다각형 강의노트 PRO

1다각형이란? — 뜻과 볼록·오목

다각형이란 3개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 말해요. 원이나 부채꼴처럼 곡선이 하나라도 섞여 있으면 다각형이 아니고, 선분들이 완전히 둘러싸여(밀폐되어) 있지 않아도 다각형이 아니에요.

🔑 왜 삼각형이 다각형의 기본일까?

선분 2개로는 평면 위의 한 영역을 둘러쌀 수 없어요. 그래서 변의 개수가 가장 적은 다각형은 삼각형(3개)이고, 모든 다각형은 삼각형으로 쪼갤 수 있어서 삼각형이 도형 학습의 기본이 돼요.

💡 볼록다각형 vs 오목다각형

모든 내각의 크기가 180°보다 작으면 볼록다각형, 180°보다 큰 내각(안으로 들어간 꼭짓점)이 하나라도 있으면 오목다각형이에요. 중1에서 "다각형"이라고 하면 특별한 말이 없는 한 볼록다각형을 가리켜요.

🏆 시험 포인트 — 이름은 정확하게!

"변이 6개인 다각형"을 답할 때 "육각형"처럼 정확한 이름으로 써야 해요. 얼버무려 쓰면 감점될 수 있어요.

Q. 3개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 무엇이라 하나요?

Q. 모든 내각의 크기가 180°보다 작은 다각형을 무엇이라 하나요?

2다각형의 구성 요소 — 꼭짓점·변·내각·외각

다각형을 이루는 선분을 변, 두 변이 만나는 점을 꼭짓점이라고 해요. n각형은 변 n개, 꼭짓점 n개, 내각 n개를 가져요. 이웃한 두 변이 다각형 내부에 만드는 각이 내각이에요.

🔑 외각의 정의

외각은 한 꼭짓점에서 두 변 중 한 변만 연장했을 때 생기는 각이에요. 한 꼭짓점에서 외각을 만드는 방법은 (어느 변을 연장하느냐에 따라) 2가지지만, 두 각은 맞꼭지각이라 크기가 같아요 — 그래서 외각의 "크기"는 1가지로 정해져요.

⚠️ 주의 — 두 변을 모두 연장한 각은 외각이 아니다!

두 변을 모두 연장해서 생기는 맞은편 각은 외각이 아니에요. 외각은 반드시 한 변만 연장해서 만들어요.

🏆 시험 포인트 — 자주 나오는 거짓 명제

"한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 합은 360°이다" → 거짓! 한 변을 연장했으니 평각을 이루어 내각 + 외각 = 180°예요. 예를 들어 내각 55°이면 외각은 125°, 내각 40°이면 외각은 140°예요.

Q. 어떤 다각형의 한 꼭짓점에서 내각의 크기가 55°일 때, 그 꼭짓점의 외각의 크기는? (단위: 도)

Q. "한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 합은 360°이다." 이 말은 맞나요?

3정다각형

정다각형은 ① 모든 변의 길이가 같고 ② 모든 내각의 크기가 같은 다각형이에요. 두 조건을 모두 만족해야 정다각형이라고 부를 수 있어요.

도형	변의 길이	내각의 크기	정다각형?
정삼각형	모두 같음	모두 60°로 같음	✅ 예
정사각형	모두 같음	모두 90°로 같음	✅ 예
마름모	모두 같음	서로 다를 수 있음	❌ 아니오
직사각형	서로 다를 수 있음	모두 90°로 같음	❌ 아니오

⚠️ 함정 두 가지 — 꼭 기억할 것

네 변의 길이만 같은 사각형은 마름모(정사각형 아님)! 네 내각의 크기만 같은 사각형은 직사각형(정사각형 아님)! 두 조건이 동시에 성립해야 정다각형이에요.

🔑 삼각형만 예외!

삼각형에서는 두 조건이 자동으로 연결돼요 — 세 변의 길이가 같으면 세 내각도 저절로 같아지고, 세 내각이 같으면 세 변도 저절로 같아져요. 그래서 삼각형은 어느 한 조건만 확인해도 정삼각형임을 알 수 있어요. (사각형 이상에서는 이 예외가 성립하지 않아요.)

💡 이름과 내각을 짝지어 기억하기

정삼각형의 한 내각은 60°, 정사각형의 한 내각은 90°예요. 이렇게 이름과 내각의 크기를 연결해두면 뒤에서 배울 "정다각형의 한 내각" 계산이 훨씬 편해져요.

Q. 네 변의 길이는 모두 같지만 네 내각의 크기는 서로 다를 수 있는 사각형은?

Q. 삼각형에서는 "세 변의 길이가 같다"와 "세 내각의 크기가 같다" 중 한 조건만 확인해도 정삼각형임이 보장돼요. 확인해야 하는 조건은 몇 가지인가요?

4삼각형의 두 기본 성질

📐 성질 1

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이다.

📐 성질 2 — 완성된 문장으로 암기!

삼각형의 두 내각의 크기의 합은
다른 한 외각의 크기와 같다.

🔑 그림으로 확인

△ABC에서 변 BC를 C 너머로 연장해 점 D를 잡으면, ∠A + ∠B = ∠ACD가 성립해요. (3단원에서 배운 동위각·엇각의 성질로 증명할 수 있어요 — 점 C를 지나 AB에 평행한 보조선을 그으면 확인 가능해요.)

🔮 고등학교까지 계속 쓰이는 성질

이 두 성질은 앞으로 어떤 도형 문제를 풀 때도 삼각형이 보이면 가장 먼저 떠올려야 할 도구예요. 각도 문제의 8할은 이 두 성질에서 시작해요.

Q. 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 몇 도인가요? (단위: 도)

Q. △ABC에서 ∠A=40°, ∠B=75°이고, 변 BC를 C 너머로 연장해 점 D를 잡았다. ∠ACD의 크기는? (단위: 도)

5대각선의 개수

대각선은 다각형에서 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 이은 선분이에요. (이웃한 두 꼭짓점을 이으면 그건 변이 돼요.)

🔑 대각선 개수 공식 두 가지

① 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 = n − 3 (자기 자신과 이웃한 꼭짓점 2개를 제외)
② n각형 전체의 대각선의 총 개수 = n(n−3) / 2 (꼭짓점 n개 × (n−3), A→C와 C→A가 중복되므로 2로 나눔)

다각형	한 꼭짓점 대각선	총 대각선 개수
오각형(n=5)	2개	5개
구각형(n=9)	6개	27개
십각형(n=10)	7개	35개

🏆 시험 포인트 — 끝까지 읽을 것

"한 꼭짓점에서"인지 "다각형 전체"인지에 따라 답이 완전히 달라져요. 문제를 끝까지 읽고 어떤 걸 묻는지 확인하세요.

Q. 칠각형(7각형)의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는? (단위: 개)

Q. 육각형(6각형)의 대각선의 총 개수는? (단위: 개)

6다각형의 내각의 크기의 합

다각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선을 모두 그으면, 그 다각형은 여러 개의 삼각형으로 쪼개져요.

🔑 삼각형 개수 = n − 2, 내각의 합 공식

한 꼭짓점에서 대각선 (n−3)개를 그으면, 그 경계선들 사이 영역이 대각선 개수보다 하나 더 많아서 삼각형이 (n−2)개 생겨요. 삼각형 하나의 내각의 합은 180°이므로,

📐 핵심 공식

n각형의 내각의 크기의 합 = 180° × (n − 2)

다각형	삼각형 개수(n−2)	내각의 합
오각형(n=5)	3개	540°
육각형(n=6)	4개	720°
십이각형(n=12)	10개	1800°

⚠️ 역산 함정 — n−2를 답으로 착각하지 말 것!

내각의 합이 1080°라면 180×(n−2)=1080 → n−2 = 6이에요. 여기서 끝내고 "육각형"이라 답하면 오답! n = 8, 정답은 팔각형이에요. n−2와 n을 헷갈리지 않도록 주의하세요.

Q. 팔각형(8각형)의 내각의 크기의 합은? (단위: 도)

Q. 내각의 크기의 합이 1080°인 다각형은 몇각형인가요? (숫자만 입력, 예: 오각형→5)

7다각형의 외각의 크기의 합

📐 핵심 공식 — n에 관계없이 항상 일정!

n각형의 외각의 크기의 합은 언제나 360°이다.

🔑 왜 항상 360°일까? (증명)

각 꼭짓점에서 (내각)+(외각)=180°이고 꼭짓점이 n개이므로, 외각의 합 = 180°×n − (내각의 합) = 180n − 180(n−2) = 360°가 돼요. n이 아무리 커도 상쇄되어 항상 360°로 남아요.

💡 사각형으로 직접 확인

사각형(n=4): 180×4 − 360 = 360°. 계산이 딱 맞아떨어지죠?

Q. 정다각형이 아니어도, 모든 다각형의 외각의 크기의 합은 몇 도인가요? (단위: 도)

Q. 외각의 합 공식 "180°×n − (내각의 합)"을 십각형(n=10)에 대입해 정리하면 몇 도가 되나요? (단위: 도)

8정다각형의 한 내각·한 외각

정n각형은 모든 내각이 서로 같고 모든 외각도 서로 같으므로, 각각의 총합을 n으로 나누면 한 내각·한 외각의 크기를 구할 수 있어요.

📐 핵심 공식

정n각형의 한 내각 = 180°(n−2) ÷ n
정n각형의 한 외각 = 360° ÷ n

정다각형	한 내각	한 외각
정오각형	108°	72°
정육각형	120°	60°
정팔각형	135°	45°
정십각형	144°	36°
정십이각형	150°	30°

🏆 쌤의 실전 전략 — 외각으로 바꿔 풀어라!

한 내각이 주어져 n을 구할 때는, 내각 공식으로 방정식을 세우는 것보다 외각(=180°−내각)으로 바꿔서 n = 360 ÷ (한 외각)으로 구하는 게 훨씬 빨라요.

예: 한 내각이 156° → 한 외각은 180−156=24° → n = 360÷24 = 15 → 정십오각형.
(내각 공식으로 풀어도 156n=180n−360 → 24n=360 → n=15로 같지만, 외각법이 계산이 짧아요.)

Q. 정육각형의 한 외각의 크기는? (단위: 도)

Q. 정팔각형의 한 내각의 크기는? (단위: 도)

📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)

아직 틀린 문제가 없어요. 퀴즈를 풀어보세요!

🔓 연습문제 잠금 해제

아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.

✓본문 퀴즈 전부 채점하기 (0 / 16)
✓오답노트 확인하기 (위에서 '오답 정리 완료' 누르기)

✏️ 연습문제

기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열려요. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.

기본다각형 기본 개념 확인0 / 10

1.다음 <보기> 중에서 다각형은 모두 몇 개인가?
<보기> 정삼각형, 원, 부채꼴, 정육각형, 삼각기둥, 사다리꼴, 마름모, 원기둥

2.한 내각의 크기가 200°인 다각형이 있다. 이 다각형은 볼록다각형인가, 오목다각형인가?

3.다각형의 한 꼭짓점에서 내각의 크기가 78°일 때, 그 꼭짓점의 외각의 크기는? (단위: 도)

4.정사각형이 되려면 "네 변의 길이가 같다"는 조건과 "네 내각의 크기가 같다"는 조건 중 몇 가지가 모두 필요한가? (사각형은 삼각형과 달리 한 조건만으로는 정다각형임이 보장되지 않는다.)

5.구각형(9각형)의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는? (단위: 개)

6.십각형(10각형)의 대각선의 총 개수는? (단위: 개)

7.십이각형(12각형)의 내각의 크기의 합은? (단위: 도)

8.오각형의 외각의 크기의 합은? (단위: 도)

9.정십각형의 한 외각의 크기는? (단위: 도)

10.다음 그림과 같이 △ABC에서 변 BC를 연장하여 점 D를 잡았다. ∠A=40°, ∠B=75°일 때 ∠ACD(=x)의 크기는? (단위: 도)

응용다각형 응용 — 각도 계산·판별·정다각형0 / 10

🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.

1.사각형의 네 내각의 크기의 비가 2:3:4:6일 때, 크기가 가장 큰 각과 가장 작은 각의 차는? (단위: 도)

→ 네 각의 비의 합 2+3+4+6=15에 대응하는 각도 단위 = 360÷15=24°.

2.다음 그림과 같은 오각형 ABCDE에서 ∠A=100°, ∠B=95°, ∠C=130°이고 꼭짓점 D의 외각의 크기가 72°일 때, ∠x(=∠E)의 크기는? (단위: 도)

→ 오각형의 내각의 합은 540°. 먼저 D의 내각(=180°−72°)부터 구하세요.

3.어떤 정다각형의 한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 비가 8:1이다. 이 정다각형은 정몇각형인가? (숫자만 입력)

→ 내각+외각=180°이므로 외각 = 180°÷(8+1).

4.다음 그림과 같이 정오각형 ABCDE의 변 AB를 한 변으로 하는 정삼각형 ABF를 오각형 바깥쪽에 그렸다. ∠FBC(=x)의 크기는? (단위: 도)

→ ∠FBC = ∠ABC(정오각형의 한 내각) + ∠ABF(정삼각형의 한 내각).

5.다음 중 다각형에 대한 설명으로 옳지 않은 것의 번호는?
① 다각형의 변의 개수와 꼭짓점의 개수는 항상 같다.
② 정다각형은 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 각각 모두 같다.
③ 볼록다각형의 외각은 모두 예각이다.
④ n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n−3)이다.
⑤ 다각형의 외각의 크기의 합은 항상 360°이다.

→ 매우 뾰족한(한 내각이 0°에 가까운) 삼각형은 나머지 한 외각이 180°에 가까워질 수 있어요 — 예각이 아닐 수 있어요.

6.자연수 n에 대해 <n>을 "n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수"라고 하자. <7> + <10>의 값은?

→ <n> = n−3.

7.한 외각의 크기가 정오각형의 한 외각의 크기의 절반인 정다각형은 정몇각형인가? (숫자만 입력)

→ 정오각형의 한 외각은 72°.

8.다음 그림과 같은 정오각형 ABCDE에서 직선 l은 변 AB를 포함하는 직선이고, 직선 m은 꼭짓점 D를 지나며 l∥m이다. 직선 m과 변 CD가 이루는 예각 x의 크기는? (단위: 도)

→ l∥m이므로 엇각(또는 동위각)을 이용하세요.

9.대각선의 총 개수가 90개인 다각형이 있다. 이 다각형의 한 내각의 크기는? (모든 내각의 크기가 같은 정다각형이라고 가정, 단위: 도)

→ n(n−3)/2=90을 풀어 n부터 구하세요.

10.다음 그림과 같이 ∠A=60°인 사각형 ABCD에서 꼭짓점 C를 대각선 BD를 따라 접어 올려 점 E에 오도록 하였다. ∠ABE=30°, ∠ADE=28°일 때 ∠BED(=x)의 크기는? (단위: 도)

→ 접은 각은 원래 각과 크기가 같으므로 ∠EBD=∠CBD, ∠EDB=∠CDB. 사각형 ABCD의 내각의 합 360°를 이용해 ∠EBD+∠EDB를 먼저 구하세요.

심화킬러 — 이등분선·오목사각형·별모양·역산0 / 10

🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.

🔮 심화 공략 — 외각의 이등분선이 만드는 각

△ABC에서 ∠A와 ∠C의 외각의 이등분선이 만나는 점을 D라 하면, ∠ADC = 90° − (∠B ÷ 2)가 성립해요. 아래 단계별 풀이로 이 관계를 직접 유도해봐요.

🧩 단계별 풀이 — 외각의 이등분선 (준비 예제)

다음 그림과 같은 △ABC에서 AD, CD는 각각 ∠A, ∠C의 외각의 이등분선이고 ∠B=68°일 때, ∠ADC의 크기를 구하시오.

STEP 1
∠DAC=a, ∠DCA=b라 하면, AD가 ∠A의 외각을 이등분하므로 ∠A의 외각=2a, 즉 ∠BAC = 180°−2a. 마찬가지로 ∠BCA = 180°−2b.

STEP 2
△ABC의 세 내각의 합은 180°이므로 (180°−2a) + 68° + (180°−2b) = 180°를 정리하면 a + b = 90° + 34° = 124°.

STEP 3
△ADC에서 ∠DAC=a, ∠DCA=b이므로 ∠ADC = 180° − (a+b) = 180° − 124°

정답
= 56° (= 90° − 68°÷2)

1.다음 그림과 같은 △ABC에서 AD, CD는 각각 ∠A, ∠C의 외각의 이등분선이고 ∠B=74°일 때, ∠ADC(=x)의 크기는? (단위: 도)

→ 위 단계별 풀이와 똑같은 방법, ∠B값만 다르게 적용하세요(90°−37°).

2.다음 <보기> 중 옳은 것의 개수는?
ㄱ. 정팔각형의 대각선의 총 개수는 20개이다.
ㄴ. 정팔각형의 한 내각의 크기는 135°이다.
ㄷ. 정십각형의 한 외각의 크기는 36°이다.
ㄹ. 정십각형의 대각선의 총 개수는 27개이다.

→ 정십각형의 대각선 총 개수를 직접 공식(n(n−3)/2)으로 확인해보세요.

3.다음 그림은 정오각형 ABCDE의 변 AB를 한 변으로 하는 정사각형 ABGH와, 변 BC를 한 변으로 하는 정삼각형 BCK를 각각 오각형 바깥쪽에 그린 것이다. ∠GBK(=x)의 크기는? (단위: 도)

→ 점 B 둘레는 360°. ∠GBK = 360° − ∠ABG(정사각형 내각) − ∠ABC(오각형 내각) − ∠KBC(정삼각형 내각).

4.다음 그림과 같은 오목사각형 ABDC에서 ∠D는 우각(반사각)이고, ∠A=40°, ∠B=60°, ∠C=50°일 때 ∠D(우각)의 크기는? (단위: 도)

→ 사각형의 네 내각(우각 포함)의 크기의 합은 항상 360°예요.

5.n각형(4≤n≤20)중에서, 대각선의 총 개수가 3의 배수인 다각형은 모두 몇 개인가?

→ 4부터 20까지 n을 하나씩 대입해 n(n−3)/2를 3으로 나누어 떨어지는지 확인하세요.

6.다음 그림과 같은 칠각별(7개의 꼭짓점을 가진 별 모양)에서 일곱 개의 뾰족한 각 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G의 크기의 합은? (단위: 도)

→ 오각별(5개 꼭짓점 별)의 다섯 뾰족한 각의 합이 180°인 것과 같은 원리로, 칠각별도 삼각형의 외각 성질을 반복 적용하면 180°로 일정해요.

7.어떤 정다각형의 한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 차가 108°이다. 이 정다각형의 변의 개수는?

→ 내각+외각=180°, 내각−외각=108°인 연립식을 세우세요.

8.정n각형의 한 내각의 크기가 자연수이면서 150°보다 큰 정다각형은 모두 몇 개 있는가? (n은 3 이상의 자연수, 정다각형 전체를 대상으로 함)

→ 한 내각 = 180°−360°/n이 자연수이려면 360이 n으로 나누어떨어져야 해요. 한 내각>150°이면 n>12. 360의 약수 중 12보다 큰 것을 모두 찾으세요(360 자체도 포함).

9.자연수 n에 대해 [n]을 "n각형의 대각선의 총 개수"라고 하자. [n]=170을 만족하는 n에 대하여, 정n각형의 한 내각의 크기를 구하시오. (단위: 도)

→ n(n−3)/2=170을 풀면 n=20(근의 공식 또는 인수분해 이용).

10.어떤 볼록다각형의 내각의 크기의 합이 2340°이다. 이 다각형의 변의 개수를 구하고, 그 다각형의 대각선의 총 개수를 구하여 두 값을 더한 값은?

→ 180(n−2)=2340으로 n을 먼저 구한 뒤, n(n−3)/2로 대각선 개수를 구해 더하세요.

📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)

아직 틀린 문제가 없어요.