기본 도형 강의노트 PRO

1도형의 기본 요소 — 점, 선, 면

지금부터 우리는 여러 가지 도형을 배울 거예요. 삼각형, 사각형, 원기둥… 그런데 이 모든 도형을 이루는 가장 기본적인 구성 요소가 뭔지 먼저 알아야겠죠?

🔑 도형의 3대 기본 요소

점 → 선 → 면. 점을 움직이면 선이 되고(직선 또는 곡선), 선을 움직이면 면이 됩니다(평면 또는 곡면). 직선을 똑바로 움직이면 평면이, 굴곡지게 움직이면 곡면이 나와요.

점 하나만 찍으면 딱히 설명할 게 없죠. 그런데 그 점을 연속으로 움직이면 선이 만들어져요. 나중에 함수 그래프를 배울 때도 "아, 점이 움직이고 있구나"라고 생각하면 이해가 훨씬 쉬워집니다.

도형	점	선	면
삼각형	3개	3개	1개

🚨 모든 도형이 점·선·면을 다 갖는 건 아니다!

예를 들어 반직선 두 개로 이루어진 각은 점 1개, 선 2개뿐이고 면은 없어요.

💡 평면도형 vs 입체도형

평면도형: 삼각형·사각형·오각형 같은 다각형, 원 등

입체도형: 각기둥·원기둥 같은 기둥, 뿔, 구 등

Q. 선을 움직이면 무엇이 만들어지나요? (한 글자)

Q. 삼각형에서 점, 선, 면의 개수를 모두 더하면?

2위치 관계와 교점·교선

두 개 이상의 도형을 같이 놓고 공부할 때 살펴보는 게 바로 위치 관계입니다.

🔑 점과 직선의 위치 관계

점이 직선 위에 있거나, 직선 위에 있지 않거나 — 둘 중 하나예요.

말로 표현하면: 점 B는 직선 l 위에 있다 / 점 A는 직선 l 위에 있지 않다. 직선 기준으로는 직선 l은 점 B를 지난다 / 지나지 않는다.

🏆 교점과 교선 — 시험 단골!

교점: 선과 선, 또는 선과 면이 만나서 생기는 점

교선: 면과 면이 만나서 생기는 선

직육면체의 꼭짓점은 모서리(선)들이 만나서 생긴 교점, 모서리는 면들이 만나서 생긴 교선이에요.

Q. 선과 선이 만나면 생기는 것은?

Q. 면과 면이 만나면 생기는 것은?

3직선·반직선·선분

🔑 직선을 하나로 결정하려면?

서로 다른 두 점이 있어야 직선을 딱 하나로 결정할 수 있어요.

구분	뻗는 방향	AB = BA?
직선 AB	양쪽 다 끝없이	같다
반직선 AB	A에서 B쪽으로만	다르다
선분 AB	A부터 B까지만	같다

🚨 반직선은 순서가 생명!

반직선 AB는 A에서 출발해 B 방향, 반직선 BA는 B에서 출발해 A 방향 — 시작점과 방향이 다르니까 서로 다른 도형!

Q. 반직선 AB와 반직선 BA는 같은 도형인가요, 다른 도형인가요?

Q. 직선 AB와 직선 BA는 같은 도형인가요, 다른 도형인가요?

4두 점 사이의 거리와 중점

🔑 두 점 사이의 거리

두 점 A, B를 이을 수 있는 경로는 많지만, 우리는 그중 가장 짧은 직선 경로 — 선분 AB의 길이를 "두 점 사이의 거리"라고 부릅니다.

🏆 중점이란?

선분을 정확히 이등분하는 점. 점 C가 선분 AB의 중점이면 AC = CB예요.

📐 중점 공식

C가 AB의 중점 → AC = CB = ¹⁄₂ AB

예제 — 선분 AB = 12cm, M은 AB의 중점, N은 MB의 중점일 때:

AM = MB	MN = NB	AN
6cm	3cm	9cm

💡 등분점 사이의 배수 관계 — 시험 단골

MN은 MB의 ¹⁄₂배, AB는 MN의 4배, AN은 NB의 3배! 중점의 중점 문제는 전체 길이를 문자로 놓고 차근차근 나눠보면 쉽게 풀려요.

Q. 선분 AB = 14cm이고 M이 AB의 중점일 때, AM의 길이는?

Q. 점 C가 선분 AB의 중점이고 AB = 20cm일 때, AC의 길이는?

5각 — 정의와 분류

🔑 각(角)이란?

한 점(꼭짓점)에서 시작하는 두 반직선이 이루는 도형.

🏆 각의 표기법

위 각은 각A, 각BAC, 각CAB 셋 다 같은 뜻. 세 글자로 쓸 때는 가운데 문자가 항상 꼭짓점!

각의 크기 x	이름
0° < x < 90°	예각
x = 90°	직각
90° < x < 180°	둔각
x = 180°	평각

Q. 크기가 90°인 각을 무엇이라 하나요?

Q. 크기가 180°인 각을 무엇이라 하나요?

6교각과 맞꼭지각

🔑 두 직선이 만나면 교각이 4개!

두 직선이 한 점에서 교차하면 교점 주변에 교각 4개(두 쌍)가 생깁니다.

🏆 맞꼭지각의 성질 — 왜 크기가 같을까?

a + b = 180°(평각), b + c = 180°(평각) → 두 식을 비교하면 a = c!

같은 방법으로 b = d도 성립. 즉 맞꼭지각끼리는 크기가 항상 같습니다.

예제 — 평각을 이루는 각이 9x일 때, x는?

9x = 180 → x = 20

Q. 두 직선이 교차할 때 생기는 교각은 모두 몇 개인가요?

Q. 두 직선이 교차해 생긴 각 중 하나가 65°일 때, 그 맞꼭지각의 크기는?

7수직과 수선

🔑 직교(수직)란?

두 직선의 교각 중 하나가 90°이면 나머지 세 각도 전부 90°. 이때 두 직선은 직교한다/수직이다, 기호로 l ⊥ m.

💡 수직이등분선

어떤 직선이 선분과 수직으로 만나면서 동시에 중점을 지나면, 그 선분의 수직이등분선이라고 해요.

🏆 수선의 발과 점·직선 사이의 거리

직선 밖의 점에서 그 직선에 내린 수선이 만나는 점을 수선의 발이라 하고, 점과 직선 사이의 거리는 이 수선의 길이로 정의합니다.

📐 점과 직선 사이의 거리

점에서 직선에 내린 수선의 길이

Q. 두 직선의 교각이 90°일 때, 두 직선은 서로 무엇이라 하나요?

Q. 점과 직선 사이의 거리는 무엇의 길이인가요?

📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)

아직 틀린 문제가 없어요. 퀴즈를 풀어보세요!

🔓 연습문제 잠금 해제

아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.

✓본문 퀴즈 전부 채점하기 (0 / 14)
✓오답노트 확인하기 (위에서 '오답 정리 완료' 누르기)

✏️ 연습문제

기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열려요. 답이 두 가지 표현일 수 있는 문제(같다/다르다 등)는 그대로 입력하세요. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.

기본도형의 요소 · 각의 기본0 / 10

1.삼각기둥에서 교점의 개수를 a, 교선의 개수를 b, 면의 개수를 c 라 할 때 a + b + c 의 값은?

→ 교점 = 꼭짓점, 교선 = 모서리

2.한 직선 위에 있는 서로 다른 네 점 A, B, C, D 로 만들 수 있는 서로 다른 선분은 모두 몇 개인가?

→ 선분은 양 끝점만 정하면 되고 순서는 상관없다

3.시계가 12시 30분을 가리킬 때, 시침과 분침이 이루는 각 중 작은 쪽 각의 크기는? (도)

→ 시침은 1분에 0.5°, 분침은 1분에 6° 움직인다

4.선분 MN 의 길이가 8cm일 때, MN 의 수직이등분선과 점 M 사이의 거리는? (cm)

5.점 M 은 선분 AB 의 중점이고 점 N 은 선분 AM 의 중점이다. 선분 NB 의 길이는 AB 의 몇 배인가? (기약분수)

6.크기가 90°보다 크고 180°보다 작은 각을 무엇이라 하는가? (예각 / 직각 / 둔각 / 평각)

7.두 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞꼭지각은 모두 몇 쌍인가?

8.맞꼭지각인 두 각의 크기가 각각 (2x + 10)° 와 70° 일 때, x 의 값은?

9.평각을 이루는 두 각의 크기가 각각 3x°, 7x° 일 때, x 의 값은?

10.서로 다른 세 직선이 한 점에서 만날 때, 그 점에 생기는 맞꼭지각은 모두 몇 쌍인가?

→ 생기는 각이 모두 몇 개인지 먼저 세어 볼 것

응용개수 세기 · 선분의 비 · 각도 계산0 / 10

🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.

1.어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 5개의 점이 있다. 두 점을 지나는 서로 다른 직선의 개수를 a, 반직선의 개수를 b, 선분의 개수를 c 라 할 때 a − b + c 의 값은?

→ 반직선은 시작점이 어느 쪽이냐에 따라 두 개가 생긴다

2.반원 위에 5개의 점이 있다. 그중 A, B, C 는 지름 위에 차례대로 놓여 있고, D, E 는 호 위에 있다. 두 점을 이어 만들 수 있는 서로 다른 반직선은 모두 몇 개인가?

→ 한 직선 위의 세 점에서는 같아지는 반직선이 생긴다

3.한 직선 위에 A, B, C, D 가 차례로 있고 AB = 10cm, BC = 16cm, CD = 8cm 이다. 점 E 는 AB 의 중점, 점 G 는 CD 의 중점, 점 F 는 CG 의 중점일 때 EF : FD 는? (예: 23:6 처럼 입력)

→ A를 0으로 두고 각 점의 위치를 수로 나타내면 편하다

4.선분 AB = 45cm 이고 점 C, M, N 은 AB 위의 점이다. AM = MC, CN : NB = 2 : 1, AC : CB = 2 : 3 일 때 MN 의 길이는? (cm)

5.다음 그림에서 AB ⊥ CO 이고 ∠DOA = 4∠COD, ∠DOB = 5∠DOE 일 때 ∠DOE(그림의 x) 의 크기는? (도)

→ ∠DOA = 90° + ∠COD 임을 이용해 ∠COD 부터 구할 것

6.다음 그림과 같이 세 직선이 한 점에서 만날 때 x 의 값은?

→ 한 직선 위에 놓인 세 각의 합은 180°다

7.시계가 4시 45분을 가리킬 때, 두 바늘이 이루는 각 중 작은 쪽의 크기는? (도, 소수로 입력 가능)

→ 시침은 4시에서 45분만큼 더 움직인 위치에 있다

8.한 직선 위에 P, A, B, C, M, D 가 차례로 있다. PA = ¹⁄₂PD 이고 두 점 B, C 는 선분 AD 를 삼등분하는 점이며 점 M 은 CD 의 중점이다. PD = 48cm 일 때 AM 의 길이는? (cm)

9.다음 그림에서 AE ⊥ BO 이고 2∠BOD = 7∠DOE, 2∠COD = ∠DOE 일 때 ∠BOC(그림의 x) 의 크기는? (도)

→ ∠BOD + ∠DOE = 90° 임을 먼저 이용할 것

10.직선 AB 와 직선 CD 가 점 O 에서 수직으로 만난다. 다음 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. AB ⊥ CD 이다 ㄴ. ∠AOC = ∠AOD = 90° 이다
ㄷ. 직선 AB 와 직선 CD 는 직교한다
ㄹ. 점 D 와 직선 AB 사이의 거리는 선분 BD 의 길이이다
ㅁ. 점 C 에서 직선 AB 에 내린 수선의 발은 점 O 이다

→ 점과 직선 사이의 거리는 수선의 발까지의 거리다

심화킬러 — 구조 통찰 · 위치 좌표화 · 시계각0 / 10

🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.

🔮 이 세트의 핵심 — 선분은 수직선처럼, 각은 합이 얼마인지로

기본도형 킬러는 두 갈래입니다. ① 선분 위 점의 위치 문제는 한쪽 끝을 0으로 두고 각 점을 수로 바꾸면 중점·삼등분점·비율이 전부 사칙연산이 됩니다 — 그림만 보고 눈대중하지 마세요. ② 각 문제는 무엇이 평각(180°)이고 무엇이 직각(90°)인지부터 찾습니다. 조건이 "∠AOB = 4∠COD" 같은 배수로 주어지면 작은 각을 미지수로 놓는 것이 정석입니다. 그리고 답을 구한 뒤 문제가 어느 각을 물었는지 반드시 다시 확인하세요.

🧩 준비 예제 — 직선·반직선·선분의 개수 세기

어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 4개의 점에 대하여, 두 점을 지나는 직선의 개수 a, 반직선의 개수 b, 선분의 개수 c 를 구하면?

STEP 1
직선은 두 점만 정하면 하나로 정해진다. 4개에서 2개를 뽑는 경우 → a = 6

STEP 2
선분도 양 끝점만 정하면 되므로 직선과 같은 개수 → c = 6

STEP 3
반직선은 어느 점이 시작점이냐에 따라 달라진다. 두 점마다 2개씩 → b = 12

정답
a = 6, b = 12, c = 6 — 핵심은 반직선만 순서를 따진다는 것

🧩 본 유형 — 값이 개수와 무관해지는 경우 (아래 1번 유형)

위와 같은 상황에서 a − b + c 의 값은 점의 개수에 따라 어떻게 달라지는가?

STEP 1
점이 n개일 때 두 점을 뽑는 경우의 수를 k 라 하면, a = k, c = k, b = 2k

STEP 2
a − b + c = k − 2k + k

STEP 3
= 0 — k 가 사라지므로 점의 개수와 관계없이 항상 0

정답
0 (점이 4개든 6개든 10개든 동일) — 이런 문제는 개수를 다 세지 않고 구조를 보면 즉시 끝난다

1.어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 6개의 점에 대하여, 두 점을 지나는 직선의 개수를 a, 반직선의 개수를 b, 선분의 개수를 c 라 하자. a − b + c 의 값은?

→ 위 준비 예제 참고. 점의 개수를 바꿔도 값이 변하지 않는 이유를 생각해 볼 것

2.평면 위에 7개의 점이 있다. 그중 4개는 한 직선 위에 있고, 나머지 3개는 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으며 그 직선 위에도 있지 않다. 두 점을 지나는 서로 다른 직선은 모두 몇 개인가?

→ 전부 따로라 가정해 세고, 한 직선 위 4점이 만드는 중복을 빼면 된다

3.한 직선 위에 P, A, B, C, M, D 가 차례로 있다. PA = ¹⁄₃PD 이고 두 점 B, C 는 선분 AD 를 삼등분하는 점이며 점 M 은 CD 의 중점이다. PD = 36cm 일 때 AM : MD 는? (예: 5:1 처럼 입력)

4.∠AOB = 90° 이고 두 반직선 OC, OD 가 ∠AOB 의 내부에 있다. ∠AOC : ∠COD : ∠DOB = 2 : 3 : 4 일 때 ∠AOD 의 크기는? (도)

→ ∠AOD 는 앞의 두 조각을 합한 것이다

5.시계의 시침과 분침이 3시와 4시 사이에서 처음으로 완전히 겹치는 시각은 3시 몇 분인가? (기약분수)

→ 3시 x분에서 분침은 6x°, 시침은 90° + 0.5x° 위치에 있다

6.세 직선이 한 점에서 만난다. 한 직선 위에서 세 각이 (2x + 10)°, (3x − 20)°, (x + 40)° 로 평각을 이룰 때, (2x + 10)° 인 각의 맞꼭지각의 크기는? (도)

→ 맞꼭지각은 서로 같다. x 를 구한 뒤 무엇을 물었는지 다시 볼 것

7.선분 AB = 48cm 이다. 점 M 은 AB 의 중점, 점 N 은 MB 의 중점, 점 P 는 MN 의 중점일 때 AP 의 길이는? (cm)

8.오각기둥에서 교점의 개수를 a, 교선의 개수를 b, 면의 개수를 c 라 할 때 a − b + c 의 값은?

→ 사각기둥·육각기둥으로도 계산해 보면 규칙이 보인다

9.선분 AB = 60cm 이고 점 C 는 AB 위의 점으로 AC : CB = 1 : 2 이다. 점 M 은 AC 의 중점이고, 점 N 은 CB 를 1 : 3 으로 나누는 점(C 에 가까운 쪽)일 때 MN 의 길이는? (cm)

10.직사각형 ABCD 에서 두 대각선 AC, BD 의 교점을 O 라 하자. 다음 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. AB ⊥ BC 이다 ㄴ. ∠AOB = ∠COD 이다
ㄷ. 변 AB 는 변 AD 의 수선이다
ㄹ. 점 D 와 변 BC 사이의 거리는 변 CD 의 길이와 같다
ㅁ. 점 C 에서 변 AB 에 내린 수선의 발은 점 A 이다

→ ㅁ은 어느 점이 수선의 발인지 그림을 그려 확인할 것

📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)

아직 틀린 문제가 없어요.