다항식의 계산

지난 2단원에서는 단항식의 계산을 지수법칙 네 가지로 정리했습니다. 이번 단원부터는 항이 여러 개인 다항식을 다룹니다.

사실 다항식의 덧셈·뺄셈은 1-1 「문자와 식」에서 이미 배운 내용입니다. 여기서는 그것을 이차식까지 넓히고, 아직 해 보지 않은 곱셈·나눗셈을 더합니다.

다항식의 차수는 각 항의 차수 중 가장 큰 것으로 정합니다. 차수가 1이면 일차식, 2이면 이차식이라 부릅니다. 문자가 여러 개인 항은 지수를 전부 더해 차수를 셉니다 — 예를 들어 3a²b 는 a의 지수 2와 b의 지수 1을 더해 차수가 3입니다.

다항식의 계산은 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈 네 가지처럼 보이지만, 뺄셈은 덧셈으로, 나눗셈은 곱셈으로 바꿔 쓸 수 있으므로 결국 배우는 것은 두 가지인 셈입니다.

이 단원에서 정확히 어디까지 다루는지 아래 표로 먼저 못박아 둡니다.

덧셈은 괄호를 벗기고 동류항끼리 모아 계수끼리 더합니다. 문자는 그대로 둡니다. 예를 들어 (3x − y) + (2x − 5y) 는 괄호를 벗기면 3x − y + 2x − 5y, 동류항끼리 모으면 5x − 6y 입니다.

뺄셈은 빼는 다항식 전체에 괄호를 친 다음, 괄호 앞의 −를 괄호 안 모든 항에 곱합니다. 그러면 부호가 전부 바뀝니다. (3x − y) − (2x − 5y) 에서 뒤 괄호를 풀면 3x − y − 2x + 5y, 정리하면 x + 4y 입니다. 참고로 −(2x − 5y) 하나만 떼어 보면 −2x + 5y 로, 두 항의 부호가 모두 바뀐 것을 볼 수 있습니다.

이차식은 차수가 2인 다항식입니다. 이차식끼리의 덧셈·뺄셈도 방법은 똑같습니다 — 동류항끼리 모읍니다. x² 항은 x² 항끼리, x 항은 x 항끼리, 상수항은 상수항끼리 계산합니다. 예를 들어 (2a² − 3a + 1) + (a² + 5a − 4) 는 3a² + 2a − 3 입니다.

겹괄호는 소괄호 ( ) → 중괄호 { } → 대괄호 [ ] 순서로 안쪽부터 벗깁니다. 예를 들어 7x − {4x − (2x − 3y)} 는 안쪽 (2x − 3y) 부터 처리해 4x − (2x − 3y) = 2x + 3y, 다시 7x − {2x + 3y} = 5x − 3y 가 됩니다.

수업에서 가장 힘주어 말한 대목입니다. 분수 꼴 다항식이 나오면 대부분 통분부터 하는데, 통분해서 한 덩어리로 만들면 각 항의 계수가 눈에서 사라집니다. 나중에 "x의 계수가 뭐냐"고 물으면 막힙니다.

곱셈의 뿌리는 1-1 에서 배운 분배법칙 하나뿐입니다. 괄호 앞(또는 뒤)의 단항식을 괄호 안 모든 항에 빠짐없이 곱합니다. 이렇게 곱셈의 괄호를 풀어 헤치는 것을 전개한다고 합니다.

순서는 상관없습니다 — (다항식) × (단항식) 도 똑같습니다. 예를 들어 (a − 2b) × 3a 는 3a² − 6ab 입니다.

다항식 × 다항식은 3-1 「곱셈 공식」에서 배웁니다. 그때도 뿌리는 여전히 분배법칙입니다.

방법 ① 나눗셈 뒤의 것을 분모로 내려보냅니다. ⚠ 나눗셈 뒤에 있는 것을 전부 내려보내는 게 아니라, 바로 뒤에 붙어 있는 하나만 내려보냅니다. 그 뒤에 또 다른 계산이 있으면 그것은 따로 처리합니다.

방법 ② 나눗셈을 역수의 곱셈으로 바꿉니다. 나누는 식의 계수가 분수일 때 특히 편합니다. 결과는 어느 쪽이나 같습니다 — 주어진 식의 모양을 보고 편한 쪽을 고르면 됩니다.

계산 순서는 거듭제곱 → 괄호 안 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈입니다. 곱셈·나눗셈은 앞에서부터 차례로 합니다.

어떤 식 구하기(역산)는 "잘못 계산했더니 …가 되었다. 바르게 계산하면?" 유형입니다. ① 잘못한 식을 그대로 세우고 → ② 거기서 어떤 식 A부터 구한 다음 → ③ A로 바르게 계산합니다.

□ 안에 알맞은 식 유형도 같은 역산입니다. 등식을 세우고 □만 남기면 됩니다.

식의 값은 문자에 수를 대입해 계산한 값입니다. 대입하는 수가 음수나 분수면 반드시 괄호를 쳐서 넣습니다. 또한 먼저 식을 간단히 한 뒤에 대입하면 계산이 훨씬 쉽고 실수도 줄어듭니다. 예를 들어 x = 2, y = −3 일 때 3x − 2y 는 3×2 − 2×(−3) = 6 + 6 = 12 입니다. a = −2 일 때 a² − 3a 도 (−2)² − 3×(−2) = 4 + 6 = 10 입니다.

도형 활용은 넓이·부피 공식에 다항식을 넣는 것입니다.

즉 도형 문제의 정체는 다항식 ÷ 단항식입니다.

예를 들어 밑면이 가로 5a, 세로 b 이고 부피가 20a³b² + 15a²b³ 인 직육면체가 있다고 합시다. 밑넓이는 5a × b = 5ab 이므로, 높이는 (20a³b² + 15a²b³) ÷ 5ab = 4a²b + 3ab² 입니다.

다항식의 계산은 여기까지입니다. 다음 단원부터는 부등식·방정식으로 넘어갑니다.