두 사건 A, B 가 동시에 일어나지 않을 때(둘 다 일어날 수는 없을 때), A 가 일어나는 경우의 수가 a, B 가 일어나는 경우의 수가 b 이면 A 또는 B 가 일어나는 경우의 수는 a + b 입니다.

문제에서 「또는」, 「~이거나」로 물으면 합의 법칙을 떠올립니다. 단, 그 전에 두 사건이 동시에 일어날 수 없는지 먼저 확인합니다. 이 전제가 합의 법칙의 조건입니다.

곱의 법칙: 사건 A 가 일어나는 경우의 수가 a 이고, 그 각각에 대하여 사건 B 가 일어나는 경우의 수가 b 이면, A 와 B 가 모두(동시에) 일어나는 경우의 수는 a × b 입니다.

예를 들어 티셔츠가 4가지, 바지가 3가지일 때 학교에 가려면 위아래를 둘 다 입어야 합니다. 그래서 4 × 3 = 12 가지 방법으로 입을 수 있습니다.

수업에서 강조한 것은 여기서 「동시에」가 같은 순간이라는 뜻이 아니라는 점입니다. 집에서 학교로 가는 일과 학교에서 학원으로 가는 일은 같은 시간에 일어나지 않지만, 학원에 도착하려면 둘 다 일어나야 하므로 곱의 법칙입니다(3 × 2 = 6). 「동시에」는 「모두 일어난다」로 읽습니다.

나뭇가지 그림은 가지가 갈라질 때마다 곱해지는 모습을 보여 줍니다. 동전 하나마다 앞·뒤 2가지이므로 동전 세 개는 2 × 2 × 2 = 8 가지입니다.

합의 법칙과 곱의 법칙이 한 문제에 같이 나오기도 합니다. 경우를 나눌 때는 더하고, 나눈 경우 안에서 단계를 이어 갈 때는 곱합니다.

「줄을 세운다」는 말에는 순서가 중요하다는 뜻이 들어 있습니다.

사람 수만큼 칸을 마련하고, 앞 칸부터 들어갈 수 있는 사람의 수를 적습니다. 모든 칸이 다 채워져야(모두 일어나야) 줄이 완성되므로 칸의 수들을 곱합니다.

그래서 n 명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 n × (n − 1) × … × 2 × 1 이고, n 명 중 r 명만 뽑아 세울 때는 n 에서부터 1씩 줄여 가며 r 개만 곱합니다.

특정한 사람의 자리가 정해져 있으면 그 사람을 먼저 그 칸에 넣고, 남은 사람을 남은 칸에 세웁니다. 예를 들어 4명 중 A 를 맨 앞에 세우면 남은 3명만 줄 세우면 됩니다.

이웃하여 서기 — 이웃하는 사람들을 하나로 묶어 한 사람처럼 생각하고 줄을 세운 뒤, 묶음 안에서 그들끼리 자리를 바꾸는 경우의 수를 곱합니다.

수업에서 강조한 것은 묶음 안의 자리 바꾸기를 빠뜨리는 실수가 가장 많다는 점입니다.

서로 다른 숫자 카드로 자연수를 만드는 것은 카드를 자리(백·십·일)에 줄 세우는 것과 같습니다. 1, 2, 3, 4, 5 다섯 장으로 세 자리 자연수를 만들면 5 × 4 × 3 = 60 개입니다.

0 이 든 카드가 있으면 맨 앞자리에 올 수 있는 카드가 하나 줄어듭니다. 그래서 한 번에 「n 개 중 r 개 줄 세우기」로 계산할 수 없습니다.

배수 조건은 끝자리나 자릿수의 합으로 정합니다.

• 짝수: 일의 자리가 짝수. 5의 배수: 일의 자리가 0 또는 5.
• 3의 배수: 각 자리 숫자의 합이 3의 배수. 합이 3의 배수가 되는 숫자 묶음을 먼저 찾고, 묶음마다 세 숫자를 줄 세웁니다.

일의 자리에 올 수 있는 숫자가 여러 개면 경우를 나누어 각각 센 뒤 더합니다(나눈 경우들은 동시에 일어나지 않습니다. 합의 법칙). 각 경우 안에서는 자리를 차례로 채우며 곱합니다(곱의 법칙).

크기 순서로 늘어놓을 때는 맨 앞자리부터 묶어서 셉니다. 「1□□ 꼴은 몇 개」처럼 앞자리별 개수를 쌓아 가다가 목표 번째가 들어 있는 묶음을 찾습니다.

회장과 부회장처럼 뽑힌 사람마다 자리가 다르면 순서가 있습니다. 줄 세우기와 같습니다.

대표 두 명처럼 뽑힌 사람들의 자리가 같으면 순서가 없습니다. A 와 B 를 뽑든 B 와 A 를 뽑든 같은 결과입니다.

순서 없이 r 명을 뽑는 경우의 수는 (순서 있게 r 명을 줄 세운 수) ÷ (r 명이 자기들끼리 줄 서는 수) 입니다. 같은 r 명을 줄 세운 것들이 모두 같은 묶음 하나로 겹치기 때문입니다. 두 명이면 ÷ 2, 세 명이면 ÷ (3 × 2 × 1) = ÷ 6 입니다.

수업에서 강조한 것은 문제가 「이건 순서가 중요하다」고 알려 주지 않는다는 점입니다. 문맥을 보고 스스로 판단해야 합니다.

• 기준은 시간이 아니라 뽑힌 것들이 서로 다른 자리·역할을 갖는가입니다. 「동시에」라는 말만 보고 정하면 안 됩니다.
• 서로 다른 두 주사위를 동시에 던져도 첫째 주사위와 둘째 주사위는 구별되므로 (1, 6) 과 (6, 1) 이 다릅니다. 순서가 있습니다.
• 카드 두 장을 동시에 뽑아 두 장을 한 묶음으로 보면 역할이 없으므로 순서가 없습니다. 같은 카드를 차례로 뽑아 십의 자리·일의 자리에 놓으면 자리가 생기므로 순서가 있습니다.
• 출발역과 도착역이 적힌 기차표도 두 자리의 역할이 달라 순서가 있습니다.

특정한 사람이 어떤 자리에 정해져 있으면, 그 사람을 빼고 남은 사람으로 남은 자리를 채웁니다.

남학생 대표와 여학생 대표를 따로 뽑는 것처럼 두 무리에서 각각 뽑으면, 각각의 경우의 수를 구해 곱합니다(두 무리 모두에서 뽑아야 하므로).

점을 이어 도형을 만드는 문제는 앞에서 본 「순서가 있는가」로 갈립니다.

• 선분은 두 점을 고르기만 하면 정해집니다. 선분 AB 와 선분 BA 는 같으므로 순서가 없습니다(대표 2명과 같습니다).
• 반직선은 시작점이 있습니다. 반직선 AB 와 반직선 BA 는 다르므로 순서가 있습니다(회장·부회장과 같습니다).
• 삼각형은 세 점을 고르면 정해지고 순서가 없습니다(대표 3명과 같습니다).

어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으면 (선분의 수) = (직선의 수) 입니다. 두 점을 지나는 직선은 하나뿐이기 때문입니다.

세 점이 한 직선 위에 있으면 그 세 점으로는 삼각형이 만들어지지 않습니다. 그래서 반원처럼 지름 위에 점이 여러 개 있으면, 모든 세 점의 묶음에서 지름 위의 세 점끼리 고른 묶음을 뺍니다.

이 그림처럼 지름 위의 점에는 지름의 양 끝도 포함된다는 것을 놓치기 쉽습니다.

사각형도 같은 생각으로 셉니다. 네 점을 고르되, 그중 세 점 이상이 한 직선 위에 있으면 사각형이 되지 않습니다.

바둑판 모양의 도로망에서 A 에서 B 로 최단 거리로 간다는 것은 오른쪽과 위쪽으로만 가고, 왼쪽이나 아래쪽으로는 한 번도 가지 않는다는 뜻입니다.

어떤 교차로에 도착하는 길은 그 왼쪽 교차로에서 오는 길과 아래쪽 교차로에서 오는 길 둘뿐이고, 이 두 경우는 동시에 일어나지 않습니다. 그래서 합의 법칙으로 더합니다.

맨 아래 줄과 맨 왼쪽 줄의 교차로는 가는 방법이 한 가지뿐이라 모두 1 입니다. 거기서부터 차례로 더해 B 까지 갑니다.

도로가 바둑판 모양이 아니어도(일부가 없거나, 막힌 길이 있어도) 오른쪽·위쪽으로만 가서 도착할 수 있다면 같은 방법이 통합니다. 길이 없는 쪽에서는 수가 넘어오지 않으므로 그쪽 수는 더하지 않습니다.

P 를 거쳐 가는 경우: A 에서 P 까지와 P 에서 B 까지가 모두 일어나야 하므로 곱의 법칙입니다.

P 를 지나지 않는 경우는 전체에서 P 를 지나는 경우를 뺍니다.

다음 단원 「확률」에서는 모든 경우가 일어날 가능성이 같을 때 (어떤 사건이 일어나는 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)를 구하므로, 이 단원에서 센 경우의 수가 그대로 쓰입니다.