지난 단원 기본 도형에서 점·선·면, 각, 직선·반직선·선분, 수직과 수선까지 배웠죠? 오늘은 도형을 두 개 이상 같이 놓을 때의 위치 관계를 본격적으로 정리합니다.
점이 직선 위에 있다 또는 위에 있지 않다 — 딱 두 가지뿐. "점이 직선 위에 있다"는 "직선이 그 점을 지난다"와 같은 말이에요.
왼쪽 그림: 점 B는 직선 m 위에 있다 / 점 A는 위에 있지 않다.
점이 평면에 붙어 있다(위에 있다) 또는 떨어져 있다(위에 있지 않다) — 역시 두 가지뿐. 오른쪽 그림: 점 B는 평면 P 위에 있다 / 점 A는 평면 P 위에 있지 않다.
종이(평면) 위에 직선 두 개를 그린다고 하면 가능한 경우는 딱 세 가지예요.
① 평행하다 — 만나지 않는다 (교점 0개)
② 한 점에서 만난다 — 교차한다 (교점 1개)
③ 일치한다 — 완전히 겹쳐진다 (교점 무수히 많음)
| 위치 관계 | 교점의 개수 |
|---|---|
| 평행 | 0개 |
| 한 점에서 만남 | 1개 |
| 일치 | 무수히 많음 |
직선 m과 직선 l이 평행하다는 것은 기호로 m∥l. "두 직선 사이에 교점이 없다"는 뜻이에요.
앞의 세 경우는 전부 평면(종이) 위의 경우였어요. 3차원 공간에서는 직선 두 개를 놓는 방법이 하나 더 있습니다.
평행하지도 않으면서, 만나지도 않는 두 직선의 관계. 평면에서는 절대 나올 수 없고, 공간에서만 가능해요.
직선 l이 직선 m의 뒤쪽(안 보이는 깊이 방향)을 지나간다고 생각하면 돼요. 서로 다른 "깊이"에 있어서 절대 만나지 않습니다.
| 위치 관계 | 교점 개수 | 어디서 가능? |
|---|---|---|
| 평행 | 0개 | 평면·공간 모두 |
| 한 점에서 만남 | 1개 | 평면·공간 모두 |
| 일치 | 무수히 많음 | 평면·공간 모두 |
| 꼬인 위치 | 0개(평행 아님) | 공간에서만! |
입체도형(공간)을 다룰 때는 꼬인 위치까지 포함해 총 4가지. 앞으로 입체도형 문제에서 정말 자주 나와요.
직선 하나를 결정하려면 서로 다른 점 2개(직선은 1차원). 평면 하나를 결정하려면 한 직선 위에 있지 않은 점 3개(평면은 2차원)가 필요해요.
점 3개는 무조건 평면 하나를 결정하기 때문에, 세 바퀴는 항상 같은 평면(바닥)에 붙어 있어요. 네발자전거는 점이 4개라서 바닥이 울퉁불퉁하면 하나가 뜰 수 있죠.
점 3개 말고도 결과적으로 점 3개와 똑같은 효과를 내는 방법이 더 있어서, 평면을 결정하는 방법은 모두 4가지예요.
① 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점
② 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점
③ 한 점에서 만나는(교차하는) 서로 다른 두 직선
④ 서로 평행한 두 직선
세 점이 한 직선 위에 있으면 그 직선을 지나는 평면이 무수히 많아 하나로 결정되지 않아요.
직선과 평면 사이의 위치 관계예요. 종이 위 직선은 긋는 방법이 하나뿐이라 별 의미가 없으니, 공간에서 생각합니다.
① 포함된다 — 딱 붙어 있다 (교점 무수히 많음)
② 한 점에서 만난다 — 평면을 뚫고 지나간다 (교점 1개)
③ 평행하다 — 만나지 않는다 (교점 0개)
확인 방법: 교점을 지나면서 평면에 포함된 서로 다른 두 직선을 그어서, 원래 직선이 그 두 직선 모두와 수직인지 확인합니다.
마지막으로 평면과 평면 사이의 위치 관계예요.
① 일치한다 — 완전히 겹쳐진다 (교점 무수히 많음)
② 평행하다 — 만나지 않는다 (교점 0개)
③ 교선을 가진다 — 만나서 선(직선)이 생긴다. "한 직선에서 만난다"고도 해요.
면과 면이 만나서 생기는 선(1단원 복습). 두 평면이 다르면서 만나면 그 교선은 항상 직선이에요.
교선을 c, 평면 A에 포함되고 c와 수직인 직선을 a, 평면 B에 포함되고 c와 수직인 직선을 b라 할 때:
① a⊥c, ② b⊥c, ③ a⊥b — 세 조건이 모두 만족되어야 평면 A와 평면 B가 수직!
배운 위치 관계를 직육면체 하나로 정리해요. 윗면 A,B,C,D / 밑면 E,F,G,H(A 아래 E, B 아래 F… 대응).
보라색 모서리 AB 기준, 나머지 11개 모서리와의 위치 관계:
| 위치 관계 | 모서리 AB와의 관계 | 개수 |
|---|---|---|
| 평행 | CD, EF, HG | 3개 |
| 한 점에서 수직으로 만남 | AD, BC, AE, BF | 4개 |
| 꼬인 위치 | FG, EH, CG, DH | 4개 |
모서리 12개 중 기준 AB를 뺀 11개를 남김없이 분류할 수 있어요.
면 ABCD와 면 EFGH → 평행(윗면·밑면)
면 ABCD와 면 ABFE → 교선 AB를 가지며 수직으로 만남
모서리 AE와 면 EFGH → 점 E에서 수직으로 만남(밑면의 EF, EH와 모두 수직)
모서리 AB와 만나지 않는 모서리엔 두 종류가 섞여 있어요 — 같은 평면에 나란한 평행(CD,EF,HG)과, 방향·높이가 달라 나란하지도 않은 꼬인 위치(FG,EH,CG,DH). "안 만난다"고 무조건 꼬인 위치가 아니라 평행인지까지 구분해야 해요.
또 모서리(양 끝 있는 선분)와 직선(양쪽으로 끝없이 늘인 것)의 차이도 꼭 확인하세요.
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① 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점 ② 한 직선과 그 직선 위의 한 점 ③ 평행한 두 직선 ④ 한 점에서 만나는 두 직선 ⑤ 꼬인 위치에 있는 두 직선
세영: 한 평면에 수직인 서로 다른 두 직선은 서로 평행해.
현우: 한 평면에 평행한 서로 다른 두 직선도 서로 평행해.
지수: 한 직선에 평행한 서로 다른 두 직선은 서로 평행해.
옳게 말한 사람은 모두 몇 명인가요?
① 한 직선에 평행한 서로 다른 두 평면은 평행하다.
② 한 평면에 수직인 서로 다른 두 직선은 평행하다.
③ 한 직선에 수직인 서로 다른 두 평면은 평행하다.
④ 한 평면에 평행한 서로 다른 두 직선은 평행하다.
⑤ 한 직선에 평행한 서로 다른 두 평면은 수직이다.
평면 하나를 결정하려면 한 직선 위에 있지 않은 세 점이 필요하다고 배웠죠. 점이 여러 개 있을 때는 그중 세 점씩 짝지어 세어보면 됩니다.
평면 하나를 결정하려면 한 직선 위에 있지 않은 점 3개가 필요해요.
네 점 중 3개를 고르는 경우를 전부 나열: {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D} → 4가지
네 점이 한 평면 위에 있지 않다고 했으니, 이 4가지 조합은 전부 서로 다른 평면을 만들어요(겹치는 평면 없음).
= 4개
① 모서리 AB와 평행한 모서리는 3개이다.
② 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 4개이다.
③ 면 ABCD와 평행한 면은 2개이다.
④ 모서리 AE와 면 EFGH는 수직으로 만난다.
⑤ 한 꼭짓점에 모이는 모서리는 3개이다.
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