다면체 강의노트 PRO

1다면체란? — 다각형으로 둘러싸인 입체도형

지난 단원까지 원과 부채꼴을 끝으로 평면도형이 마무리됐어요. 이번 단원부터는 종이 밖으로 나와 입체도형을 다룹니다. 그 첫 주제가 다면체예요.

🔑 다면체의 뜻

다면체(多面體)는 한자 그대로 면(面)이 여럿(多)인 몸통(體)이라는 뜻이에요. 정확한 정의는 다각형으로만 둘러싸인 입체도형입니다. 면 하나하나가 전부 다각형이어야 다면체라고 부를 수 있어요.

⚠️ 면이 여러 개라고 다 다면체는 아니다

원기둥·원뿔·구는 면이 여러 개인 것처럼 보여도 곡면(휘어진 면)을 가지고 있어요. 다면체의 판정 기준은 면의 개수가 아니라 모든 면이 다각형인가입니다. 그림 안에 원이나 곡선이 하나라도 보이면 그 순간 탈락이에요.

💡 겨냥도 — 입체도형을 그리는 약속

입체도형을 종이에 그릴 때, 보이는 모서리는 실선으로, 가려져서 보이지 않는 모서리는 점선으로 그려 입체감을 살린 그림을 겨냥도라고 해요. 이 노트의 모든 입체 그림도 그 약속을 따르고 있어요.

Q. 다각형으로만 둘러싸인 입체도형을 무엇이라 하나요?

Q. 원기둥은 다면체인가요? (예 / 아니요)

면이 몇 개인지가 아니라, 모든 면이 다각형인지를 보세요.

2면·모서리·꼭짓점 — 이름 붙이는 두 관점

평면도형에서 쓰던 말과 입체도형에서 쓰는 말이 조금씩 달라져요. 용어를 정확히 맞춰 두는 것이 이 단원의 절반입니다.

🔑 입체도형의 세 가지 요소

면: 입체도형을 둘러싸는 하나하나의 다각형
모서리: 두 면이 만나서 생기는 선분
꼭짓점: 모서리와 모서리가 만나는 점

💡 '변'이 '모서리'가 되는 순간

삼각형 ACD만 따로 떼어 놓고 보면 선분 CD는 그 삼각형의 변이에요. 그런데 이 삼각형이 입체도형의 한 면이 되는 순간, 선분 CD는 두 면이 만나서 생긴 선이므로 모서리가 됩니다. 같은 선분인데 평면으로 보느냐 입체로 보느냐에 따라 이름이 바뀌는 거예요.

🏆 같은 도형인데 이름이 두 개 — 관점의 차이

위 그림의 도형은 면이 4개니까 사면체예요. 동시에 밑면이 삼각형이고 옆면이 한 점에서 모이니까 삼각뿔이기도 하죠. 둘은 같은 도형을 다른 관점에서 부른 이름입니다.

면의 개수로 부르기 → 사면체 · 오면체 · 육면체 …
모양으로 부르기 → 삼각뿔 · 사각기둥 · 오각뿔대 …

'삼각뿔인데 왜 사면체지? 3과 4가 다르잖아' 하는 혼동은 세는 대상이 다르기 때문에 생기는 거예요. 다만 거꾸로는 성립하지 않아요 — 사면체는 언제나 삼각뿔이지만, 육면체가 모두 사각기둥인 것은 아닙니다.

⚠️ '몇 면체'는 한글로 쓴다

'몇 면체인가?'를 물으면 답은 칠면체처럼 한글로 씁니다. 숫자를 섞어 '7면체'라고 쓰면 오답 처리하는 학교가 많으니 습관을 들여 두세요.

Q. 삼각뿔은 몇 면체인가요? (숫자만)

Q. 입체도형에서 두 면이 만나서 생기는 선분을 무엇이라 하나요?

3각기둥 — 밑면은 두 개다

다면체를 모양의 관점에서 나누면 크게 각기둥 · 각뿔 · 각뿔대 세 가지예요. 먼저 각기둥부터 봅니다.

🔑 각기둥이란

밑면 하나를 정한 뒤, 그 밑면과 합동인 도형을 수직으로 쌓아 올려 만든 입체도형이 각기둥이에요. 밑면이 n각형이면 n각기둥이라고 부릅니다.

⚠️ 기울어져 올라가면 기둥이 아니다

피사의 사탑을 떠올려 보세요. 층은 똑같이 쌓았지만 비스듬히 올라가죠. 그런 모양은 각기둥이라고 부르지 않아요. 반드시 수직으로 쌓아 올려야 각기둥입니다.

⚠️ 가장 많이 틀리는 것 — 밑면은 2개

각기둥에서 밑면은 두 개입니다. 위에 있다고 해서 '윗면'이라고 부르지 않아요. 위·아래 두 면 모두 밑면이고, 이 두 밑면은 서로 합동이면서 평행합니다. 옆면은 전부 직사각형이에요.

🏆 개수 공식이 나오는 자리

n각기둥에서

면 = 옆면 n개 + 밑면 2개 = n + 2
모서리 = 아래 밑면 n개 + 위 밑면 n개 + 세로로 잇는 n개 = 3n
꼭짓점 = 아래 n개 + 위 n개 = 2n

공식을 통째로 외우기보다 어디서 나온 n인가를 따라가면 시험장에서 헷갈리지 않아요.

Q. 오각기둥의 면의 개수는?

Q. 각기둥에서 밑면은 모두 몇 개인가요?

4각뿔 — 한 점에서 모인다

각기둥이 '합동인 면을 수직으로 쌓은 것'이라면, 각뿔은 한 점으로 모으는 것입니다.

🔑 각뿔이란

밑면 하나를 정한 뒤, 밑면의 꼭짓점들이 모두 한 점에서 모이도록 올린 입체도형이 각뿔이에요. 밑면이 n각형이면 n각뿔입니다.

🏆 개수 공식이 나오는 자리

n각뿔에서

면 = 옆면 n개 + 밑면 1개 = n + 1
모서리 = 밑면의 n개 + 꼭대기로 올라가는 n개 = 2n
꼭짓점 = 밑면의 n개 + 꼭대기 1개 = n + 1

각뿔은 면의 개수와 꼭짓점의 개수가 서로 같다는 점이 특징이에요 — 각기둥·각뿔대에는 없는 성질입니다.

💡 옆면은 언제나 삼각형

밑면의 한 변과 꼭대기 점 하나가 만나 옆면 하나를 만들기 때문에, 각뿔의 옆면은 예외 없이 삼각형이에요. 밑면은 하나뿐이라는 점도 각기둥과 다른 부분입니다.

Q. 육각뿔의 모서리의 개수는?

Q. 칠각뿔은 몇 면체인가요? (숫자만)

5각뿔대 — 뿔을 평행하게 자른다

세 번째 모양은 각뿔대예요. 이름 그대로 '뿔의 받침대' 부분입니다.

🔑 각뿔대 만드는 법 (순서가 곧 정의다)

① 각뿔을 하나 만든다 → ② 밑면과 평행한 평면으로 자른다 → ③ 위쪽의 작은 각뿔을 버린다.
이렇게 해서 남은 아래쪽 도형이 각뿔대예요. 밑면이 n각형이면 n각뿔대입니다.

⚠️ 아무렇게나 자르면 각뿔대가 아니다

자르는 방향이 조건입니다. 반드시 밑면과 평행하게 잘라야 해요. 비스듬히 자른 도형은 각뿔대라고 부르지 않습니다.

🏆 각뿔대의 세 가지 성질

밑면이 2개(위·아래)이고 서로 평행하다.
두 밑면은 모양은 같지만 크기가 달라 합동이 아니다 — 각기둥과 갈리는 결정적 차이.
옆면은 전부 사다리꼴이다.

💡 개수는 각기둥과 완전히 똑같다

한 점으로 모이려다 중간에 멈춘 것이 각뿔대예요. 위쪽 꼭짓점들이 하나로 합쳐지지 않았으니, 세는 방식은 각기둥과 같아집니다 — 면 n + 2, 모서리 3n, 꼭짓점 2n.

Q. 각뿔대의 옆면의 모양은?

Q. 사각뿔대의 꼭짓점의 개수는?

6개수 총정리와 거꾸로 찾기

세 도형을 나란히 놓고 개수를 정리해 봅시다. 시험에 나오는 계산은 결국 이 표 한 장에서 나와요.

n각형이 밑면일 때	n각기둥	n각뿔	n각뿔대
밑면의 개수	2	1	2
옆면의 모양	직사각형	삼각형	사다리꼴
면의 개수	n + 2	n + 1	n + 2
모서리의 개수	3n	2n	3n
꼭짓점의 개수	2n	n + 1	2n

🏆 시험 단골 — 거꾸로 찾기

'칠면체인 각뿔은 몇 각뿔인가?'처럼 개수를 주고 도형을 찾는 문제가 매년 나와요. 표의 식을 그대로 방정식으로 놓으면 끝납니다.

칠면체인 각뿔 → n + 1 = 7 → n = 6 → 육각뿔
모서리가 21개인 각기둥 → 3n = 21 → n = 7 → 칠각기둥
꼭짓점이 16개인 각뿔대 → 2n = 16 → n = 8 → 팔각뿔대

⚠️ 개수만으로는 각기둥과 각뿔대를 구별할 수 없다

표를 보면 각기둥과 각뿔대는 면·모서리·꼭짓점 개수가 완전히 같아요. 그래서 문제에는 '두 밑면이 평행하다', '옆면이 사다리꼴이다' 같은 모양 조건이 반드시 함께 주어집니다. 조건을 흘려 읽으면 답이 갈려요.

Q. 모서리의 개수가 21개인 각기둥은 몇 각기둥인가요? (숫자만)

3n = 21

Q. 구각뿔대는 몇 면체인가요? (숫자만)

7정다면체 — 두 조건과 다섯 가지

💡 먼저 복습 — 정다각형의 정의

5단원에서 배웠죠. 정다각형은 모든 변의 길이가 같고, 동시에 모든 내각의 크기가 같은 다각형이에요. 조건이 둘이라는 점이 핵심이었습니다(마름모는 변만 같고, 직사각형은 각만 같아서 정사각형이 아니죠). 정다면체도 똑같이 조건이 두 개예요.

🔑 정다면체의 두 조건

① 모든 면이 합동인 정다각형이다.
② 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 모두 같다.
이 둘을 동시에 만족하는 다면체만 정다면체라고 부릅니다.

⚠️ 조건 하나만으로는 안 된다

정삼각뿔 두 개를 밑면끼리 붙인 도형을 생각해 보세요. 면이 합동인 정삼각형 6개라 ①은 만족해요. 그런데 위·아래 뾰족한 두 꼭짓점에는 면이 3개, 가운데 띠를 이루는 세 꼭짓점에는 면이 4개 모여 있어서 ②가 깨집니다. 그래서 이 도형은 정다면체가 아니에요.

🏆 정다면체가 딱 5가지뿐인 이유

입체가 만들어지려면 한 꼭짓점에 면이 최소 3개 모여야 하고, 그 각의 합이 360°보다 작아야 해요. 360°가 되면 평평하게 펴져 버려서 접히지 않거든요.

면의 모양	한 내각	3개	4개	5개	6개
정삼각형	60°	180° ○	240° ○	300° ○	360° ×
정사각형	90°	270° ○	360° ×	—	—
정오각형	108°	324° ○	432° ×	—	—
정육각형	120°	360° ×	—	—	—

○ 표시가 붙은 칸이 정확히 3 + 1 + 1 = 5가지. 이것이 정다면체가 다섯 개뿐인 이유이고, 동시에 정다면체의 면이 될 수 있는 도형은 정삼각형·정사각형·정오각형 세 가지뿐인 이유이기도 해요.

Q. 정다면체는 모두 몇 가지인가요?

Q. 각 면의 모양이 정오각형인 정다면체의 이름은?

83·3·4·3·5 와 전개도

정다면체 문제에서 학생들이 가장 많이 헤매는 건 꼭짓점과 모서리의 개수예요. 그런데 딱 다섯 숫자만 외우면 전부 계산으로 나옵니다.

📌 이것만 외우세요

3 · 3 · 4 · 3 · 5

정사면체 · 정육면체 · 정팔면체 · 정십이면체 · 정이십면체 순서대로
한 꼭짓점에 모인 면의 개수

🔑 두 개의 계산식

꼭짓점의 개수 = (한 면의 꼭짓점 수) × (면의 개수) ÷ (한 꼭짓점에 모인 면의 개수)

모서리의 개수 = (한 면의 변의 수) × (면의 개수) ÷ 2

💡 왜 나누는지 알면 안 외워도 된다

정사면체로 확인해 볼게요. 정삼각형 하나에 꼭짓점이 3개, 그런 면이 4개니까 3 × 4 = 12개처럼 보이죠. 그런데 꼭짓점 하나마다 면 3개가 모여 있으므로 같은 점을 3번씩 센 셈이에요. 그래서 3으로 나눠 12 ÷ 3 = 4개가 됩니다.
모서리는 훨씬 쉬워요 — 모든 모서리는 언제나 면 2개가 만나서 생기므로 항상 2로 나눕니다. 밑에 무엇으로 나눌지 계속 바뀌는 건 꼭짓점뿐이고, 그래서 3·3·4·3·5가 필요한 거예요.

정다면체	면의 모양	면	꼭짓점	모서리	한 꼭짓점에 모인 면
정사면체	정삼각형	4	3×4÷3 = 4	3×4÷2 = 6	3
정육면체	정사각형	6	4×6÷3 = 8	4×6÷2 = 12	3
정팔면체	정삼각형	8	3×8÷4 = 6	3×8÷2 = 12	4
정십이면체	정오각형	12	5×12÷3 = 20	5×12÷2 = 30	3
정이십면체	정삼각형	20	3×20÷5 = 12	3×20÷2 = 30	5

🔮 짝을 이루는 정다면체

표를 세로로 보면 재미있는 규칙이 보여요. 정육면체(면 6, 꼭짓점 8)와 정팔면체(면 8, 꼭짓점 6)는 면과 꼭짓점의 개수가 서로 바뀌어 있죠. 실제로 정육면체의 각 면의 한가운데 점을 연결하면 정팔면체가 나옵니다. 정십이면체와 정이십면체도 같은 짝이에요.

🏆 전개도는 직접 한 번 접어 보는 게 최고

교재 뒤에 붙어 있는 전개도를 가위로 오려 실제로 접어 보세요. 한 번만 해 봐도 '이 면이 저 면과 만나는구나'가 머릿속에 남습니다. 시험에는 '전개도를 접었을 때 점 A와 겹치는 점은?', '어느 모서리와 만나는가?' 같은 문제가 꾸준히 나와요.

💡 다음 단원 예고

다음은 회전체예요. 이번 단원에서 '다면체가 아니다'라며 옆으로 밀어 두었던 원기둥·원뿔·구가 주인공으로 등장합니다.

Q. 정이십면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는?

3·3·4·3·5

Q. 정십이면체의 꼭짓점의 개수는?

(한 면의 꼭짓점 수) × (면의 개수) ÷ (한 꼭짓점에 모인 면의 개수)

📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)

아직 틀린 문제가 없어요. 퀴즈를 풀어보세요!

🔓 연습문제 잠금 해제

아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.

✓본문 퀴즈 전부 채점하기 (0 / 16)
✓오답노트 확인하기 (위에서 '오답 정리 완료' 누르기)

✏️ 연습문제

기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열립니다. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.

기본다면체 기본 개념 확인0 / 10

1.원기둥, 삼각뿔, 사각기둥, 오각뿔대 중에서 다면체가 아닌 것은?

2.팔각기둥의 면의 개수는?

3.오각뿔의 모서리의 개수는?

4.육각뿔대의 꼭짓점의 개수는?

5.사각뿔의 옆면의 모양은?

6.각뿔대의 옆면의 모양은?

7.십면체인 각뿔은 몇 각뿔인가? (숫자만)

→ n + 1 = 10

8.정다면체 중에서 각 면의 모양이 정삼각형인 것은 모두 몇 가지인가?

9.정팔면체의 꼭짓점의 개수는?

10.정육면체의 모서리의 개수는?

응용응용 — 거꾸로 찾기와 정다면체0 / 10

🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.

1.꼭짓점의 개수가 9인 각뿔에서 모서리의 개수를 a, 면의 개수를 b라 할 때, a + b의 값은?

→ 먼저 n + 1 = 9로 몇 각뿔인지부터 찾으세요.

2.구면체인 각기둥의 모서리의 개수를 x, 십면체인 각뿔대의 꼭짓점의 개수를 y라 할 때, x + y의 값은?

→ 각기둥도 각뿔대도 면의 개수는 n + 2입니다.

3.다음 조건을 모두 만족하는 입체도형은 몇 면체인가? (숫자만)
(가) 두 밑면이 서로 평행하다. (나) 옆면의 모양이 사다리꼴이다. (다) 한 밑면의 대각선의 총 개수가 20개이다.

→ n각형의 대각선의 총 개수는 n(n−3)÷2 입니다(5단원).

4.그림은 정육면체의 한 꼭짓점을 잘라낸 입체도형이다. 면의 개수를 a, 꼭짓점의 개수를 b, 모서리의 개수를 c라 할 때, a + b + c의 값은?

→ 자를 때 무엇이 없어지고 무엇이 새로 생기는지 따로 세어 보세요.

5.그림과 같은 입체도형의 면의 개수는?

→ 옆면 · 지붕 · 밑면으로 나누어 세세요.

6.한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3개인 정다면체를 모두 쓰시오. (쉼표로 구분)

→ 3·3·4·3·5

7.한 꼭짓점에 정삼각형 6개를 모으면 그 각의 합은 몇 도인가? (단위: 도)

8.정이십면체의 모서리의 개수에서 꼭짓점의 개수를 뺀 값은?

→ 모서리는 ÷2, 꼭짓점은 ÷(한 꼭짓점에 모인 면의 개수).

9.정육면체의 각 면의 한가운데 점을 모두 연결하여 만든 입체도형의 이름은?

→ 새 도형의 꼭짓점의 개수는 원래 도형의 면의 개수와 같습니다.

10.그림은 정육면체의 전개도이다. 이 전개도를 접었을 때 면 C와 평행한 면은? (면의 이름만 쓰시오, 예: A)

→ 전개도에서 한 칸 건너뛴 면끼리 마주 봅니다.

심화심화 — 조건을 식으로, 자른 자리를 세다0 / 10

🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.

🔮 심화 3대 전략

① 개수 조건은 전부 n에 대한 식 — '꼭짓점과 모서리의 합이 40' 같은 말은 그대로 방정식으로 옮기면 끝납니다.
② 자르고 깎는 문제는 없어지는 것과 새로 생기는 것을 따로 센다 — 꼭짓점 하나를 자르면 꼭짓점 1개가 사라지고 3개가 생기는 식이죠.
③ 정다면체는 3·3·4·3·5 하나로 전부 계산된다 — 여기에 짝(정육면체↔정팔면체, 정십이면체↔정이십면체)까지 알면 끝입니다.

🧩 단계별 풀이 — 개수 조건을 방정식으로 옮기기

어떤 각뿔대의 꼭짓점의 개수와 모서리의 개수의 합이 40일 때, 이 각뿔대는 몇 면체인가?

STEP 1
밑면을 n각형이라 하자. 각뿔대의 개수 공식은 각기둥과 같다 — 꼭짓점 2n, 모서리 3n, 면 n + 2.

STEP 2
조건을 그대로 식으로 옮기면 2n + 3n = 40, 즉 5n = 40.

STEP 3
n = 8이므로 이 도형은 팔각뿔대이다.

정답
구하는 것은 면의 개수이므로 n + 2 = 8 + 2 = 10 → 십면체.

1.어떤 각뿔의 꼭짓점의 개수와 모서리의 개수의 합이 34이다. 이 각뿔과 밑면의 모양이 같은 각뿔대의 면의 개수는?

→ 각뿔은 꼭짓점 n + 1, 모서리 2n.

2.모서리의 개수가 18개인 각기둥, 각뿔, 각뿔대의 밑면은 각각 몇 각형인가? 세 수의 합을 구하시오.

→ 세 도형의 모서리 공식이 서로 다릅니다.

3.정육면체의 여덟 꼭짓점을 모두 잘라내어(각 모서리의 삼등분점을 이어 자른다) 새로운 다면체를 만들었다. 면의 개수를 a, 꼭짓점의 개수를 b, 모서리의 개수를 c라 할 때, a + b + c의 값은?

→ 응용 4번에서 꼭짓점 하나를 잘랐을 때 각각 얼마나 늘고 줄었는지 떠올리세요. 자른 자리는 서로 겹치지 않습니다.

4.정팔면체의 각 꼭짓점을 잘라내어 새로운 다면체를 만들었다. 잘라낸 자리에 생긴 정다각형이 정□각형이고 새 다면체의 면의 개수가 △개일 때, □ + △의 값은?

→ 잘린 면의 변의 수 = 그 꼭짓점에 모인 모서리의 개수. 새로 생기는 면의 개수 = 원래 꼭짓점의 개수.

5.다면체 P에 대하여 <P>를 (꼭짓점의 개수) + (면의 개수) − (모서리의 개수)라고 하자. <오각기둥> + <십각뿔> + <정이십면체>의 값은?

→ 세 개를 각각 계산해 보면 규칙이 보입니다.

6.한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 5인 정다면체의 모서리의 개수를 a, 각 면의 모양이 정오각형인 정다면체의 꼭짓점의 개수를 b라 할 때, a − b의 값은?

7.한 꼭짓점에 정n각형 3개를 모아 정다면체를 만들 수 있다. 가능한 n의 값을 모두 구하여 그 합을 쓰시오.

→ 정n각형의 한 내각은 180°×(n−2)÷n. 3개의 합이 360°보다 작아야 합니다.

8.그림은 정육면체의 전개도이고, 두 면 ㉮와 ㉯에 각각 대각선을 그었다. 이 전개도를 접었을 때 두 대각선의 위치 관계는? (평행 / 한 점에서 만남 / 꼬인 위치 중 하나)

→ 마주 보는 두 면 위의 대각선이라고 해서 반드시 평행한 것은 아닙니다.

9.모서리의 개수가 30개 이하인 각뿔 중에서 면의 개수가 짝수인 것은 모두 몇 개인가?

→ 밑면은 삼각형부터 가능합니다. n의 범위를 먼저 정하세요.

10.정십이면체의 각 면의 한가운데 점을 연결하여 만든 입체도형의 꼭짓점의 개수를 a, 정이십면체의 각 면의 한가운데 점을 연결하여 만든 입체도형의 모서리의 개수를 b라 할 때, a + b의 값은?

→ 두 정다면체는 서로 짝(쌍)입니다.

📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)

아직 틀린 문제가 없어요.