평행선 강의노트 PRO

1교각과 동위각·엇각의 뜻

지난 단원 기본 도형과 위치 관계에 이어, 이번엔 평행선과 각을 다룹니다. 앞으로 배울 합동·닮음·삼각형·사각형 단원 전체에서 각은 항상 평행선과 맞물려 등장하기 때문에, 이 단원은 특히 꼼꼼히 짚어야 해요.

직선 1, 직선 2를 먼저 그리고, 이 둘을 동시에 가로지르는 직선 3을 그으면 교점이 두 군데 생기고, 각 교점마다 4개씩 총 8개의 교각이 생겨요.

🔑 동위각(同位角) — 같은 위치의 각

두 교점에서 같은 위치(같은 방향)에 있는 각끼리의 관계예요. B는 첫 번째 교점의 오른쪽 위, F는 두 번째 교점의 오른쪽 위 — 위치가 같으니 B와 F는 동위각. A-E, B-F, C-G, D-H, 총 네 쌍이 생겨요.

💡 엇각(-角) — 엇갈린 위치의 각

직선 1, 2의 안쪽에 있는 네 각(C, D, E, F) 중 서로 대각선으로 엇갈린 두 각의 관계. D-F, C-E, 총 두 쌍뿐이에요.

🚨 주의 — 엇각은 '안쪽'끼리만!

바깥쪽 A와 G도 대각선으로 엇갈려 보이지만 엇각이라 부르지 않아요. 엇각은 반드시 두 직선의 안쪽 네 각(C, D, E, F) 사이에서만 정의됩니다.

Q. 직선 1, 2를 직선 3이 가로지를 때 생기는 교각은 모두 몇 개인가요?

Q. 위 그림에서 동위각은 모두 몇 쌍인가요?

2동측내각과 동측외각 (참고)

교과서에서 따로 강조하지는 않지만 알아두면 좋은 이름이 두 가지 더 있어요. 외우지 않아도 괜찮지만, 안쪽·바깥쪽 각을 구분하는 감각을 기르는 데 도움이 됩니다.

💡 동측내각 — 같은 쪽 안쪽 각

두 직선의 안쪽 네 각(C, D, E, F) 중, 직선 3을 기준으로 같은 쪽에 있는 두 각끼리. C-F(오른쪽), D-E(왼쪽) — 두 쌍.

💡 동측외각 — 같은 쪽 바깥쪽 각

두 직선의 바깥쪽 네 각(A, B, G, H) 중 같은 쪽끼리. B-G(오른쪽), A-H(왼쪽) — 역시 두 쌍.

🔮 심화 참고 — 동측내각의 합

두 직선이 평행하면, 동측내각(또는 동측외각) 한 쌍의 합은 항상 180°예요. 심화 연습문제에서 다시 확인해볼게요.

Q. 엇각은 모두 몇 쌍인가요?

Q. 동측내각은 두 직선의 안쪽과 바깥쪽 중 어디에 있는 각들인가요?

3평행선의 성질 — 동위각과 엇각은 서로 같다

지금까지는 두 직선이 평행한지 상관없이 위치 관계만 얘기했어요. 그런데 두 직선이 평행하면 아주 중요한 성질이 생깁니다.

📐 핵심 공식

두 직선이 평행하면
동위각끼리 크기가 같다 · 엇각끼리 크기가 같다

평행선 l, m을 직선 n이 가로지르고, 한 각(B)이 45°라고 해봅시다.

B=45°가 주어지면 평각(합 180°)으로 A=135°, 맞꼭지각(서로 같음)으로 D=45°, C=135°가 정해져요. 동위각 E-A, F-B, G-C, H-D가 각각 같으므로 나머지도 자동으로 정해지죠. 8개의 각은 결국 45° 아니면 135° 두 종류뿐이에요.

각	A	B	C	D	E	F	G	H
크기	135°	45°	135°	45°	135°	45°	135°	45°

Q. 위 그림에서 B와 F는 동위각 관계입니다. 둘의 크기 관계는? ("같다"/"다르다")

Q. D와 F는 엇각 관계입니다. 둘의 크기 관계는? ("같다"/"다르다")

4평행선이 되기 위한 조건 (역도 성립!)

방금 배운 성질은 거꾸로도 성립해요. 동위각이나 엇각의 크기가 같으면, 그 두 직선은 평행이라고 판단할 수 있습니다.

📐 평행선이 되기 위한 조건 (역)

동위각의 크기가 같다 ⟹ 두 직선은 평행하다
엇각의 크기가 같다 ⟹ 두 직선은 평행하다

직선 l과 n이 만나서 생긴 각 A가 85°, 직선 m과 n이 만나서 생긴 각 F(동위각 위치)가 105°일 때, l과 m은 평행일까요?

A(85°)의 이웃(평각) 각은 180−85=95°. 이 각이 F와 동위각 위치인데, F는 105°로 주어졌으니 95°≠105° — 동위각의 크기가 다르므로 l과 m은 평행이 아닙니다.

🚨 흔한 실수

"동위각이니까 그냥 크기가 같겠지"라고 지레짐작하면 안 돼요. 평행이라는 조건이 없으면 동위각·엇각이라 해서 저절로 크기가 같아지지 않습니다. 반대로 크기가 같음이 확인돼야 비로소 "평행하구나"라고 판단하는 거예요.

Q. 위 그림에서 각 A(85°)의 평각(이웃 각)은 몇 도인가요?

Q. 그렇다면 l과 m은 평행인가요? ("예"/"아니요")

5보조선 긋기 — 꺾인 선(Z자형) 각도 구하기

평행선 문제에서 가장 자주 나오는 유형이에요. 두 평행선 l, m 사이에 점 P가 하나 있고, A(l 위)—P—C(m 위)로 꺾인 선이 이어져 있을 때, 꺾인 각 ∠APC를 구하는 문제입니다.

🏆 비법 — P를 지나며 l, m에 평행한 보조선을 긋는다

점 P를 지나면서 l, m과 평행한 보조선 n을 그으면, n∥l이므로 A의 각과 n 위쪽 각이 엇각으로 같고, n∥m이므로 C의 각과 n 아래쪽 각이 엇각으로 같아요. 두 조각을 더하면 바로 ∠APC가 나옵니다.

∠(l, AP)=35°, ∠(m, PC)=40°일 때, 보조선 n으로 나뉜 두 조각이 각각 엇각으로 35°, 40°와 같으므로 ∠APC = 35+40 = 75°입니다.

Q. 위 그림처럼 두 각이 35°, 40°일 때 ∠APC는 몇 도인가요?

Q. 꺾인 점(P)이 1개일 때, 필요한 보조선은 몇 개인가요?

6평행선의 활용 — 계단형(3개의 평행선)

아주 오래전, 건물을 한 층만 지을 땐 각을 정밀히 잴 필요가 없었어요. 그런데 층수를 올리려면 각 층의 바닥이 전부 서로 평행해야 사람이 걸어 다닐 수 있죠. 이걸 확인하는 방법이 바로 동위각·엇각을 측정해 크기가 같은지 비교하는 것이었다고 전해져요.

이번엔 §5의 보조선 대신, 실제로 존재하는 층 바닥(n)을 이용해 똑같은 방식으로 풀어봅시다. 아래에서부터 m(1층 바닥), n(2층 바닥), l(3층 바닥)이 모두 평행할 때, 3층에서 1층으로 내려가는 계단 A—P—C가 있다고 해요.

n은 이미 그려진 실제 직선이라 §5와 똑같은 방법(엇각 두 번)이 그대로 적용돼요. ∠(l,AP)=32°, ∠(m,PC)=48°이면 ∠APC = 32+48 = 80°.

💡 §5와 무엇이 다를까?

§5는 P를 지나는 선이 원래 없어서 새로 그은 보조선이고, 이번엔 n이 원래부터 있던 진짜 직선이라는 점만 달라요. 계산 방법(엇각 두 번, 합치기)은 완전히 동일합니다.

Q. 위 그림처럼 두 각이 32°, 48°일 때 ∠APC는 몇 도인가요?

Q. 같은 방법으로, 두 각이 20°, 65°라면 ∠APC는 몇 도인가요?

📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)

아직 틀린 문제가 없어요. 퀴즈를 풀어보세요!

🔓 연습문제 잠금 해제

아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.

✓본문 퀴즈 전부 채점하기 (0 / 12)
✓오답노트 확인하기 (위에서 '오답 정리 완료' 누르기)

✏️ 연습문제

기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열려요. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.

기본기본 개념 확인0 / 10

1.아래 그림에서 l∥m이다. 표시된 62°의 동위각인 ∠x의 크기는? (단위: 도)

2.l∥m일 때, 한 동측내각의 크기가 115°이다. 다른 동측내각의 크기는? (단위: 도)

3.l∥m일 때 엇각의 크기가 각각 (2x+10)°와 70°이다. x의 값은?

4.두 직선이 한 직선과 만나서 생긴 동위각의 크기가 각각 82°, 82°이다. 두 직선은 평행한가요?

5.두 직선이 한 직선과 만나서 생긴 엇각의 크기가 각각 55°, 60°이다. 두 직선은 평행한가요?

6.l∥m일 때 한 각의 크기가 47°이다. 이 각의 동위각과 평각을 이루는 각의 크기는? (단위: 도)

7.l∥m일 때 동위각의 크기가 각각 (3x−5)°와 (2x+20)°이다. x의 값은?

8.아래 그림에서 l∥m이다. ∠x의 크기는? (단위: 도)

→ P를 지나며 l에 평행한 보조선을 그어 두 조각으로 나눠 보세요.

9.두 직선이 평행할 때, 한 쌍의 동측내각의 크기의 합은? (단위: 도)

10.평행한 두 직선이 한 직선과 만날 때 생기는 8개의 각 중 하나가 90°였다. 나머지 7개의 각은 모두 몇 도인가? (단위: 도)

응용평행선 응용 — 지그재그·삼각형·종이접기0 / 10

🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.

1.아래 그림에서 l∥m이다. x의 값은?

→ 꺾인 점마다 평행한 보조선을 그으면 (위쪽 각)+(아래쪽 꺾임각) = (위쪽 꺾임각)+(아래쪽 각) 이 성립해요.

2.l∥m이고, 어떤 삼각형에서 (3x+20)° + 40° + 27° = 180°가 성립한다. 이때 3x−1의 값은?

→ 먼저 x를 구한 뒤, 묻는 것이 x가 아니라 3x−1임에 주의하세요.

3.아래 그림에서 l∥m이다. ∠x+∠y의 크기는? (단위: 도)

4.l∥m일 때 한 각의 크기가 118°이다. 이 각의 엇각의 크기와 동측내각의 크기의 차는? (단위: 도)

5.세 직선이 만날 때에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은 모두 몇 개인가?
① 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다. ② 두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 같다.
③ 엇각의 크기가 같으면 항상 동측내각의 크기도 같다. ④ 두 직선이 평행하면 동측내각의 크기의 합은 180°이다.
⑤ 두 직선이 평행하지 않아도 동위각의 크기는 항상 같다.

6.아래 그림에서 l∥m이고 삼각형 ABC는 AB=AC인 이등변삼각형이다. ∠x+∠y의 크기는? (단위: 도)

→ B를 지나는 보조선을 긋고 이등변삼각형의 두 밑각을 먼저 구해 보세요.

7.두 직선이 각각 다른 두 직선과 만나는 그림에서 ∠a의 동위각이 2개 생겼고 그 크기가 각각 116°, 57°였다. ∠a의 모든 동위각의 크기의 합은? (단위: 도)

→ "모든"이라는 말에 주의 — 동위각이 하나뿐이라고 단정하지 마세요.

8.두 직선이 평행하고, 한 쌍의 동측내각의 크기가 각각 (4x)°와 (5x)°이다. x의 값은?

9.아래 그림은 직사각형 모양의 종이를 EF를 접는 선으로 하여 접은 것이다. ∠x의 크기는? (단위: 도)

→ 접은 각의 크기는 원래 각과 같고, AD∥BC이므로 엇각도 같아요.

10.서로 다른 세 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞꼭지각은 모두 몇 쌍인가?

→ 세 직선 중 두 직선을 고르는 경우마다 맞꼭지각이 2쌍씩 생겨요.

심화킬러 — 종이접기·거울·다단 역산0 / 10

🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.

🔮 심화 공략 — 종이접기와 거울, '접은 각은 그대로'

이 세트의 절반은 접거나 반사시킨 도형이에요. 핵심은 딱 두 가지 — ① 접은 각의 크기는 원래 각과 같다 ② 직사각형·평행한 거울에는 평행선이 숨어 있으니 엇각을 쓴다.

🧩 단계별 풀이 — 직사각형 종이접기의 기본형

직사각형 모양의 종이를 접는 선 EF를 따라 접었더니 ∠EFB=58°가 되었다. 이때 ∠AEG의 크기를 구하시오. (A, D는 윗변, B, C는 아랫변)

STEP 1
직사각형이므로 AD∥BC. EF가 두 평행선을 가로지르는 직선이니 엇각이 같아요 → ∠DEF = ∠EFB = 58°.

STEP 2
접은 각은 원래 각과 같으므로 ∠GEF = ∠DEF = 58°.

STEP 3
∠AEG, ∠GEF, ∠FED가 한 직선(AD) 위에서 평각을 이루므로
∠AEG = 180° − 58° − 58°

정답
= 64°

1.빛은 거울에 들어갈 때와 나갈 때 같은 각의 크기로 반사된다. 아래 그림에서 두 거울은 서로 평행하고 빛이 거울에 들어가는 각의 크기가 39°일 때, ∠x의 크기는? (단위: 도)

→ 두 거울이 평행하므로 엇각을 이용해 두 번째 거울에서의 입사각을 먼저 구하세요.

2.아래 그림과 같이 직사각형 ABCD에서 점 C가 대각선 BD 위의 점 P에 포개어지도록 접었다. ∠DBC=38°일 때 ∠x(=∠CPQ)의 크기는? (단위: 도)

→ ∠BDC를 구한 뒤, 접는 선 DQ가 ∠BDC를 이등분함을 이용하세요. 마지막엔 QC=QP인 이등변삼각형입니다.

3.두 직선이 한 점에서 만나고, 또 다른 한 직선이 두 직선과 평행하지 않고 그 교점을 지나지도 않을 때 맞꼭지각은 모두 a쌍 존재한다. 또 세 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞꼭지각은 모두 b쌍이다. a+b의 값은? (단, 직선은 모두 한 평면 위에 있다.)

→ 교점이 몇 개 생기는지부터 그림으로 세어 보세요.

4.l∥m이고 엇각의 크기가 각각 (3x+10)°와 (5x−30)°이다. 이때 그 각의 동측내각의 크기는? (단위: 도)

→ x를 구하고 → 각의 크기를 구하고 → 다시 동측내각으로. 세 단계입니다.

5.꺾인 점이 2개인 지그재그에서 (위쪽 각)+(아래쪽 꺾임각) = (위쪽 꺾임각)+(아래쪽 각)이 성립한다. 위쪽 각이 48°, 위쪽 꺾임각이 132°, 아래쪽 각이 57°일 때 아래쪽 꺾임각은? (단위: 도)

6.직사각형 모양의 종이를 접는 선 EF를 따라 접었더니 ∠EFB=34°가 되었다. 이때 ∠AEG의 크기는? (단위: 도)

→ 엇각으로 ∠DEF를 구하고, 접은 각이 같음을 이용해 평각에서 빼세요.

7.l∥m이고 한 직선이 두 직선과 만나서 생기는 8개의 각이 있다. 그중 한 각의 크기가 63°일 때, 크기가 63°인 각은 모두 몇 개인가?

→ 맞꼭지각·동위각·엇각을 모두 찾아보세요.

8.두 직선이 한 직선과 만나서 생긴 동위각의 크기가 각각 (2x+15)°와 (4x−25)°이다. 두 직선이 평행하려면 x의 값은 얼마여야 하는가?

9.평행한 두 직선이 한 직선과 만날 때, 한 쌍의 동측내각의 크기의 비가 4:5이다. 두 각 중 큰 각의 크기는? (단위: 도)

10.평행한 두 직선이 한 직선과 만날 때 생기는 8개의 각을 크기별로 분류하면 서로 다른 크기는 몇 가지인가? (단, 어느 각도 90°가 아니다.)

→ 같은 크기끼리 묶어 보세요.

📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)

아직 틀린 문제가 없어요.