1활용 문제 해결 5단계
일차방정식 → 일차부등식 → 연립방정식 → 함수 → 이차방정식까지, 앞으로 나오는 모든 활용 챕터는 절차가 똑같아요. 도구만 바뀔 뿐입니다.
🔑 문장제 문제란?
구체적인 상황을 글로 주고, 방정식(부등식·함수)으로 바꿔 해결하는 문제.
1
상황 파악
무슨 상황인지, 변수가 무엇인지 확인
2
미지수 설정 ⭐
모르는 것을 x로 둔다 (보통 최종적으로 구하려는 값)
3
관계식 세우기
상황에 맞는 방정식을 만든다
4
방정식 풀기
이항·등식의 성질로 근을 구한다
5
검증하기 ⭐
답이 문제 상황에 맞는지 반드시 확인!
🚨 검증을 빼먹으면 안 되는 이유
"몇 명?"이라고 물었는데 x = 2/3(명)이 나왔다면 답이 될 수 없어요. 방정식을 풀었다고 끝이 아니라 상황에 맞는지 꼭 확인!
Q. 문장제 문제를 풀 때 가장 많이 놓치는 마지막 단계는 무엇인가요? (한글로)
Q. 미지수는 보통 문제 속 변수 중 무엇을 나타내는 값으로 설정하나요?
2수에 관한 문제
가장 기본적인 유형. 글로 된 조건을 정확히 식으로 번역할 수 있는지가 핵심이에요.
예제 — 어떤 수에 4를 더한 수는 어떤 수의 2배와 같다
미지수 설정: 어떤 수 = x → 관계식: x + 4 = 2x
풀이: x = 4 → 검증: 4+4=8, 4×2=8 ✅
💡 번역 표현 정리
| 말 | 식 |
|---|---|
| 어떤 수에 4를 더한 수 | x + 4 |
| 어떤 수의 2배 | 2x |
Q. 어떤 수에 4를 더한 수는 어떤 수의 2배와 같다. 어떤 수는?
Q. 어떤 수의 3배에서 2를 뺀 값이 10이다. 어떤 수는?
3도형에 관한 문제
🔑 직사각형의 둘레
둘레 = 2 × (가로 + 세로)
예제 — 가로 8cm, 세로 x cm, 둘레 28cm
관계식: 2(8 + x) = 28 → 8 + x = 14 → x = 6
검증: 2×(8+6)=28 ✅
Q. 가로 8cm, 세로 x cm인 직사각형의 둘레가 28cm일 때, x는?
Q. 가로 10cm, 세로 x cm인 직사각형의 둘레가 36cm일 때, x는?
4과부족 문제
🔑 미지수는 보통 '나누어 받는 쪽'
사람 수, 학생 수처럼 나누어 받는 대상의 개수를 x로 두는 경우가 많아요.
예제 — 귤 30개를 x명에게 4개씩 나눠주었더니 2개가 남았다
관계식: 4x + 2 = 30 → x = 7
🏆 과부족 관계식 패턴
(나눠준 개수) + (남은 개수) = (전체 개수) 또는 (나눠준 개수) − (부족한 개수) = (전체 개수)
Q. 귤 30개를 x명에게 4개씩 나눠주었더니 2개가 남았다. x는?
Q. 사탕 50개를 x명에게 6개씩 나눠주었더니 2개가 남았다. x는?
5판매 · 구입 문제
🔑 세 가지 수치를 확인하자
① 개수 ② 단가 ③ 총액 — 모르는 것을 미지수로!
예제 — 900원 볼펜과 1500원 색연필을 합해서 8개 사고 9600원 지불. 볼펜 x개라면?
관계식: 900x + 1500(8 − x) = 9600
풀이: −600x = −2400 → x = 4 (검증: 900×4+1500×4=9600 ✅)
🚨 "합해서 몇 개"를 놓치지 말자
전체 개수가 주어지면 나머지 하나의 개수는 항상 (전체 개수) − x.
Q. 900원 볼펜과 1500원 색연필을 합해서 8개 사고 9600원을 지불했다. 볼펜을 x개 샀다면 x는?
Q. 위 문제에서 볼펜이 4개라면, 색연필은 몇 개인가요?
→ 전체 8개 − 볼펜 개수
6거리 · 속력 · 시간
📐 기본 공식
거리 = 속력 × 시간
💡 단위 안에 공식이 있다
km/h의 '/'(퍼)는 나눗셈! 거리÷시간=속력이 단위에 이미 드러나 있어요.
시간 = 거리 ÷ 속력, 속력 = 거리 ÷ 시간
🚨 단위 통일은 필수!
시속 80km, 이동 시간 "30분"이면 30분을 0.5시간으로 바꿔야 계산 가능!
예제 — A,B 왕복, 갈 때 시속 4km, 올 때 시속 6km, 총 5시간. 거리 x km는?
'왕복'이므로 갈 때 거리 = 올 때 거리 = x. 시간: x/4 + x/6 = 5
양변에 12 곱함: 3x + 2x = 60 → x = 12
Q. A,B 두 지점을 왕복하는데 갈 때 시속 4km, 올 때 시속 6km로 걸어 총 5시간 걸렸다. 거리 x km는?
Q. 속력의 단위 km/h 에서 '/'는 무슨 연산을 뜻하나요? (한글로)
7농도 문제
💡 용질 · 용매 · 용액
| 용어 | 뜻 | 예시 |
|---|---|---|
| 용질 | 녹는 물질 | 소금 |
| 용매 | 녹이는 액체 | 물 |
| 용액 | 용질+용매 | 소금물 |
📐 농도 공식
농도(%) = (용질 ÷ 용액) × 100
🔑 '소금의 양' 추적이 핵심!
거꾸로 쓰면: 용질 = 용액 × (농도 ÷ 100). 이 식으로 소금의 양·소금물의 양을 계속 추적한다.
예제 — 5% 소금물 400g에 소금 x g을 더 넣어 24% 소금물을 만들려면?
기존 소금 20g, 소금물도 (400+x)g으로 늘어남
관계식: (20 + x) = (400 + x) × 0.24 → x = 100
🏆 시험 킬러 — 소금만 넣어도 용액 양이 변한다!
소금 x를 더 넣으면 소금물도 x만큼 늘어나요. 물 증발 시에는 반대로 소금물 양이 줄어듭니다.
Q. 8% 소금물 250g 속 소금의 양은? (g만 입력)
Q. 5% 소금물 400g에 소금 x g을 더 넣어 24% 소금물을 만들려면 x는?
📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)
아직 틀린 문제가 없어요. 퀴즈를 풀어보세요!
🔓 연습문제 잠금 해제
아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.
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✏️ 연습문제
기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열려요. 음수는 −5 처럼 입력. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.
기본기본 유형 익히기0 / 10
1.어떤 수의 3배에서 4를 뺀 값이 그 수에 8을 더한 값과 같다. 그 수는?
2.연속하는 세 자연수의 합이 72일 때, 가장 큰 수는?
→ 가운데 수를 x 로 놓으면 세 수의 합이 3x 가 된다
3.가로가 세로보다 4cm 긴 직사각형의 둘레가 32cm일 때, 가로의 길이는? (cm)
→ 세로를 x 로 놓고 둘레 = 2(가로 + 세로) 를 세울 것. 묻는 것은 가로다
4.사탕을 학생들에게 5개씩 나누어 주면 3개가 남고, 6개씩 나누어 주면 4개가 부족하다. 학생 수는?
→ 사탕의 총 개수를 두 가지 방법으로 나타내 같다고 놓는다
5.길이가 30cm인 양초에 불을 붙이면 1분에 0.7cm씩 짧아진다. 양초의 길이가 9cm가 되는 것은 불을 붙인 지 몇 분 후인가?
6.둘레의 길이가 1500m인 호수를 두 사람이 같은 지점에서 동시에 출발하여 반대 방향으로 걸었다. 각각 분속 60m, 분속 40m로 걸을 때 처음으로 만나는 것은 몇 분 후인가?
→ 반대 방향이면 두 사람이 걸은 거리의 합이 둘레와 같아진다
7.12% 소금물 250g 속에 들어 있는 소금의 양은? (g)
8.소금 20g이 녹아 있는 8% 소금물의 전체 양은? (g)
→ (소금의 양) = (소금물의 양) × (농도)
9.원가가 8000원인 물건에 25%의 이익을 붙여 정가를 정했다. 정가는? (원)
10.정가가 15000원인 옷을 20% 할인하여 팔았다. 판매 가격은? (원)
응용증감률 · 과부족 · 기차 · 일률0 / 10
🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.
1.어느 중학교의 작년 학생 수는 588명이었고, 올해 남학생 수는 작년에 비하여 4% 감소하여 작년 여학생 수와 같아졌다. 올해 남학생 수는? (명)
→ 작년 남학생을 x 로 놓으면 작년 여학생은 588 − x 다
2.학생들에게 사탕을 나누어 주는데, 한 학생에게 6개씩 주면 5개가 남고, 7개씩 주면 9개가 부족하다. 학생 수는?
→ 사탕 전체를 x 로 놓으면 학생 수는 x−5⁄6 이자 x+9⁄7 다
3.주현이는 집에서 영화관까지 갈 때는 시속 9km로 뛰었고, 영화를 본 뒤 돌아올 때는 시속 3km로 걸었다. 영화 상영 시간이 110분이고 총 소요 시간이 3시간일 때, 집과 영화관 사이의 거리는? (기약분수, km)
→ 이동에 쓴 시간은 3시간에서 상영 시간을 뺀 만큼이다
4.영석이는 소설책을 모두 읽는 데 5일이 걸렸다. 첫째 날 전체의 1⁄3, 둘째 날 전체의 1⁄4, 셋째 날 50쪽, 넷째 날 전체의 1⁄12, 마지막 날 전체의 1⁄6 을 읽었다. 이 소설책의 전체 쪽수는?
→ 분수로 읽은 부분을 모두 더하고, 나머지가 50쪽임을 이용
5.길이가 80cm인 테이프를 길이가 서로 다른 세 개로 나누었다. 중간 것은 가장 짧은 것보다 10cm 길고, 가장 긴 것은 중간 것보다 15cm 길다. 중간 크기 테이프의 길이는? (cm)
6.일정한 속력으로 달리는 기차가 길이 120m인 터널을 완전히 통과하는 데 10초, 길이 210m인 터널을 완전히 통과하는 데 15초가 걸린다. 기차의 속력은? (초속 m)
→ 완전히 통과하려면 (터널 길이 + 기차 길이) 만큼 움직여야 한다
7.석진이는 배점이 4점과 5점으로 구성된 수학 시험에서 5점짜리를 4점짜리 맞힌 개수의 2배보다 2개 더 많이 맞혀 총 80점을 얻었다. 석진이가 맞힌 5점짜리 문항의 개수는?
8.미술관 관람권 6장(어른 3명, 청소년 2명, 어린이 1명)의 값이 모두 60,000원이다. 청소년 요금은 어른 요금보다 3,000원, 어린이 요금은 어른 요금보다 6,000원 저렴할 때 청소년 요금은? (원)
→ 어른 요금을 x 로 놓고 6장의 값을 모두 더할 것
9.김밥 600줄을 마는 데 달인은 2시간, 달인의 동생은 4시간이 걸린다. 두 사람이 함께 김밥 600줄을 마는 데 걸리는 시간은? (분)
→ 두 사람이 1시간에 몇 줄씩 마는지를 먼저 구할 것
10.하민이는 5분에 장미꽃 2송이를, 민혁이는 2분에 1송이를 만든다. 하민이는 12송이, 민혁이는 9송이를 미리 만들어 와서 동시에 만들기 시작했다. 두 사람의 장미꽃 개수가 같아지는 것은 몇 분 후인가?
→ x 분 후 각자의 총 개수를 식으로 쓰고 같다고 놓는다
심화킬러 — 2단 추론 · 단위 함정 · 농도0 / 10
🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.
🔮 이 세트의 핵심 — 그림을 그리거나 표로 정리한 뒤 식을 세운다
활용 킬러는 계산이 어려운 게 아니라 상황을 식으로 옮기는 단계에서 갈립니다. 세 가지만 기억하세요 — ① 단위를 먼저 통일한다(분↔시간, g↔%). ② 같은 양을 두 가지 방법으로 나타내 등식을 만든다(과부족·증감률이 전부 이 구조). ③ 답을 구한 뒤 문제가 무엇을 물었는지 다시 본다 — 의자 개수를 구해 놓고 학생 수를 안 구하는 실수가 가장 많습니다.
🧩 준비 예제 — 소금물 섞기
6% 소금물 200g과 12% 소금물 x g을 섞어서 10% 소금물을 만들려고 한다. x 는?
STEP 1
6% 소금물 200g 속 소금 : 200 × 0.06 = 12g
6% 소금물 200g 속 소금 : 200 × 0.06 = 12g
STEP 2
12% 소금물 x g 속 소금 : 0.12x g. 섞은 후 전체 소금물 : (200 + x)g
12% 소금물 x g 속 소금 : 0.12x g. 섞은 후 전체 소금물 : (200 + x)g
STEP 3
관계식 : 12 + 0.12x = 0.10 × (200 + x) → 12 + 0.12x = 20 + 0.10x
관계식 : 12 + 0.12x = 0.10 × (200 + x) → 12 + 0.12x = 20 + 0.10x
정답
0.02x = 8 → x = 400 (검산 : 소금 12 + 48 = 60g, 전체 600g → 60⁄600 = 10% ✅)
0.02x = 8 → x = 400 (검산 : 소금 12 + 48 = 60g, 전체 600g → 60⁄600 = 10% ✅)
🧩 본 유형 — 과부족의 함정 "마지막 의자에는 4명" (아래 1번 유형)
긴 의자에 6명씩 앉으면 8명이 앉지 못하고, 7명씩 앉으면 빈 의자는 없고 마지막 의자에만 4명이 앉는다. 의자는 몇 개인가?
STEP 1
의자를 x 개라 하면, 6명씩 앉을 때 학생 수 = 6x + 8
의자를 x 개라 하면, 6명씩 앉을 때 학생 수 = 6x + 8
STEP 2
7명씩 앉을 때 — 마지막 의자를 빼고 (x − 1)개에 7명씩, 마지막에 4명 → 학생 수 = 7(x − 1) + 4
7명씩 앉을 때 — 마지막 의자를 빼고 (x − 1)개에 7명씩, 마지막에 4명 → 학생 수 = 7(x − 1) + 4
STEP 3
6x + 8 = 7(x − 1) + 4 = 7x − 3 → x = 11 (의자 11개)
6x + 8 = 7(x − 1) + 4 = 7x − 3 → x = 11 (의자 11개)
정답
학생 수 = 6 × 11 + 8 = 74명 (검산 : 7 × 10 + 4 = 74 ✅) — "몇 명이 앉지 못한다"와 "마지막 의자에 몇 명"은 세는 방식이 다르다
학생 수 = 6 × 11 + 8 = 74명 (검산 : 7 × 10 + 4 = 74 ✅) — "몇 명이 앉지 못한다"와 "마지막 의자에 몇 명"은 세는 방식이 다르다
1.음악실의 긴 의자에 학생들이 앉는데, 한 의자에 6명씩 앉으면 빈 의자 없이 모두 앉고도 8명이 앉지 못하고, 한 의자에 7명씩 앉으면 빈 의자는 없고 마지막 의자에는 4명만 앉는다. 이때 학생 수는? (명)
→ 위 본 유형 풀이 참고. 의자 개수를 구한 뒤 학생 수까지 가야 한다
2.집에서 공원까지 걸어서 시속 3km로 가면 자전거를 타고 시속 18km로 가는 것보다 40분이 더 걸린다. 이 거리를 걸어서 왕복하면 몇 분이 걸리는가?
→ 먼저 거리를 구할 것. 시간 단위를 시간과 분 중 하나로 통일해야 한다
3.D중학교의 작년 총 학생 수는 800명이었다. 올해 남학생 수는 작년보다 10% 증가하고 여학생 수는 10% 감소하였다. 내년에는 올해보다 남학생이 10% 감소하고 여학생은 변동이 없을 예정이다. 내년 총 학생 수가 작년보다 35명 감소한다고 할 때, 내년 여학생 수는? (명)
→ 작년 남학생을 x 로 놓고 올해 → 내년 순서로 차근차근 나타낼 것
4.일정한 속력으로 달리는 기차가 길이 440m인 터널을 완전히 통과하는 데 36초가 걸리고, 길이 120m인 터널을 통과할 때는 6초 동안 기차가 보이지 않았다. 이 기차의 길이는? (m)
→ "보이지 않는다"는 것은 기차 전체가 터널 안에 있다는 뜻 — 이때 움직인 거리는 (터널 길이 − 기차 길이) 다
5.달력에서 어떤 날짜를 중심으로 바로 위쪽을 a, 왼쪽을 b, 아래쪽을 c, 오른쪽을 d 라 하자. 네 날짜 a, b, c, d 의 합이 72일 때, a + d 의 값은?
→ 가운데 날짜를 x 로 놓으면 위·아래는 7 차이, 좌·우는 1 차이다
6.두 자리 자연수가 있다. 십의 자리 숫자는 일의 자리 숫자의 2배이고, 십의 자리와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 처음 수보다 27만큼 작다. 처음 수는?
→ 십의 자리 숫자가 a, 일의 자리 숫자가 b 인 두 자리 수는 10a + b 다
7.등산 코스는 학교에서 정자까지 총 5km이다. 학교에서 쉼터까지는 시속 3km로 걷고, 쉼터에서 20분을 쉰 뒤, 쉼터에서 정자까지는 시속 2km로 걸어서 2시간 30분 만에 도착하였다. 쉼터에서 정자까지의 거리는? (km)
→ 쉰 시간도 전체 시간에 포함된다. 학교~쉼터를 x 로 놓으면 쉼터~정자는 5 − x
8.어떤 일을 A가 혼자 하면 12일, B가 혼자 하면 18일이 걸린다. 두 사람이 함께 4일 동안 일한 뒤, 나머지를 B가 혼자 하여 끝냈다. B가 혼자 일한 날수는?
→ 전체 일의 양을 1로 놓고 하루에 하는 일의 양을 분수로 나타낼 것
9.8% 소금물 200g과 15% 소금물을 섞은 다음, 물 100g을 더 넣었더니 10% 소금물이 되었다. 섞은 15% 소금물의 양은? (g)
→ 물을 더 넣어도 소금의 양은 변하지 않는다. 전체 양만 늘어난다
10.12% 소금물 400g에서 물 100g을 증발시킨 뒤 소금을 더 넣었더니 20% 소금물이 되었다. 더 넣은 소금의 양은? (g)
→ 소금을 넣으면 소금의 양과 전체 양이 둘 다 늘어난다
📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)
아직 틀린 문제가 없어요.