회전체 · 입체도형의 겉넓이와 부피

지난 단원에서는 다각형으로 둘러싸서 다면체를 만들었어요. 이번 단원부터는 만드는 방법이 완전히 달라집니다 — 평면도형을 빙글 돌려서 입체도형을 만들어요. 종이 부채를 손잡이를 축으로 빠르게 돌리면 둥근 원 모양이 보이는 것과 같은 원리입니다.

③ 그림에서 직각삼각형의 빗변이 빙 돌아가면서 원뿔의 옆면을 만들어요. 이 빗변을 모선이라고 부릅니다. 다면체의 모서리는 딱 하나로 정해진 선분이었지만, 모선은 다릅니다 — 원뿔 옆면 위에서 꼭짓점과 밑면의 원을 잇는 선분은 무수히 많고, 그 전부가 모선이에요. "이 모선"이라고 하나만 콕 집을 수 없다는 점이 모서리와 다릅니다.

평면도형과 회전축의 짝을 알면 완성될 회전체가 미리 보여요. 다섯 가지 대표 조합을 정리합니다.

원뿔대는 두 가지 방법으로 볼 수 있어요. 하나는 위 그림처럼 사다리꼴을 돌려서 바로 만드는 것이고, 다른 하나는 원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라 꼭짓점 쪽을 없앤 것으로 보는 거예요. 두 관점 모두 같은 도형을 가리킵니다.

회전체를 칼로 자른다고 생각해 볼게요. 어느 방향으로 자르느냐에 따라 단면의 모양이 완전히 달라집니다. 시험에 가장 자주 나오는 두 방향만 정확히 알아두면 됩니다.

회전축을 포함하는 평면으로 자르면 단면은 회전축에 대한 선대칭도형이 되고, 어느 방향으로 잘라도 모두 합동이에요(축을 지나기만 하면 어느 각도로 돌려 잘라도 똑같은 모양이 나온다는 뜻).

회전체를 펼치면 어떤 모양이 나올까요? 겉넓이를 구하기 전에 먼저 전개도부터 눈에 익혀둡니다. 핵심은 하나 — 옆면을 펼쳤을 때 밑면과 맞닿는 부분의 길이는 반드시 밑면의 둘레와 같다는 것이에요.

원뿔대의 전개도는 큰 부채꼴에서 작은 부채꼴을 뺀 모양(부채꼴 고리)에 크기가 다른 원 2개(위·아래 밑면)가 붙습니다.

이제부터는 두 단원(회전체·입체도형의 겉넓이와 부피)을 관통하는 계산 파트입니다. 먼저 기둥부터 시작해요.

뿔은 밑면이 하나뿐이라 기둥과 겉넓이 공식이 살짝 달라져요.

같은 밑면, 같은 높이를 가진 기둥과 뿔을 나란히 놓으면 부피 사이에 아주 깔끔한 관계가 있어요.

④ 전개도에서 예고했던 대로, 구는 전개도를 그릴 수 없지만 겉넓이와 부피는 공식으로 정확히 구할 수 있어요. 이 공식은 유도 과정 없이 그대로 외워야 하는 몇 안 되는 공식입니다.