원과 부채꼴 강의노트 PRO

1원이란? — 중심과 반지름

초등학교 때부터 봐 온 원(圓)을 훨씬 정확하게 정의하고, 그 안에 숨어 있는 부채꼴이라는 도형을 배웁니다.

🔑 원의 정의

한 점(중심)으로부터 거리가 일정한 모든 점들의 모임을 원이라고 해요. 이 정의는 사실 컴퍼스로 원을 그리는 것과 완전히 같은 말이에요 — 컴퍼스의 침을 한 점(중심)에 고정하고, 벌린 길이(반지름)를 유지한 채 한 바퀴 돌리면, 중심에서 거리가 항상 같은 점들이 이어져 원이 되는 거죠.

💡 원에서 중요한 정보는 딱 2가지

원 하나를 완전히 결정하려면 ① 중심 ② 반지름, 이 둘만 있으면 충분해요. (중심의 좌표는 나중에 고등학교 공통수학2에서 원의 방정식을 배울 때 특히 중요해져요 — 지금은 예고만 해둘게요.)

Q. 한 점으로부터 거리가 일정한 모든 점들의 모임을 무엇이라 하나요?

Q. 원을 그릴 때 컴퍼스를 벌린 길이는 그 원의 무엇에 해당하나요?

2현·호·지름·할선

원 위에 점을 두 개 찍으면, 그 두 점을 잇는 방법에 따라 서로 다른 이름의 도형이 생겨요.

🔑 네 가지 이름 정확히 구분하기

현(弦): 원 위의 두 점을 이은 선분. 호(弧): 원 둘레를 따라 이어지는 곡선, 기호로 ⌒AB처럼 써요.
지름: 중심을 지나는 현 — 원에서 가장 긴 현이에요.
할선: 원 위의 두 점을 지나는 직선(원을 뚫고 계속 뻗어나가요, 현은 선분이라 두 점에서 끝나지만 할선은 끝나지 않아요).

🏆 시험 포인트 — 지름이 가장 긴 현인 이유

중심을 지나지 않는 현은 중심에서 살짝 비껴가므로 지름보다 짧을 수밖에 없어요. 그래서 지름 = 원에서 가장 긴 현이라는 사실은 나중에 원과 직선의 관계(수선의 발, 현의 길이 공식)에서도 계속 쓰이는 기본 성질이에요.

Q. 원 위의 서로 다른 두 점을 이은 선분을 무엇이라 하나요?

Q. 원 위의 서로 다른 두 점을 지나는 직선을 무엇이라 하나요?

3활꼴과 부채꼴 — 반원은 둘 다

현·호를 이용해 새로운 평면도형 두 가지를 만들 수 있어요.

🔑 활꼴과 부채꼴의 정의

활꼴: 현과 호로 이루어진 도형(현 하나 + 그 현이 잘라낸 호 하나).
부채꼴: 반지름 2개와 호로 이루어진 도형(피자 한 조각을 떠올리면 돼요).

🔮 반원 = 부채꼴이면서 동시에 활꼴

지름은 현이기도 하고, 그 지름과 짝을 이루는 호도 있으니 반원은 활꼴이에요. 동시에 지름은 두 반지름이 일직선으로 이어진 것이니 반원은 부채꼴이기도 해요. 그래서 반원의 중심각은 180°예요(일직선이 이루는 각 = 평각).

Q. 현과 호로 이루어진 도형을 무엇이라 하나요?

Q. 반원의 중심각의 크기는 몇 도인가요? (단위: 도)

4중심각 — 부채꼴의 핵심 정보

중심각은 부채꼴을 만드는 두 반지름이 이루는 각이에요. 부채꼴 AOB의 중심각은 기호로 ∠AOB라고 써요.

🔑 피자로 이해하는 중심각

원을 중심각의 크기가 같은 부채꼴 8개로 똑같이 나누면(8등분 피자), 한 조각의 중심각은 360° ÷ 8 = 45°가 돼요. 한 바퀴를 도는 중심각의 총합은 언제나 360°라는 걸 기억하세요.

Q. 원을 중심각의 크기가 같은 부채꼴 8개로 나눌 때, 부채꼴 한 개의 중심각의 크기는? (단위: 도)

Q. 부채꼴 AOB의 중심각을 기호로 나타내면 ∠□이다. □에 알맞은 것을 쓰시오.

5중심각과 호·넓이는 정비례

한 원에서(반지름이 같을 때) 중심각의 크기가 커질수록 부채꼴도 커져요. 그런데 커지는 정도가 항목마다 달라요 — 이게 이 단원에서 가장 헷갈리기 쉬운 부분이에요.

🔑 정비례하는 것 vs 정비례하지 않는 것

한 원에서 중심각의 크기 ∝ 호의 길이 ∝ 넓이 — 이 셋은 서로 정비례해요. 중심각이 2배가 되면 호의 길이도 2배, 넓이도 2배가 돼요.

그런데 현의 길이는 정비례하지 않아요! 이유는: 중심각이 2배인 현은 원래 현 2개를 이은 길이보다 항상 짧아요 — 삼각형에서 두 변의 길이의 합이 나머지 한 변보다 크다는 성질 때문이에요(현 BC < 현 AB + 현 AC).

⚠️ "같다"와 "정비례한다"는 다른 말

단, 중심각이 같으면 현의 길이도 같아요(합동인 이등변삼각형이 되니까요). "중심각이 같으면 현도 같다"는 참이지만, "중심각이 2배면 현도 2배"는 거짓이에요 — 이 둘을 혼동하지 마세요.

Q. 한 원에서 중심각이 60°인 부채꼴의 넓이가 5cm²일 때, 중심각이 180°인 부채꼴의 넓이는? (단위: cm²)

Q. 한 원에서 중심각의 크기가 2배가 되면 현의 길이도 2배가 되나요? (예 / 아니요)

6원의 둘레와 넓이 — 원주율 π

원의 둘레와 지름 사이에는 아주 특별한 상수 하나가 숨어 있어요.

🔑 원주율 π의 정의

원주율 π = (원의 둘레) ÷ (지름)으로 정한 값이에요. 원의 크기와 관계없이 이 비율은 항상 일정하고, 그 값이 대략 3.14159265…예요.

💡 π는 문자지만 변수가 아니라 상수예요

π는 순환하지 않는 무한소수라서 분수로 나타낼 수 없고, 소수점 아래에 눈에 보이는 규칙도 없어요. 문자로 쓰지만 x, y 같은 변수가 아니라 값이 하나로 고정된 상수예요.

📐 핵심 공식

원의 둘레 = 2πr | 원의 넓이 = πr²

⚠️ 가장 흔한 실수 — π를 빼먹지 말 것!

반지름이 3인 원의 넓이는 9가 아니라 9π예요! 초등학교 때 "반지름×반지름×원주율"로 계산해 숫자를 바로 곱해버릇했다면, 이제는 π를 문자로 남긴 채 πr²으로 쓰는 연습을 해야 해요.

Q. 원주율 π는 (원의 둘레) ÷ (□)로 정한 값이다. □에 알맞은 말은?

Q. 넓이가 100π cm²인 원의 둘레의 길이는 □π cm이다. □에 알맞은 수는?

7부채꼴의 호의 길이와 넓이

부채꼴은 원 전체(360°)를 중심각의 비율만큼 잘라낸 조각이에요. 그래서 원의 둘레·넓이 공식에 (중심각 ÷ 360)을 곱하기만 하면 부채꼴의 호의 길이·넓이가 나와요.

📐 핵심 공식 — 반지름 r, 중심각 x°

호의 길이 l = 2πr × (x/360)
부채꼴의 넓이 S = πr² × (x/360)

🏆 시험 포인트 — 부채꼴의 둘레 ≠ 호의 길이

부채꼴의 "둘레"를 물으면 곡선인 호의 길이만 답하면 안 돼요! 부채꼴의 둘레는 두 반지름 + 호의 길이 = 2r + l이에요. "호의 길이"와 "둘레"를 정확히 구분해서 읽으세요.

Q. 반지름이 6cm, 중심각이 60°인 부채꼴의 호의 길이는 □π cm이다. □는?

Q. 반지름이 10cm, 중심각이 72°인 부채꼴의 넓이는 □π cm²이다. □는?

8부채꼴 넓이의 또 다른 공식 S = ½rl

중심각을 몰라도 반지름 r과 호의 길이 l만 알면 부채꼴의 넓이를 구할 수 있는 공식이 있어요. 앞에서 배운 두 공식을 조합해서 직접 유도해봐요.

🔑 S = ½rl 유도 과정

호의 길이 공식 l = 2πr × (x/360)의 양변에 ½r을 곱하면:
½rl = ½r × 2πr × (x/360) = πr² × (x/360) = S
즉, ½rl = πr²×(x/360) = S가 성립해요. 중심각 x를 몰라도 r, l만 있으면 바로 넓이를 구할 수 있는 거죠.

📐 핵심 공식

S = ½ × r × l

🔮 고등학교에서도 계속 쓰는 공식

이 S=½rl 형태의 유도 방식(둘레 공식의 양변에 무언가를 곱해 넓이 공식을 얻는 방법)은 고등 공통수학2·대수에서 라디안·호도법을 배울 때도 똑같은 구조로 다시 등장해요. 지금 유도 과정을 이해해두면 나중이 훨씬 편해져요.

Q. 반지름이 8cm, 호의 길이가 6cm인 부채꼴의 넓이는? (단위: cm²)

Q. 넓이가 30cm², 반지름이 12cm인 부채꼴의 호의 길이는? (단위: cm)

📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)

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🔓 연습문제 잠금 해제

아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.

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✓오답노트 확인하기 (위에서 '오답 정리 완료' 누르기)

✏️ 연습문제

기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열립니다. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.

기본원과 부채꼴 기본 개념 확인0 / 10

1.원의 중심을 지나는 현을 특별히 무엇이라 하는가?

2.반지름의 길이가 9cm인 원에서 가장 긴 현의 길이는? (단위: cm)

3.한 원에서 부채꼴의 중심각의 크기가 2배가 되면 호의 길이는 몇 배가 되는가?

4.반지름의 길이가 7cm인 원의 둘레의 길이는 □π cm이다. □는?

5.반지름의 길이가 9cm인 원의 넓이는 □π cm²이다. □는?

6.넓이가 49π cm²인 원의 반지름의 길이는? (단위: cm)

7.반지름 4cm, 중심각 90°인 부채꼴의 호의 길이는 □π cm이다. □는?

8.반지름 12cm, 중심각 30°인 부채꼴의 넓이는 □π cm²이다. □는?

9.반지름 5cm, 호의 길이 6cm인 부채꼴의 넓이는? (단위: cm²)

10.한 원에서 중심각 40°인 호의 길이가 3cm일 때, 중심각 120°인 호의 길이는? (단위: cm)

응용원과 부채꼴 응용 — 도형 속 부채꼴0 / 10

🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.

1.반지름 6cm, 중심각 120°인 부채꼴의 둘레의 길이가 (a + bπ) cm일 때 a+b의 값은?

→ 둘레 = 2r + l. 먼저 호의 길이 l부터 구하세요.

2.원 O가 네 부채꼴로 나뉘어 있다. 중심각 45°인 부채꼴의 넓이가 30cm², 중심각 x°인 부채꼴의 넓이가 60cm², 중심각 15°인 부채꼴의 넓이가 y cm²일 때, x − 2y의 값은?

→ 넓이는 중심각에 정비례합니다. 45°:30cm²의 비율로 x, y를 각각 구하세요.

3.반지름이 9cm이고 호의 길이가 4π cm인 부채꼴의 중심각의 크기는? (단위: 도)

4.넓이가 30π cm², 호의 길이가 5π cm인 부채꼴의 반지름의 길이는? (단위: cm)

→ S=½rl 공식을 바로 이용하세요.

5.반지름 12cm인 사분원에서, 그 한 반지름을 지름으로 하는 반원을 잘라냈다. 색칠한 부분의 넓이는 □π cm²이다. □는?

→ 사분원의 넓이에서 반원(반지름 6cm)의 넓이를 빼세요.

6.한 변의 길이가 6cm인 정육각형 ABCDEF에서, 점 C를 중심으로 하고 반지름이 CB인 부채꼴 BCD의 넓이는 □π cm²이다. □는?

→ 정육각형의 한 내각은 120°이고, CB=CD=6(한 변의 길이)이 부채꼴의 반지름입니다.

7.한 변의 길이가 8cm인 정사각형의 각 변의 중점을 중심으로 하고 반지름이 4cm인 반원을 정사각형 안쪽으로 각각 그렸다. 이때 생기는 꽃잎 모양(색칠한 부분)의 둘레의 길이는 □π cm이다. □에 알맞은 수는?

→ 꽃잎의 둘레는 반지름4cm짜리 호 8개로 이루어져 있어요(호 1개=2π cm).

8.지름이 10cm인 반원 안에, 지름이 각각 6cm·4cm인 두 반원이 들어 있다. 색칠한 부분의 넓이는 □π cm²이다. □는?

→ 큰 반원(반지름5)의 넓이에서 작은 두 반원(반지름3, 반지름2)의 넓이를 빼세요.

9.반원 O에서 AB는 지름이고 OC∥BD이다. ∠AOC=30°, 호 BD의 길이가 8cm일 때, 호 CD의 길이는? (단위: cm)

→ OC∥BD이면 ∠BOD=120°가 되어 호 CD는 호 BD의 1/4이 됩니다(∠COD=∠BOD−∠AOC의 나머지 각으로 30°).

10.원 O의 둘레 위의 세 점 A, B, C에 대하여 ∠AOB : ∠BOC : ∠COA = 3:4:5이다. 호 AB의 길이가 6π cm일 때 원 O의 둘레의 길이는 □π cm이다. □는?

→ 세 중심각의 합은 360°. 비율 3:4:5에서 ∠AOB의 비율(3)에 대응하는 호가 6π cm임을 이용하세요.

심화심화 — 원 문제 3대 전략0 / 10

🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.

🔮 원 문제의 3대 전략

① 이등변삼각형 각 추적 — 반지름 두 개가 만나면 이등변삼각형, 밑각이 같다는 사실부터 표시하세요.
② 넓이는 "더하고 빼기"로 조각내기 — 복잡한 색칠 도형은 원·부채꼴·삼각형의 합/차로 쪼개세요.
③ l·S·r 중 둘을 알면 ½rl로 나머지 — 중심각을 몰라도 S=½rl로 바로 계산할 수 있어요.

🧩 단계별 풀이 — 반지름과 접선처럼 보이는 두 직선

원 O 밖의 점 P에서 그은 두 직선이, 하나는 원과 점 A, B에서 만나고(P, A, B 순) 다른 하나는 원의 중심 O를 지나 원과 C, D에서 만난다(P, C, O, D 순). PA = OA이고 ∠BOD = 45°, 호 AB의 길이가 8π cm일 때, 원 O의 반지름의 길이를 구하시오.

STEP 1
PA=OA이므로 △PAO는 이등변삼각형 → ∠APO = ∠AOP = a로 놓는다.

STEP 2
∠OAB는 △PAO의 외각이므로 ∠OAB = a + a = 2a. OA=OB(반지름)이므로 ∠OBA = 2a.

STEP 3
∠BOD는 △POB의 외각이므로 ∠BOD = a + 2a = 3a. 3a = 45°이므로 a = 15°.

정답
△OAB에서 ∠AOB = 180° − 2a − 2a = 120°. 호 AB = 2πr × (120/360) = 8π → r = 12(cm).

1.원 O 밖의 점 P에서 그은 두 직선이, 하나는 원과 점 A, B에서 만나고 다른 하나는 원의 중심 O를 지나 원과 C, D에서 만난다(P, C, O, D 순). PA = OA이고 ∠BOD = 60°, 호 AB의 길이가 10π cm일 때, 원 O의 반지름의 길이는? (단위: cm)

→ 단계별 풀이와 같은 구조예요. ∠BOD = 3a로 놓고 a부터 구하세요.

2.반지름이 2cm인 원이 한 변의 길이가 3cm인 정삼각형의 둘레를 미끄러지지 않고 한 바퀴 돌아 제자리로 왔다. 이때 원의 중심이 움직인 거리가 (a + bπ) cm일 때 a+b의 값은?

→ 직선 구간의 합은 정삼각형의 둘레(9)와 같고, 모퉁이에서 도는 각의 합은 외각의 합인 360°(반지름2인 원 하나의 둘레).

3.세 변의 길이가 각각 6cm, 8cm, 10cm이고 ∠A = 90°인 직각삼각형 ABC의 세 변을 각각 지름으로 하는 반원을 그렸다. 색칠한 두 초승달 모양 부분의 넓이의 합은? (단위: cm²)

→ (두 초승달) = (작은 반원 2개의 넓이) + (삼각형의 넓이) − (빗변 반원의 넓이). π는 모두 상쇄됩니다.

4.지름 AB의 길이가 6cm인 반원 O를, 점 A를 중심으로 시계 반대 방향으로 30°만큼 회전시켰다. 색칠한 부분의 둘레의 길이를 aπ cm, 넓이를 bπ cm²라 할 때 a+b의 값은?

→ 둘레 = 두 반원의 호(각 3π) + 반지름 6인 30°호(π)의 합. 넓이 = 반지름 6, 중심각 30°인 부채꼴의 넓이.

5.한 변의 길이가 2m인 정사각형 모양 창고의 한 모퉁이에 길이 4m인 끈으로 염소가 묶여 있다. 염소가 움직일 수 있는 영역의 넓이는 □π m²이다. □는? (단, 창고 내부에는 들어갈 수 없다.)

→ 묶인 모퉁이에서 반지름4, 270° 부채꼴 + 이웃한 두 모퉁이에서 남은 끈 2m로 반지름2, 90°씩 부채꼴 2개. 이 두 조각을 빠뜨리면 오답이에요.

6.한 변의 길이가 6cm인 정사각형 ABCD의 내부에 BE=CE=BC가 되는 점 E를 잡고, 점 B를 중심으로 반지름 6cm인 호 AE를, 점 C를 중심으로 반지름 6cm인 호 DE를 그렸다. 정사각형에서 두 부채꼴 ABE, DCE를 제외한 부분의 넓이가 (a − bπ) cm²일 때 a+b의 값은?

→ △BCE는 정삼각형이므로 ∠EBC=60°, ∠ABE=90°−60°=30°. 부채꼴 ABE, DCE는 각각 중심각 30°, 반지름 6cm.

7.반지름이 r cm, 중심각이 x°인 부채꼴의 넓이를 기호 〈r, x〉로 나타내기로 한다. 〈12, x〉 = 〈6, 120〉 + 〈4, 90〉일 때, x의 값은?

→ 각 부채꼴의 넓이를 πr²(x/360) 공식으로 직접 계산해 방정식을 세우세요.

8.반지름이 9cm인 원 O에서 ∠AOB = 60°일 때, 현 AB와 호 AB로 둘러싸인 활꼴의 둘레의 길이가 (a + bπ) cm이다. a+b의 값은?

→ OA=OB=9, ∠AOB=60°이므로 △OAB는 정삼각형 → AB=9. 호 AB의 길이도 구하세요.

9.호의 길이가 6π cm이고 넓이가 45π cm²인 부채꼴의 중심각의 크기는? (단위: 도)

→ S=½rl 공식으로 먼저 r을 구한 뒤, l=2πr(x/360)에 대입해 x를 구하세요.

10.중심이 같은 세 원의 반지름의 길이가 각각 2cm, 4cm, 6cm이다. 가장 안쪽 원, 가운데 고리, 바깥쪽 고리의 넓이의 비를 가장 간단한 자연수의 비 a : b : c로 나타낼 때 a+b+c의 값은?

→ 세 원의 넓이는 각각 4π, 16π, 36π. 고리의 넓이는 두 원의 넓이 차입니다.

📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)

아직 틀린 문제가 없어요.