일차부등식

3단원에서는 다항식의 사칙연산을 정리했습니다. 이번 단원부터는 등호(=) 하나만 쓰는 일차방정식(1-1)에서 벗어나, 부등호를 쓰는 부등식을 배웁니다. ax + b = 0 의 등호를 부등호로 바꾼 것이 일차부등식이고, 등식의 성질 대신 부등식의 성질을 쓴다는 구조는 방정식과 똑같습니다.

부등식은 부등호를 사용해 두 수 또는 식의 크기 관계를 나타낸 식입니다.

문장을 부등식으로 옮길 때는 아래 표현에 특히 주의합니다.

예를 들어 「한 개에 700원인 공책 x권의 값은 3000원 이하이다」는 700x ≤ 3000 으로 씁니다.

어떤 값을 대입했을 때 부등식이 참이 되는지도 판단할 수 있습니다. x = 2 일 때 3x − 1 > 4 에 대입하면 5 > 4 이므로 참입니다.

부등식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 부등식의 해라 하고, 해를 모두 구하는 것을 부등식을 푼다고 합니다. 등식의 해는 보통 하나뿐이었지만, 부등식의 해는 범위로 넓어집니다 — 이것이 방정식과 가장 큰 차이입니다.

예를 들어 x가 −1, 0, 1, 2 중 하나일 때 부등식 x + 2 > 2 의 해를 찾아봅시다.

따라서 해는 1, 2 입니다.

해가 수 전체로 넓어지면 일일이 대입할 수 없으므로 수직선에 나타냅니다. 등호가 없으면(초과·미만) 빈 점 ○, 등호가 있으면(이상·이하) 채운 점 ●로 표시합니다.

해가 범위로 주어지면(예: −4 < x ≤ 2) 그 범위 안에 있는 정수나 자연수의 개수를 세는 문제도 자주 나옵니다. 수직선에 그려 보면 몇 개인지 헷갈리지 않습니다.

등식에 성질이 있었듯 부등식에도 성질이 있습니다. 먼저 방향이 그대로 유지되는 경우부터 봅니다.

3 < 7 이라는 참인 부등식의 양변에 같은 조작을 해 봅시다.

네 가지 조작 모두 부등호의 방향(<)이 그대로입니다. 일반적으로 정리하면 다음과 같습니다.

왜 그럴까요? 2 < 5 의 양변에 −3을 곱해 봅시다.

수직선으로 보면 이유가 분명해집니다. 음수를 곱하는 것은 수직선에서 0을 기준으로 좌우를 뒤집는 것과 같습니다. 원래 2가 5보다 왼쪽(작음)에 있었는데, 뒤집으면 2였던 자리가 5였던 자리보다 오른쪽으로 갑니다. 그래서 크기 관계가 반대로 바뀝니다.

일반적으로 정리하면 다음과 같습니다 — a < b 이고 c < 0 이면:

x의 범위가 주어지면 앞에서 배운 부등식의 성질을 순서대로 연달아 적용해 ax+b 같은 식의 범위를 구할 수 있습니다. 매 단계마다 곱하거나 나눈 수가 음수인지 반드시 확인하세요 — 그때만 방향이 바뀝니다.

음수를 곱하거나 나누는 단계가 섞이면 그때만 방향이 바뀝니다.

모든 항을 좌변으로 옮겨 정리했을 때 (일차식) > 0, < 0, ≥ 0, ≤ 0 꼴이 되는 부등식을 일차부등식이라 합니다. 일차방정식과 판별 방법이 같습니다 — 정리했을 때 x가 진짜로 남아 있는지를 봅니다.

예를 들어 2x² − x > 2x² + 3 은 양변의 2x² 이 지워져 −x − 3 > 0 이 되므로 일차부등식입니다.

일차부등식을 푸는 순서는 다음과 같습니다.

예 B처럼 음수로 나눠야 하는 상황에서는, 이항하는 방향을 바꿔 x의 계수가 양수가 되는 쪽으로 옮기면 음수 나눗셈 자체를 피할 수 있습니다.

계수가 괄호·소수·분수로 복잡하게 주어져도 방법은 같습니다 — 계수를 정수로 정리한 다음 이항해서 풉니다.

괄호 예를 끝까지 풀면 6x − 24 > −2x → 8x > 24 → x > 3. 소수 예는 3x − 7 ≤ x + 1 → 2x ≤ 8 → x ≤ 4. 분수 예는 2x − 6 ≤ x + 6 → x ≤ 12 입니다.

이 단원의 마지막 유형은 해가 거꾸로 주어지는 문제입니다 — 계수 자리에 문자가 있거나, 해의 범위나 자연수 해의 개수가 먼저 주어지고 그로부터 상수를 구합니다.

문자가 계수인 경우는 부호를 먼저 따져야 합니다. ax > 2a 에서 a > 0 이면 양변을 a로 나눠도 방향이 그대로라 x > 2, a < 0 이면 방향이 바뀌어 x < 2 가 됩니다.

해가 이미 주어진 경우는 주어진 문자식을 그대로 풀어 x < (문자식) 꼴로 만든 다음, 문제가 알려준 해와 비교해 상수를 구합니다. 예를 들어 2x + a < 8 의 해가 x < 3 이라면, 직접 풀면 x < (8−a)/2 이므로 (8−a)/2 = 3 을 풀어 a = 2 를 얻습니다.

자연수 해의 개수가 주어진 경우는 수직선에서 등호가 어디에 붙는지가 핵심입니다. x < a 의 자연수 해가 1, 2, 3뿐이라면, a가 4이면 x < 4 라 4는 해가 아니므로 괜찮지만 a가 4를 넘으면 4도 해가 되어 버립니다. 그래서 범위는 3 < a ≤ 4 입니다.

자연수 해의 개수를 직접 세는 문제도 같은 방식으로 풉니다 — 부등식을 먼저 풀고, 그 범위 안의 자연수를 나열해 세면 됩니다.

일차부등식은 여기까지입니다. 다음 5단원 「일차부등식의 활용」에서는 이 풀이를 실제 문장제에 적용합니다. 고등학교에서 배우는 연립부등식·이차부등식에서는 오늘 익힌 수직선 표현이 훨씬 더 중요해집니다.