일차함수와 그래프(2)

일차함수 y = ax + b 에서 아직 값이 정해지지 않은 a, b 를 미정계수라고 부릅니다. «아직 정해지지 않은 계수»라는 뜻으로, 조건이 하나 주어지면 값이 정해집니다. 그런데 왜 두 가지만 있으면 그래프가 완성될까요 — 직선은 기울어진 정도와 높이만 정하면 더 이상 고를 것이 없기 때문입니다. 이 중 기울어진 정도, 곧 그래프의 모양을 정하는 것이 a 입니다.

반대로 y축을 만나는 높이, 곧 그래프의 위치를 정하는 것은 b 입니다.

값을 정확히 몰라도 부호만 알면 그래프의 대략적인 모습을 알 수 있습니다 — 시험에서는 부호만 묻는 문항이 자주 나오고, 반대로 그래프를 보고 a, b 의 부호를 읽어 내는 문항도 같은 무게로 나옵니다. 그리고 미정계수는 그래프가 지나는 점 하나를 대입하면 값이 정해집니다 — 뒤에서 식을 만들 때 계속 쓰는 방법입니다.

기울기의 부호가 정하는 것과 절댓값이 정하는 것은 서로 다른 이야기입니다. 절댓값이 크면 «가파르다»고 하는데, 수학의 말로 바꾸면 y축에 가깝다는 뜻입니다 — 시험 문장이 실제로 그렇게 나옵니다.

절댓값이 커질수록 x축에서 멀어진다는 것과 y축에 가까워진다는 것은 같은 뜻입니다. 기울기가 음수인 것끼리 비교할 때는 부호를 떼고 절댓값만 비교합니다.

«~보다 y축에 가깝다»가 조건으로 붙으면 절댓값의 부등식이 하나 생깁니다. 방향까지 함께 주어지면 범위가 양쪽에서 막혀 값을 셀 수 있게 됩니다.

일차함수의 그래프가 좌표평면을 지나는 자리를 이야기할 때는 사분면 번호를 씁니다.

네 가지 경우를 외우면 시험장에서 뒤섞입니다. 손으로 그려 보는 쪽이 언제나 빠르고 정확합니다 — 이 단원에서 가장 중요한 태도입니다. 일차함수의 그래프는 직선이므로 네 사분면 중 정확히 세 곳만 지납니다(y절편이 0이 아닌 한). 그래서 «지나지 않는 사분면»은 언제나 한 곳이고, 문제도 늘 그렇게 묻습니다.

두 직선이 놓이는 방식은 세 가지뿐입니다 — 기울기가 다르면 반드시 한 점에서 만나고, 같으면 겹치거나 나란하거나 둘 중 하나입니다.

«일치한다»는 것은 두 식이 같은 식이라는 뜻이므로, 계수를 하나씩 맞추면 됩니다. 문제는 «평행하다»를 조건으로 주기도 하고 반대로 구해야 할 결론으로 묻기도 합니다.

식을 만들려면 언제나 두 가지가 필요합니다 — 모양 하나와 위치 하나, 앞에서 본 역할 분담이 그대로 쓰입니다. (1) 기울기와 y절편을 주면 → 자리에 그대로 넣으면 끝납니다.

(2) 기울기와 한 점을 주면 → y = a(x − m) + n 으로 씁니다.

조건을 그대로 읽지 말고 먼저 기울기로 바꿔 적는 습관이 이 단원 문제풀이의 시작입니다.

(3) 두 점을 주면 → 기울기를 만든 다음에는 바로 앞에서 배운 y = a(x − m) + n 을 그대로 씁니다.

기울기를 만들 때 두 점의 순서는 상관없습니다 — 분자·분모가 함께 부호가 바뀌므로 값이 같습니다.

(4) 두 절편을 주면 → 결국 두 점을 준 것과 같아서 (3) 의 방법으로 돌아옵니다.

그래프 그림이 주어지는 문제도 결국 그림에서 두 점이나 두 절편을 읽어 내는 것일 뿐입니다.

활용 문제를 푸는 순서는 다음과 같습니다 — ① x 와 y 를 정한다 → ② 기울기와 y절편을 찾는다 → ③ 식을 세운다 → ④ 확인한다. 수업에서 마지막 확인을 빠뜨리지 말라고 했습니다 — x 에 0 을 넣어 처음 값이 나오는지 보면 됩니다.

문장에서 «일정하게»가 나오면 일차함수를 쓸 수 있다는 신호입니다. 줄어드는 양은 기울기가 음수가 됩니다 — «빠져나간다·짧아진다·줄어든다»가 그 신호입니다.

문장에 나온 값을 그대로 쓰면 틀리기 쉽습니다 — x 를 무엇으로 놓았는지에 맞춰 기울기의 단위를 다시 계산해야 할 때가 있습니다.

⚠ «몇 분 후인가»를 묻는 문제는 y 를 알고 x 를 구하는 것이라 대입 방향이 반대입니다. 식을 세울 때까지는 똑같고 마지막 한 줄만 방정식 풀이로 바뀝니다. «다 탄다·다 빠진다·바닥난다»는 y = 0 을 뜻합니다.

움직이는 점 문제에서 x 로 놓는 것은 움직인 시간이고, 그러면 움직인 거리는 (속력) × x 가 됩니다.

변하는 길이와 변하지 않는 길이를 먼저 갈라 놓으면 식이 저절로 나옵니다. 직사각형에서는 높이가 끝까지 그대로여서 변하는 것이 밑변 하나뿐인 경우가 많습니다.

같은 그림에서 남은 부분의 넓이는 전체에서 빼면 빠릅니다.

여기서도 넓이를 주고 시각을 묻는 문제가 나옵니다 — 식을 세운 뒤 방정식을 푸는 것까지가 한 세트입니다.