좌표평면과 그래프 강의노트 PRO

1수직선 위의 점

그림을 그리는 이유는 두 가지예요. 식을 더 쉽게 이해하기 위해서, 그리고 그림을 통해 새로운 성질을 발견하기 위해서죠.

🔑 원점(原點)이란?

수직선 위의 기준점. 수 0을 대응시키고 O(0)이라 씁니다.

원점 기준 오른쪽으로 갈수록 커지고 왼쪽으로 갈수록 작아져요. 점 A가 4에 대응하면 A(4).

💡 선분의 길이

길이는 음수가 될 수 없으니 오른쪽 점 − 왼쪽 점. 위 그림: 3−(−6)=9

Q. 수직선 위의 두 점 A(-6), B(3) 사이의 선분의 길이는?

Q. 수직선에서 기준이 되는 점을 무엇이라 하나요? (한글로)

2좌표평면 만들기

수직선 하나만으로는 표현할 수 있는 게 제한적이에요(1차원). 두 수직선을 수직으로 교차시켜 훨씬 많은 걸 표현합니다.

🔑 좌표축 이름

가로 수직선 = x축, 세로 수직선 = y축. 두 축이 만나는 점 = 원점 O(0,0).

두 좌표축으로 만든 평면 = 좌표평면.

🏆 순서쌍 — 순서가 생명!

점의 위치를 (x좌표, y좌표)로 나타낸 것 = 순서쌍. 항상 x좌표를 먼저 씁니다.

(3,5)와 (5,3)은 완전히 다른 점!

Q. 좌표평면에서 가로축의 이름은? (영문 소문자 한 글자)

Q. 순서쌍을 쓸 때 먼저 쓰는 좌표는 무엇인가요?

3순서쌍과 좌표 읽기

🔑 좌표 읽는 법

점에서 x축, y축으로 각각 수선을 내려서 수선의 발이 어떤 수에 대응하는지 확인.

🚨 축 위의 점 — 가장 많이 틀리는 포인트!

위치	좌표 특징
x축 위	y좌표 = 0 (예: D(4,0))
y축 위	x좌표 = 0 (예: C(0,-2))

Q. 점 D(4, 0)은 x축 위에 있다. y좌표는?

Q. 점 C(0, -2)는 y축 위에 있다. x좌표는?

4사분면

🔑 사분면(四分面)이란?

두 좌표축이 평면을 네 부분으로 나눈 것. 제1사분면부터 시계 반대 방향으로 2,3,4사분면.

제1사분면

(+, +)

제2사분면

(−, +)

제3사분면

(−, −)

제4사분면

(+, −)

🚨 축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다!

좌표 중 하나라도 0이면 사분면에 포함되지 않아요. 0은 양수도 음수도 아니니까요.

Q. 점 (-3, 5)는 제 몇 사분면에 있나요? (숫자만)

Q. 축 위에 있는 점은 사분면에 속하나요? (예 / 아니오)

5대칭이동

어떤 점을 축에 대해 거울처럼 반사시키는 것이 대칭이동이에요.

🔑 대칭이동 3규칙

대칭 종류	바뀌는 것	예시 — (4,-6)
x축 대칭	y좌표 부호	(4, 6)
y축 대칭	x좌표 부호	(-4, -6)
원점 대칭	x, y 모두 부호	(-4, 6)

🔮 알아두면 편한 것

x축 대칭 + y축 대칭을 연달아 하면 원점 대칭과 결과가 같아요!

Q. 점 (4, -6)을 x축에 대해 대칭이동한 점의 좌표는? (예: 4,6)

Q. 점 (4, -6)을 원점에 대해 대칭이동한 점의 좌표는?

6변수와 그래프

🔑 변수 vs 상수

변수: x, y처럼 값이 계속 바뀌는 수

상수: 3, −7처럼 고정된 값

좌표평면 위에 점을 찍을 때 x, y는 아무렇게나 바뀌는 게 아니라 관계식(규칙)에 따라 움직여요.

📐 그래프란?

두 변수 x, y의 관계식을
좌표평면 위에 그린 것

Q. x, y처럼 값이 계속 바뀌는 수를 무엇이라 하나요?

Q. 두 변수의 관계식을 좌표평면 위에 그린 것을 무엇이라 하나요?

7그래프 해석

그림을 그릴 수 있으면 반대로 그려진 그래프를 해석할 수도 있어야 해요.

예제 — 현주는 집에서 2km 떨어진 학교까지 갔다. x=시간(분), y=거리(km)

① 학교 도착: y=2가 되는 지점 → x=25분

② 20분 시점: x=20일 때 y=1.5km

③ 평평한 구간(변화 없음) = 멈춰 있었다는 뜻

🏆 그래프 해석 체크리스트

그래프 모양	의미
오른쪽 위로 증가	값이 점점 커진다
평평함(수평)	변화 없음(정지)
오른쪽 아래로 감소	값이 점점 작아진다

Q. 현주가 25분 만에 학교(2km)에 도착했다. y=2가 되는 x값은? (분)

Q. 그래프가 평평한 구간은 무엇을 의미하나요? (한글 2글자)

📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)

아직 틀린 문제가 없어요. 퀴즈를 풀어보세요!

🔓 연습문제 잠금 해제

아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.

✓본문 퀴즈 전부 채점하기 (0 / 14)
✓오답노트 확인하기 (위에서 '오답 정리 완료' 누르기)

✏️ 연습문제

기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열려요. 음수는 −5 처럼, 좌표는 4,6 형태로 입력하세요. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.

기본좌표 · 사분면 · 대칭이동0 / 10

1.두 순서쌍 (4 − a, 5) 와 (2, 2b − 7) 이 서로 같을 때, a + b 의 값은?

→ 순서쌍이 같다 = x끼리 같고 y끼리 같다

2.점 (−3, 7) 은 제 몇 사분면 위의 점인가? (숫자만)

3.점 (5, −2) 를 x축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는? (예: 5,2 처럼 입력)

4.점 (5, −2) 를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는? (예: -5,2 처럼 입력)

→ 원점 대칭은 x좌표·y좌표의 부호가 둘 다 바뀐다

5.다음 설명 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. 점 (−2, 4)는 제2사분면 위에 있다
ㄴ. x좌표가 양수인 점은 제1사분면과 제4사분면 위에 있다
ㄷ. 점 (3, 0)은 어느 사분면에도 속하지 않는다
ㄹ. y축 위의 모든 점은 x좌표가 0이다 ㅁ. 점 (−1, −3)은 제3사분면 위에 있다

→ ㄴ은 (3, 0) 같은 점을 떠올려 볼 것

6.점 (2a − 1, 3) 이 y축 위에 있을 때, a 의 값은? (기약분수)

→ y축 위의 점은 x좌표가 0이다

7.점 (4, b + 2) 가 x축 위에 있을 때, b 의 값은?

8.두 점 A(−3, 2), B(5, 2) 사이의 거리는?

→ y좌표가 같으므로 x좌표의 차를 구하면 된다

9.세 점 A(−2, 0), B(4, 0), C(1, 5) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는?

10.점 P(a, b) 가 제3사분면 위의 점일 때, 점 Q(−a, b) 는 제 몇 사분면 위의 점인가? (숫자만)

응용축 위의 점 · 넓이 · 그래프 해석0 / 10

🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.

1.점 ( 2a, ^a⁄₄ + 1 ) 이 x축 위의 점이고, 점 (b − 2, 3b + 6) 이 y축 위의 점일 때, a + b 의 값은?

→ x축 위면 y좌표가 0, y축 위면 x좌표가 0

2.점 P(a, b) 가 제2사분면 위의 점일 때, 다음 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. M(0, b) : y축 위의 점 ㄴ. Q(−a, b) : 제1사분면 위의 점
ㄷ. R(a², b) : 제2사분면 위의 점 ㄹ. S(a, −b) : 제3사분면 위의 점
ㅁ. T(b − a, ab) : 제4사분면 위의 점

→ a² 은 a 가 음수여도 양수가 된다

3.a − b < 0, ab < 0 일 때, 다음 중 제2사분면 위의 점은 몇 개인가?
ㄱ. (a, b) ㄴ. (b, a) ㄷ. (a − b, a) ㄹ. (−b, −a) ㅁ. (−a, −b)

→ 두 조건에서 a 와 b 의 부호를 먼저 확정할 것

4.세 점 A(2, 3), B(−2, 1), C(5, −3) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는?

→ 축 위에 변이 없으면 직사각형으로 감싸고 바깥 직각삼각형 3개를 빼면 된다

5.좌표평면 위의 세 점 A(−1, −2), B(2, −2), C(4, 5) 에 대하여, 선분 AB 와 선분 BC 를 두 변으로 하는 평행사변형 ABCD 에서 점 D 의 좌표는? (예: 1,5 처럼 입력)

→ 평행사변형에서 A에서 B로 간 만큼 D에서 C로 간다

6.점 A( 2a, ^a−1⁄₃ ) 는 x축 위의 점이고, 점 B(b − 4, b + 6) 은 y축 위의 점일 때, 두 점 A, B 와 원점 O 로 둘러싸인 삼각형 AOB 의 넓이는?

→ A는 x축 위, B는 y축 위이므로 직각을 낀 두 변의 길이가 바로 밑변과 높이다

7.다음은 열기구가 지면에서 출발하여 위아래로 움직일 때, 출발한 지 x시간 후의 지면으로부터의 높이 y km 를 나타낸 그래프이다. 지면에 다시 내려올 때까지 열기구가 이동한 거리는? (km, 단 열기구는 수직 방향으로만 움직인다)

→ 올라간 거리와 내려온 거리를 모두 더한다. 최종 높이가 아니다

8.점 (−4, 3) 을 y축에 대하여 대칭이동한 점을 P, 원점에 대하여 대칭이동한 점을 Q 라 할 때, 두 점 P, Q 사이의 거리는?

9.다음은 어느 날의 기온 변화를 나타낸 그래프이다. 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. 최고 기온과 최저 기온의 차는 20℃이다
ㄴ. 4시부터 14시까지 기온이 계속 올라간다
ㄷ. 기온이 20℃ 이상인 시간대가 있다
ㄹ. 0시의 기온이 22시의 기온보다 높다

10.준서와 성근이가 가위바위보를 하여 좌표평면 위의 점 A(2, 0) 을 다음 규칙으로 이동시킨다. 5번의 가위바위보에서 준서가 3번, 성근이가 2번 이겼을 때 점 A 가 이동된 점의 좌표는? (예: 1,4 처럼 입력)
· 준서가 이기면 x축 방향으로 1, y축 방향으로 2 만큼 이동
· 성근이가 이기면 x축 방향으로 −2, y축 방향으로 −1 만큼 이동

심화킬러 — 부호 추론 · 넓이 역산 · 그래프0 / 10

🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.

🔮 이 세트의 핵심 — 좌표는 부호와 길이 두 가지로 읽는다

좌표평면 킬러는 크게 셋입니다. ① 사분면 문제 — 문자의 부호만 확정하면 끝나므로, 조건에서 부호부터 뽑아내고 필요하면 구체적인 수를 하나 대입해 확인하세요. ② 넓이 문제 — 축에 평행한 변을 밑변으로 잡고, 없으면 직사각형으로 감싸 빼냅니다. ③ 그래프 해석 — 축이 무엇을 나타내는지부터 확인하세요. 속력 그래프에서 "높이"를 거리로 읽는 실수가 가장 많습니다.

🧩 준비 예제 — 좌표평면 위 삼각형의 넓이

세 점 A(−3, 0), B(5, 0), C(2, 6) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는?

STEP 1
A, B가 모두 x축 위에 있으므로 AB를 밑변으로 삼는다. 밑변 = 5 − (−3) = 8

STEP 2
높이는 C에서 x축까지의 거리 = C의 y좌표 = 6

STEP 3
(밑변 × 높이) ÷ 2 = (8 × 6) ÷ 2

정답
= 24 — 축 위에 변이 놓이면 좌표에서 길이를 바로 읽을 수 있다

🧩 본 유형 — 넓이가 주어지고 좌표를 거꾸로 찾기 (아래 3·8번 유형)

세 점 A(−1, 2), B(5, 2), C(2, k) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 18 일 때, 가능한 k 를 모두 구하면?

STEP 1
A, B의 y좌표가 같으므로 AB가 밑변. 밑변 = 5 − (−1) = 6

STEP 2
높이는 C에서 직선 AB(y = 2)까지의 거리 = |k − 2| — 절댓값인 것이 핵심

STEP 3
(6 × |k − 2|) ÷ 2 = 18 → 3|k − 2| = 18 → |k − 2| = 6

정답
k − 2 = 6 또는 k − 2 = −6 → k = 8 또는 k = −4 — C가 AB의 위·아래 두 곳에 놓일 수 있으므로 답이 두 개다

1.점 P(a, b) 가 제4사분면 위의 점이고 |a| < |b| 일 때, 점 Q(a + b, ab) 는 제 몇 사분면 위의 점인가? (숫자만)

→ 제4사분면이면 a > 0, b < 0. 절댓값 조건이 a + b 의 부호를 정해 준다

2.세 점 A(−1, −2), B(2, −2), C(4, 5) 와 함께 평행사변형을 이루는 점 D 는 모두 3가지가 있다. 그 세 점의 x좌표의 합은?

→ 어느 변이 대각선이 되느냐에 따라 세 경우가 나온다

3.세 점 A(−3, 1), B(5, 1), C(1, k) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 20 일 때, 가능한 모든 k 의 값의 합은?

→ C가 직선 AB의 위쪽·아래쪽 두 경우가 모두 가능하다

4.점 A(3a − 6, a + 2) 가 x축 위에 있고, 점 B(2b + 8, b − 1) 이 y축 위에 있을 때, 삼각형 AOB 의 넓이는? (O는 원점)

→ a, b 를 먼저 구해 두 점의 좌표를 확정할 것

5.다음은 원 모양 대관람차의 한 칸이 지면으로부터 갖는 높이 y m 를 시간 x분에 따라 나타낸 그래프이다. 이 관람차의 지름(m) 과 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간(분) 의 합은?

→ 지름 = (가장 높은 높이) − (가장 낮은 높이). 한 바퀴 = 같은 높이로 처음 되돌아올 때까지

6.점 (3, −5) 를 x축에 대하여 대칭이동한 뒤, 그 점을 원점에 대하여 대칭이동하고, 다시 y축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는? (예: 3,-5 처럼 입력)

→ 한 번에 하나씩 차근차근. 결과가 뜻밖일 수 있다

7.x좌표와 y좌표가 모두 정수이고 |x| + |y| = 3 을 만족하는 점은 모두 몇 개인가?

→ |x| 가 0, 1, 2, 3 인 경우로 나누어 세되 부호도 함께 셀 것

8.세 점 A(−2, 3), B(4, 3), C(1, k) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 15 이고 k < 0 일 때, 점 (k, k + 3) 은 제 몇 사분면 위의 점인가? (숫자만)

→ k 를 두 개 구한 뒤 조건에 맞는 것만 골라 쓸 것

9.다음은 승마 체험장에서 손님이 x분 동안 말을 탈 때 말의 속력 y m/min 를 나타낸 그래프이다. 이 그래프에서 알 수 있는 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. 말의 최고 속력은 분속 400m이다 ㄴ. 말을 타는 총 시간은 30분이다
ㄷ. 말이 일정한 속력으로 움직이는 시간은 10분이다
ㄹ. 출발 후 처음 5분보다 그다음 5분에 속력이 더 빠르게 증가한다
ㅁ. 말이 일정한 속력으로 움직인 거리는 400m이다

→ ㅁ은 속력과 거리를 혼동하게 만드는 함정이다

10.두 순서쌍 (2a − 4, 3) 과 (6, b + 5) 가 서로 같을 때, 점 (a − b, ab) 는 제 몇 사분면 위의 점인가? (숫자만)

📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)

아직 틀린 문제가 없어요.