정비례와 반비례 강의노트 PRO

1정비례란?

지금까지 배운 일차방정식, 좌표평면은 앞으로 배울 모든 함수의 기초예요. 이번 단원에서는 두 변수 사이의 관계식 중 가장 기본이 되는 정비례와 반비례를 배웁니다.

🔑 정비례(正比例)란?

두 변수 x, y에서 x가 2배, 3배, 4배…가 될 때 y도 똑같이 2배, 3배, 4배…가 되는 관계. "변화하는 비율이 같다"고 표현해요.

x	1	2	3	4
y (= 2x)	2	4	6	8

x가 1→2→3→4로 2배, 3배, 4배가 될 때 y도 2→4→6→8로 똑같이 2배, 3배, 4배가 돼요.

📐 정비례 관계식

y = ax (a는 0이 아닌 상수)

💡 실생활 예 — 공책 사기

한 권에 800원인 공책 x권의 가격을 y원이라 하면: y = 800x

11권을 사면? x = 11을 대입 → y = 800 × 11 = 8,800원

🏆 정비례 확인하는 순간 해야 할 일

두 변수가 정비례한다는 걸 알게 되면 바로 y = ax로 관계식을 세우고, 표에 있는 값 하나를 대입해서 a를 구하면 끝!

Q. 한 권에 800원인 공책을 x권 살 때 가격 y=800x원이다. 11권을 사면 얼마인가요?

Q. x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 관계를 무엇이라 하나요?

2정비례 그래프

y = 2x의 순서쌍 (1,2), (2,4), (3,6), (4,8)을 좌표평면에 찍고, x에 0, 음수, 분수 등 모든 값을 대입해서 점을 찍어 이으면...

📐 정비례 그래프의 위치

항상 원점을 지나는 직선

🚨 흔한 실수 — 그래프 일부만 그리기

특별한 조건이 없으면 x에는 모든 수가 들어갈 수 있어요. 좌표평면 그리드 전체에 걸쳐 직선을 끝까지 그려야지, 일부 구간만 그리면 틀립니다!

💡 직선은 점 두 개면 충분!

정비례 그래프는 항상 원점을 지나니까, 원점과 x에 적당한 값을 대입해 얻은 점 하나만 찍고 자로 이으면 끝이에요.

Q. y = 2x 그래프가 점 (a, 6)을 지날 때, a의 값은?

Q. 정비례 그래프는 항상 어떤 점을 지나나요?

3a값의 역할 — 그래프의 모양

🔑 그래프를 그리려면 위치와 모양이 필요!

정비례에서 위치는 항상 원점으로 정해져 있어요. 모양(어느 방향으로, 얼마나 가파르게)은 a가 결정합니다.

a > 0

1,3사분면

a < 0

2,4사분면

💡 증가·감소

a > 0: 오른쪽 위로 올라가는 직선 (x 증가 → y 증가)

a < 0: 오른쪽 아래로 내려가는 직선 (x 증가 → y 감소)

🏆 |a|(절댓값)의 역할 — 기울어진 정도

\|a\|의 변화	그래프 모양
\|a\|가 커질수록	y축에 가까워짐 (더 가파름)
\|a\|가 작아질수록	y축에서 멀어짐 (더 완만함)

예제 — 정비례 그래프가 점 (-1, -3)을 지날 때, a는?

y = ax에 x=-1, y=-3 대입: -3 = a×(-1)

→ a = 3 → 관계식은 y = 3x

Q. 정비례 그래프가 점 (-1, -3)을 지날 때, a의 값은?

Q. |a|가 커질수록 정비례 그래프는 y축에 (가까워지나요/멀어지나요)?

4반비례란?

🔑 반비례(反比例)란?

두 변수 x, y에서 x가 2배, 3배, 4배…가 될 때 y는 1/2배, 1/3배, 1/4배…가 되는 관계. "변화하는 비율이 역수 관계"예요.

자르는 길이 x(cm)	1	2	3	4	6
조각 개수 y(개)	48	24	16	12	8

48cm 테이프를 x cm씩 자르면 y개가 나와요. x가 2배(1→2)가 되면 y는 1/2배(48→24)가 되죠.

📐 반비례 관계식

y = a / x (a는 0이 아닌 상수)

💡 전체가 고정되어 있으면 반비례!

테이프 전체 길이(48cm)처럼 총량이 고정되어 있고, 그걸 몇 개로 나누느냐가 변수라면 반비례 관계인 경우가 많아요.

Q. 48cm 테이프를 x=6cm씩 자르면 y개가 나온다. y의 값은?

Q. x가 2배가 될 때 y가 1/2배가 되는 관계를 무엇이라 하나요?

5반비례 그래프

🔑 반비례 그래프의 위치

원점을 기준으로 서로 대칭인 한 쌍의 쌍곡선이 그려져요.

y = 8/x 의 그래프 — 1사분면과 3사분면에 대칭으로 그려져요

a > 0

1,3사분면

a < 0

2,4사분면

💡 증가·감소

a > 0: x 증가 → y 감소

a < 0: x 증가 → y 증가

🏆 |a|의 역할 — 원점과의 거리

\|a\|의 변화	그래프 모양
\|a\|가 커질수록	원점에서 멀어짐
\|a\|가 작아질수록	원점에 가까워짐

🚨 점근선 — 절대로 축에 닿지 않는다!

반비례 그래프는 x축, y축과 절대 만나지 않아요. 이런 축을 점근선이라고 해요.

왜? y=0이 되려면 a=0이어야 하는데 a≠0 조건이 있고, x=0은 애초에 분모가 될 수 없기 때문이에요.

Q. 반비례 그래프의 모양을 무엇이라 하나요? (한글)

Q. y = 8/x 위의 점 중 x=4일 때, y의 값은?

6반비례의 핵심 — 두 변수의 곱은 항상 일정!

🔑 xy = a

y = a/x 의 양변에 x를 곱하면 xy = a. 즉 반비례 그래프 위의 모든 점에서 x좌표 × y좌표는 항상 a로 일정합니다!

그림으로 이해하기 — 직사각형의 넓이

곡선 위의 한 점에서 x축, y축으로 수선을 내려 만든 직사각형의 넓이 = (그 점의 x좌표) × (y좌표)

y = 8/x 위의 점 (2,4): 넓이 = 2×4 = 8. 점 (4,2): 넓이 = 4×2 = 8. 어느 점에서 재도 넓이는 똑같이 8!

🏆 이 성질로 문제를 훨씬 빠르게 풀 수 있다!

표에서 x, y 값을 곱해봤을 때 항상 같은 값이 나오면 반비례! 그 값이 바로 a예요. 대입 계산 없이 바로 관계식을 쓸 수 있어요.

Q. 반비례 관계에서 x=5, y=12일 때, a(=xy)의 값은?

Q. y = 60/x 위의 점에서 x=10일 때, y의 값은?

7정비례 vs 반비례 총정리

	정비례	반비례
변화 비율	같은 비율로 변화	역수 비율로 변화
관계식	y = ax	y = a/x
그래프 위치	원점을 지나는 직선	원점 대칭인 쌍곡선
a > 0	1,3사분면 · 증가	1,3사분면 · 감소
a < 0	2,4사분면 · 감소	2,4사분면 · 증가
핵심 성질	y/x가 항상 a로 일정	xy가 항상 a로 일정

🔮 앞으로 어떻게 발전할까?

정비례는 2-1에서 일차함수로, 반비례는 고등수학에서 유리함수로 발전합니다. 지금 배운 개념이 앞으로 나오는 모든 함수의 기초예요!

Q. 정비례 관계에서 항상 일정한 값은 y/x인가요, xy인가요? (그대로 입력)

Q. 반비례 관계에서 항상 일정한 값은?

📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)

아직 틀린 문제가 없어요. 퀴즈를 풀어보세요!

🔓 연습문제 잠금 해제

아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.

✓본문 퀴즈 전부 채점하기 (0 / 14)
✓오답노트 확인하기 (위에서 '오답 정리 완료' 누르기)

✏️ 연습문제

기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열려요. 음수는 −5 처럼, 분수는 1/2 처럼, 좌표는 2,4 형태로 입력하세요. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.

기본정비례 · 반비례 판별과 관계식0 / 10

1.어떤 음료수 8캔에 들어 있는 음료의 양은 2560mL이다. 음료수 x캔에 들어 있는 양을 y mL라 할 때 y는 x에 정비례한다. 음료수 30캔에 들어 있는 음료의 양은? (mL)

→ 1캔에 몇 mL인지 먼저 구할 것

2.다음 중 y가 x에 정비례하는 것은 몇 개인가?
ㄱ. 한 사람당 3000원씩 x명이 모은 성금 y원
ㄴ. 주스 15L를 x명이 똑같이 나누어 마실 때 한 사람이 마신 양 yL
ㄷ. 1분에 16장을 인쇄하는 프린터가 x분 동안 인쇄한 종이 수 y장
ㄹ. 넓이가 60cm²인 평행사변형의 밑변의 길이가 x cm일 때 높이 y cm

→ y = (수)×x 꼴이면 정비례, y = (수)÷x 꼴이면 반비례

3.정비례 관계 y = ax 의 그래프가 두 점 (6, 3), (−8, b) 를 지날 때, ab 의 값은?

→ (6, 3)으로 a 를 먼저 구한 뒤 b 를 구한다

4.반비례 관계 y = ^a⁄_x 의 그래프가 점 (3, 2) 를 지날 때, a 의 값은?

5.다음 중 y가 x에 반비례하는 것은 몇 개인가?
ㄱ. 낮의 길이가 x시간일 때 밤의 길이 y시간
ㄴ. 1개의 열량이 20kcal인 사탕 x개의 열량 y kcal
ㄷ. 1분에 15장씩 인쇄하는 프린터가 x분 동안 인쇄한 종이 y장
ㄹ. 연료 1L로 15km를 달리는 자동차가 연료 xL로 달린 거리 y km
ㅁ. 무게가 800g인 케이크를 x조각으로 똑같이 자를 때 한 조각의 무게 y g

→ xy 가 일정한 수가 되는 것을 찾을 것

6.y가 x에 반비례하고 x = 2일 때 y = 3이다. x = 4 일 때 y의 값은? (기약분수)

→ 반비례에서는 xy 의 값이 항상 일정하다

7.반비례 관계 y = ¹²⁄_x 의 그래프가 점 (−4, k) 를 지날 때, k 의 값은?

8.정비례 관계 y = ax 의 그래프가 제2사분면과 제4사분면을 지날 때, a 의 부호는? (양수 / 음수)

9.톱니가 각각 12개, a개인 두 톱니바퀴 A, B가 맞물려 돌아간다. A가 3번 회전하는 동안 B가 4번 회전할 때, a 의 값은?

→ 맞물린 톱니바퀴는 (톱니 수) × (회전수) 가 서로 같다

10.정비례 관계 y = 3x 의 그래프 위의 점 중 x좌표가 −5인 점의 y좌표는?

응용표 · 톱니바퀴 · 그래프와 넓이0 / 10

🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.

1.x와 y가 반비례할 때, 다음 표의 a, b, c, d 에 대하여 a + b + c + d 의 값은?
| x | a | ¹⁄₂ | 1 | 4 | d |
| y | −2 | b | c | 6 | 3 |

→ x = 4, y = 6 인 칸에서 xy 의 값(일정한 수)을 먼저 구할 것

2.다음 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. y = ax (a ≠ 0) 의 그래프는 원점을 지나는 직선이다
ㄴ. 좌표축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다
ㄷ. x축 위의 점의 x좌표는 0이다
ㄹ. y = ^x⁄₂ 의 그래프는 반비례 관계를 나타낸다

3.톱니가 각각 24개, 36개인 두 톱니바퀴 A, B가 서로 맞물려 돌고 있다. B가 10번 회전하는 동안 A는 몇 번 회전하는가?

4.y는 x에 반비례하고 x = 2일 때 y = 3이다. 이 그래프에 대한 설명 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. 점 (−1, 6) 을 지난다 ㄴ. 원점을 지나는 직선이다
ㄷ. 제2사분면과 제4사분면을 지난다
ㄹ. x > 0 일 때, x의 값이 커지면 y의 값은 작아진다
ㅁ. x < 0 일 때, x의 값이 커지면 y의 값은 작아진다

→ 먼저 관계식을 구하고, ㅁ은 x = −6 과 x = −1 을 넣어 비교해 볼 것

5.반비례 관계 y = ^a⁄_x 의 그래프가 점 (−6, 4) 를 지날 때, 이 그래프 위의 점 중 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점은 모두 몇 개인가?

→ xy 가 일정하므로 x 는 그 수의 약수여야 한다. 음의 약수도 잊지 말 것

6.두 정비례 관계 y = 2x, y = −¹⁄₃x 의 그래프가 다음 그림과 같이 x좌표가 6인 점 A, B 를 각각 지날 때, 삼각형 AOB 의 넓이는?

→ 선분 AB 를 밑변으로 보면 높이는 점 O 에서 AB 까지의 거리다

7.정비례 관계 y = ax 의 그래프와 반비례 관계 y = −⁸⁄_x 의 그래프가 x좌표가 2인 점에서 만날 때, 상수 a 의 값은?

→ 반비례 식에 x = 2 를 넣어 만나는 점의 좌표를 먼저 구한다

8.y = ax 의 그래프와 y = ^b⁄_x 의 그래프가 모두 점 (3, 2) 를 지날 때, ab 의 값은?

9.어떤 일을 하는 데 필요한 사람 수와 걸리는 시간은 반비례한다. 6명이 하면 10일이 걸리는 일을 5일 만에 끝내려면 몇 명이 필요한가?

10.다음 그림에서 두 점 A, C 는 각각 정비례 관계 y = 3x, y = ¹⁄₃x 의 그래프 위의 점이고, 사각형 ABCD 는 한 변의 길이가 4인 정사각형이다. 점 C 의 좌표는? (단, x ≥ 0 이고 두 점 A, B 의 x좌표는 같다. 예: 6,2 처럼 입력)

→ A의 x좌표를 t 로 놓으면 A(t, 3t), C(t + 4, 3t − 4) 다

심화킬러 — 정수 좌표 · 넓이 · 일정한 곱0 / 10

🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.

🔮 이 세트의 핵심 — 정비례는 비율, 반비례는 곱이 일정하다

두 관계의 성질을 한 줄로 줄이면 이렇습니다. 정비례 y = ax 는 ^y⁄_x 가 항상 a, 반비례 y = ^a⁄_x 는 xy 가 항상 a. 킬러 문제는 대부분 이 "일정한 값"을 찾는 데서 풀립니다 — 톱니바퀴는 (톱니 수)×(회전수)가, 일감은 (사람 수)×(시간)이 일정하고, 반비례 그래프 위 점으로 만든 직사각형의 넓이도 항상 |a| 로 일정하죠. 좌표에 정수 조건이 붙으면 약수 문제가 되고, 음의 약수를 빠뜨리는 실수가 가장 많습니다.

🧩 준비 예제 — 두 그래프가 같은 점을 지날 때

정비례 관계 y = ax 와 반비례 관계 y = ^b⁄_x 의 그래프가 모두 점 (3, 6) 을 지날 때, a + b 의 값은?

STEP 1
y = ax 에 x = 3, y = 6 대입 : 6 = 3a → a = 2

STEP 2
y = ^b⁄_x 에 x = 3, y = 6 대입 : 6 = ^b⁄₃ → b = 18

STEP 3
a + b = 2 + 18

정답
= 20 — "지난다"는 조건은 좌표를 그대로 대입하라는 뜻이다

🧩 본 유형 — 정수 좌표점 세기 (아래 5번 유형)

반비례 관계 y = ^a⁄_x 의 그래프가 점 (2, −6) 을 지날 때, 그래프 위의 점 중 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점은 몇 개인가?

STEP 1
xy 가 일정하므로 a = 2 × (−6) = −12. 즉 xy = −12

STEP 2
x, y 가 모두 정수 → x 는 12의 약수여야 한다 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 → 6개

STEP 3
x 는 음수도 될 수 있다(−1, −2, …, −12) → 6개 더

정답
6 + 6 = 12개 — 음의 약수를 빠뜨리는 것이 이 유형의 최다 실수다

1.정비례 관계 y = ax 의 그래프와 반비례 관계 y = ⁵⁄_x 의 그래프가 점 A 에서 만난다. 점 A 의 x좌표가 2, 점 B 의 x좌표가 5일 때, 삼각형 OAB 의 넓이는? (기약분수)

→ 두 점의 좌표를 먼저 확정한 뒤, 축에 평행한 변이 없으므로 직사각형으로 감싸 빼낼 것

2.반비례 관계 y = ^a⁄_x 의 그래프 위의 점 P 에서 x축, y축에 각각 수선을 그어 만든 직사각형(원점과 점 P 를 마주 보는 꼭짓점으로 하는)의 넓이는 P 를 어디에 잡아도 항상 일정하다. 이 그래프가 점 (3, 4) 를 지날 때 그 넓이는?

→ 직사각형의 넓이는 |x| × |y| 인데, 반비례에서 xy 는 항상 일정하다

3.두 점 A(2, 6), B(a, 3) 을 지나는 반비례 관계의 그래프가 있다. 정비례 관계 y = kx 의 그래프가 선분 AB 를 지날 때, 가능한 k 중 가장 큰 값과 가장 작은 값의 합은? (기약분수)

→ y = kx 가 점 A 를 지날 때와 점 B 를 지날 때가 각각 범위의 끝이 된다

4.톱니가 각각 20개, 30개, x개인 세 톱니바퀴 A, B, C 가 차례로 맞물려 돌아간다. A가 6번 회전하는 동안 C가 4번 회전한다면 C 의 톱니 수 x 는?

→ 가운데 톱니바퀴 B 의 톱니 수는 답에 필요하지 않다

5.반비례 관계 y = ^a⁄_x 의 그래프가 점 (−2, 6) 을 지난다. 이 그래프 위의 점 중 x좌표와 y좌표가 모두 정수이고 제2사분면에 있는 점은 몇 개인가?

→ a 의 부호를 보면 그래프가 어느 사분면을 지나는지 먼저 알 수 있다

6.정비례 관계 y = ax 와 반비례 관계 y = ^b⁄_x 의 그래프가 점 (2, 6) 에서 만난다. 두 그래프가 만나는 또 다른 점의 좌표는? (예: -2,-6 처럼 입력)

→ 두 그래프는 원점에 대하여 대칭인 두 점에서 만난다

7.반비례 관계 y = ²⁴⁄_x 의 그래프 위의 점 P(a, b) 에 대하여 a, b 가 모두 자연수일 때, a + b 의 최솟값은?

→ ab = 24 를 만족하는 자연수 쌍을 모두 나열해 합을 비교할 것

8.정비례 관계 y = ³⁄₂x 의 그래프 위의 점 A(제1사분면)에서 x축에 수선을 내린 발을 H 라 하자. 삼각형 OAH 의 넓이가 27 일 때, 점 A 의 x좌표는?

→ A의 x좌표를 t 로 놓으면 A(t, ³⁄₂t), H(t, 0) 이다

9.맞물려 도는 두 톱니바퀴 A, B 에서 A 의 톱니 수는 B 보다 8개 많고, A가 3번 도는 동안 B는 5번 돈다. A 의 톱니 수는?

→ B 의 톱니 수를 x 로 놓으면 A 는 x + 8 이다

10.반비례 관계 y = ^a⁄_x 의 그래프와 정비례 관계 y = 2x 의 그래프가 제1사분면에서 만나는 점의 x좌표가 3일 때, a 의 값과 그 교점의 y좌표의 합은?

📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)

아직 틀린 문제가 없어요.