일차함수와 그래프(1)

이 단원은 함수라는 낱말로 시작합니다. 함수는 두 변수 사이의 관계를 다루는 이야기입니다. 변하는 값을 변수, 그 반대로 고정되어 변하지 않는 값을 상수라고 부릅니다. 다만 두 변수 사이의 관계라고 다 함수인 것은 아닙니다. 수업에서 선생님이 못박은 조건은 단 하나, «하나의 x에 하나의 y»여야 한다는 것입니다.

1-1에서 이미 정비례와 반비례를 배웠습니다. 그때는 «함수»라는 이름을 쓰지 않았을 뿐, 사실 둘 다 함수였습니다.

그런데 왜 «하나의 y에 하나의 x»가 아니라 반대로 말할까요? 여기서 중요한 것은 순서입니다. x를 먼저 정하고, 그에 따라 y가 결정되는 방향으로 약속합니다. x처럼 내가 먼저 값을 고르는 쪽을 독립변수, y처럼 그 값에 딸려 정해지는 쪽을 종속변수라고 부릅니다.

함수인지 판별할 때 실제로 하는 일은 하나뿐입니다. x에 값을 하나 넣어 보고, 그 x에 대응하는 y가 몇 개 나오는지 세어 보는 것입니다. 반례 하나만 찾으면 더 볼 것 없이 함수가 아니라고 판정할 수 있습니다 — 모든 x 를 확인할 필요가 없습니다.

시험에는 한 글자 차이로 답이 갈리는 보기가 자주 나옵니다. «약수»와 «약수의 개수», «배수»와 «배수 중 100보다 작은 것의 개수»처럼, 개수를 세는 순간 여러 값이 하나의 수로 정리되어 함수가 됩니다.

f(x)는 기호일 뿐 f와 x의 곱이 아닙니다. 공장 이름은 g, h로 바꿔도 됩니다. y = f(x)라고 쓰면 y와 f(x)는 같은 것을 가리킵니다.

규칙을 말로 정의한 함수도 함수입니다. 식이 없어도 x 하나에 결과가 하나면 충분합니다 — 시험에도 자주 나옵니다.

일차함수는 y = ax + b (a, b는 상수, a ≠ 0) 꼴로 나타나는 함수입니다. 여기서 x의 계수 a를 일차항의 계수라 부르는데, 이것이 0이면 x가 통째로 사라져 상수함수가 되어 버리므로 a ≠ 0이라는 조건이 꼭 필요합니다. «일차식»은 앞 단원에서 배운 그대로 — 정리했을 때 x의 차수가 1인 식을 말합니다.

1-1의 반비례 y = a/x를 떠올려 보세요. 방금 ①에서 반비례도 «함수»라고 확인했지만, 이 반비례는 «일차함수»는 아닙니다. 함수인지와 일차함수인지는 서로 다른 질문입니다 — 반비례는 첫 번째 관문(하나의 x에 하나의 y)은 통과하지만, 두 번째 관문(정리했을 때 x에 대한 일차식)을 통과하지 못합니다.

일차함수의 그래프를 그리는 절차는 간단합니다. x 값을 몇 개 정한다 → 함숫값을 구한다 → 순서쌍으로 점을 찍는다 → 점을 잇는다.

그런데 왜 점 두어 개면 충분할까요? 일차함수의 그래프가 직선이기 때문입니다. 1-1의 정비례 그래프는 원점을 지나는 직선이었는데, 일차함수는 여기에 상수항이 붙어 위아래로 옮겨진 것뿐이라 마찬가지로 직선입니다.

평행이동이란 도형을 일정한 방향으로 같은 거리만큼 밀어 옮기는 것입니다. 직선은 x축 방향으로 옮긴 것으로도, y축 방향으로 옮긴 것으로도 설명할 수 있지만, 두 가지를 동시에 생각하면 헷갈리므로 y축 방향 한 가지로 통일해서 봅니다. 직선이라서 가능한 편의입니다.

직선의 식에서 상수항이 커지거나 작아지면 그래프도 그만큼 위아래로 움직입니다. 상수항이 곧 이동한 칸 수라는 것을 표로 확인해 봅시다.

x절편을 알면 점 하나, y절편을 알면 점 하나를 알게 됩니다. 그래서 두 절편만 알면 그래프를 그릴 수 있습니다.

절편을 답할 때는 좌표가 아니라 값 하나로 답해야 합니다.

x절편과 y절편은 각각 점을 하나씩 알려 주므로, 둘을 알면 표를 만들 필요 없이 두 점을 찍어 자로 이으면 됩니다. 예를 들어 x절편이 2, y절편이 −6인 직선이 있다고 합시다.

수업에서 선생님이 «오늘 가장 중요한 이야기»라고 못박은 것이 바로 기울기입니다. 기울기는 (y의 증가량) ÷ (x의 증가량)입니다. 두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂) 에서는 (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) 로 계산합니다.

기울기가 곧 일차항의 계수인 이유는, 정비례에서 x와 y가 같은 비율로 변하고 그 비율을 정하는 것이 a이기 때문입니다. 그래서 그래프 위 어느 두 점을 골라도 기울기는 같습니다.

증가량이 음수일 수도 있습니다 — «감소했다»는 말은 «음수만큼 증가했다»와 같은 말입니다.

이 섹션은 새 개념이 아니라 ⑥에서 배운 두 절편을 길이로 바꿔 쓰는 것입니다.

넓이를 거꾸로 알려 주고 상수를 찾게 하는 문제는, 절편을 문자로 두고 넓이 식을 세워 방정식으로 풉니다. 이때 a의 부호 조건(a < 0 등)이 붙는 이유는 방정식의 해가 둘 나오기 때문입니다.

직선이 하나가 아니라 두 개면 어떨까요? 아래 그림처럼 두 그래프가 y축 위 한 점에서 만나면, 그 점이 삼각형의 꼭짓점이 되고 두 x절편 사이가 밑변이 됩니다. 다음 연습문제의 심화 단계에서 이 경우도 만나게 됩니다.