1왜 문자를 쓸까?
이 단원은 초등수학과 중등수학을 가르는 분기점이에요.
🏫 초등수학
아는 값으로 계산 → 수(숫자)가 중심
🏫 중등수학
모르는 값을 문자로 두고 식 먼저 → 식(구조)이 중심
🛒 과자 예시
(과자 1개 가격 a) × 5개 = 5a (원)
나중에 a = 800을 대입 → 5 × 800 = 4,000원
🔑 중등수학의 핵심
구조 파악 → 미지수(문자) 도입 → 식 완성. 계산은 기계가, 식 세우기는 사람이!
Q. 과자 1개 a원, 5개의 값은 5a원. a = 800이면 얼마? (원, 숫자만)
2곱셈 기호 생략
🔑 곱셈 생략 4규칙
①
숫자 먼저
숫자를 문자 앞
②
알파벳 순
a, b, c…
③
붙여 쓰기
× 지우고 붙임
④
거듭제곱
반복 → 지수
| 원래 식 | 생략 후 | 포인트 |
|---|---|---|
| 3 × a × b | 3ab | 숫자 앞·알파벳 순 |
| −2 × a × x × x × (−3) | 6ax2 | 숫자끼리 먼저 (−2)(−3)=6 |
| −1 × b | −b | 1만 생략, 부호는 남음 |
🚨 0.1 × x = 0.x ❌
계수가 정확히 1·−1일 때만 1 생략. 0.1 × x = 0.1x (0.1의 1은 소수 자릿수예요!)
Q. 0.1 × x 를 0.x 로 써도 되나요? (예 / 아니오)
Q. −b 의 계수는? (−1 × b 에서)
3나눗셈 기호 생략
🔑 나눗셈 = 분수
앞(나누어지는 수)=분자, 뒤(나누는 수)=분모. a ÷ b = a/b.
| 원래 식 | 분수 표현 |
|---|---|
| 2 ÷ x | 2/x |
| x ÷ 4 | x/4 = (1/4)x |
🚨 가장 많이 틀리는 함정
x ÷ 4y 는 4y가 한 뭉치라 x/(4y). (4×y를 먼저 한 것!)
Q. x ÷ 4y 에서 분모는 4y 전체가 맞나요? (예 / 아니오)
4식의 값 — 대입
🔑 대입(代入)
문자에 특정 수를 넣는 것. 음수는 괄호로 감싸 대입!
예제 — a=2, b=−3일 때 5a − 3b
5×2 − 3×(−3) = 10 + 9 = 19
🚨 5a ≠ 52
5a는 5×a. a=2면 5×2=10 (숫자 52 아님!)
Q. x = 2일 때 3x − 9 의 값은?
Q. a = 2, b = −3 일 때 5a − 3b 의 값은?
5항 · 계수 · 다항식
🔑 항·계수
항 = 수·문자의 곱으로 된 식. 계수 = 문자에 곱해진 수.
| 항 | 계수 | 주의 |
|---|---|---|
| −3b | −3 | 자기 앞 부호는 자기 것! |
| −b | −1 | 1 생략, 부호 남음 |
| −x/3 | −1/3 | 문자 밀어내고 남은 수 |
🚨 자기 앞 부호는 자기 것!
−5x + 3y 에서 x의 계수는 −5 (마이너스 포함).
🔮 다항식·단항식
항을 덧셈으로 묶은 식 = 다항식. 항이 1개면 단항식(다항식에도 포함).
Q. −5x + 3y − 2 에서 x 의 계수는?
Q. 2a + 3b 의 항의 개수는?
6차수와 일차식
🔑 차수
한 항에서 문자가 곱해진 개수. 식의 차수 = 가장 높은 항의 차수.
| 항 | 문자 개수 | 차수 |
|---|---|---|
| 3x | 1 | 일차 |
| −5ab | 2 (종류 달라도) | 이차 |
| 2x2 | 2 | 이차 |
🚨 −5ab는 이차항!
지수가 안 보여도 a·b 두 문자 곱 → 이차. 또 분모에 문자(5/x)면 다항식 아님(차수 없음).
Q. −5ab 의 차수는?
Q. x2 + 3x − 2 는 몇 차식인가요? (숫자)
Q. 5/x 는 다항식인가요? (예 / 아니오)
→ 분모에 문자가 있으면 다항식 아님
7일차식의 계산
🔑 동류항 정리 + 분배법칙
동류항(문자 구성이 같은 항)끼리 계수를 더하고 빼요. 수×다항식은 분배법칙으로 전개.
예제 — (3x + 5) + (−7x + 2)
(3 − 7)x + (5 + 2) = −4x + 7
🚨 괄호 앞 마이너스 → 안쪽 부호 전부 반전
2x + 3 − (3x + 2) = 2x + 3 − 3x − 2 = −x + 1
Q. (3x + 5) + (−7x + 2) 를 정리했을 때 x의 계수는?
Q. 5x + 3 − (2x + 4) 를 정리했을 때 x의 계수는?
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기본표기 · 대입 · 항과 차수0 / 10
1.다음 중 곱셈·나눗셈 기호를 바르게 생략한 것은 몇 개인가?
ㄱ. a × (−3) = −3a ㄴ. (a − b) × 5 = 5a − b ㄷ. 2 ÷ a = a⁄2
ㄹ. a + b ÷ 4 = a+b⁄4 ㅁ. a ÷ 4 × (−5) = −5a⁄4
ㄱ. a × (−3) = −3a ㄴ. (a − b) × 5 = 5a − b ㄷ. 2 ÷ a = a⁄2
ㄹ. a + b ÷ 4 = a+b⁄4 ㅁ. a ÷ 4 × (−5) = −5a⁄4
2.x = −3 일 때 x2 + 2x − 4 의 값은?
→ 음수는 괄호로 감싸 대입한다
3.a = −3, b = 2 일 때 a2 − ab 의 값은?
4.다항식 −3x2 + 2x − 1 의 항의 개수는?
5.y2 − 2⁄3y − 1⁄2 의 상수항은? (기약분수)
→ 상수항의 부호도 자기 앞 부호가 자기 것
6.다음 중 3x2 과 동류항인 것은 몇 개인가?
ㄱ. −x2 ㄴ. 3x ㄷ. x2⁄2 ㄹ. 2y2 ㅁ. 5x2
ㄱ. −x2 ㄴ. 3x ㄷ. x2⁄2 ㄹ. 2y2 ㅁ. 5x2
7.2x − 2(x + 1) 은 일차식인가요? (예 / 아니오)
→ 괄호를 먼저 풀고 정리해 볼 것
8.8x ÷ ( −4⁄5 ) 를 간단히 하면 ax 꼴이다. a 의 값은?
→ 분수로 나누기 = 역수를 곱하기
9.(3x − 9) ÷ ( −3⁄4 ) 를 간단히 하면 ax + b 꼴이다. a + b 의 값은?
→ 뒤의 −9 에도 역수를 빠뜨리지 말고 곱할 것
10.십의 자리 숫자가 x, 일의 자리 숫자가 y 인 두 자리 자연수를 x, y 를 사용한 식으로 나타낸 뒤, x = 3, y = 7 을 대입한 값은?
→ 십의 자리 숫자는 10배가 된다
응용표기 판별 · 분수계수 정리 · 식 세우기0 / 10
🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.
1.다음 중 ab2⁄4(x−y) 와 같은 식은 몇 개인가?
ㄱ. a × b × a × b ÷ 4 ÷ (x − y) ㄴ. a × b × b ÷ 4 × (x − y)
ㄷ. a × b × b ÷ 4 ÷ (x − y) ㄹ. a × b ÷ 4 × x − 4 × y
ㅁ. a × b × b × 1⁄4 ÷ (x − y)
ㄱ. a × b × a × b ÷ 4 ÷ (x − y) ㄴ. a × b × b ÷ 4 × (x − y)
ㄷ. a × b × b ÷ 4 ÷ (x − y) ㄹ. a × b ÷ 4 × x − 4 × y
ㅁ. a × b × b × 1⁄4 ÷ (x − y)
→ ÷(x−y) 와 ×(x−y) 는 완전히 다르다
2.x = −1, y = 4 일 때 다음 중 가장 작은 식의 값은?
ㄱ. −7x + 2y ㄴ. −x2 − 2y ㄷ. (x + 3)(y − 1) ㄹ. x⁄y + y⁄x ㅁ. x+3⁄y−2
ㄱ. −7x + 2y ㄴ. −x2 − 2y ㄷ. (x + 3)(y − 1) ㄹ. x⁄y + y⁄x ㅁ. x+3⁄y−2
→ −x2 은 −(x2) 이다. 전부 계산해 보고 비교할 것
3.다음 중 바르게 설명한 것은 몇 개인가?
ㄱ. −3x2 + 2x − 1 은 삼차식이다 ㄴ. −7x 와 x⁄2 는 동류항이다
ㄷ. x⁄3 + 5 에서 x 의 계수는 3이다 ㄹ. 0.1x 의 계수는 0.1이다
ㅁ. 3x2 − 3x2 + 4x + 1 은 일차식이다
ㄱ. −3x2 + 2x − 1 은 삼차식이다 ㄴ. −7x 와 x⁄2 는 동류항이다
ㄷ. x⁄3 + 5 에서 x 의 계수는 3이다 ㄹ. 0.1x 의 계수는 0.1이다
ㅁ. 3x2 − 3x2 + 4x + 1 은 일차식이다
→ ㅁ은 동류항을 먼저 정리한 뒤 판단할 것
4.2x−1⁄2 − x−3⁄3 을 간단히 했을 때, x 의 계수와 상수항의 합은? (기약분수)
→ 분모의 최소공배수 6으로 통분. 두 번째 분수 앞의 −는 분자 전체에 걸린다
5.5x − 6 에 어떤 다항식을 더해야 할 것을 잘못하여 뺐더니 x − 3 이 되었다. 바르게 계산한 식은? (예: 9x-9 처럼 입력)
→ 어떤 다항식을 A로 놓고 A부터 구할 것
6.A = 2x + 1, B = −x + 2 일 때 2A − 3B 를 간단히 하면? (예: 7x-4 처럼 입력)
→ −3B 의 −3 은 B 의 모든 항에 곱해진다
7.다음 평행사변형에서 색칠한 부분의 넓이를 x 를 사용한 식으로 나타내면? (예: 15x+9 처럼 입력)
→ (평행사변형 넓이) − (직사각형 넓이)
8.성냥개비로 정삼각형을 한 줄로 이어 붙여 만든다. 1개를 만드는 데 3개비, 2개를 만드는 데 5개비, 3개를 만드는 데 7개비가 필요하다. 정삼각형 25개를 만들려면 성냥개비가 몇 개 필요한가?
→ 먼저 n 개일 때의 식을 세울 것 (하나 늘 때마다 몇 개씩 느는가?)
9.5x−3⁄2 − 4x−5⁄3 + 2x−5⁄6 을 간단히 하여 ax + b 꼴로 나타낼 때, a − b 의 값은? (기약분수)
→ b 가 음수이면 a − b 는 더하기가 된다
10.n = 4 일 때 (−1)n(3x − 1) + (−1)n+3(2x − 3) 을 간단히 하면? (예: x+2 처럼 입력)
→ (−1)4 와 (−1)7 의 부호를 먼저 정할 것
심화킬러 — 역산 · 기호 정의 · 조건 추론0 / 10
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🔮 이 세트의 핵심 — 조건을 식으로 바꾼 뒤 거꾸로 되짚기
문자와 식 킬러는 대부분 거꾸로 가는 문제입니다. "잘못 계산한 결과"에서 원래 식을, "정리한 결과"에서 미지의 계수를 역산하죠. 요령은 하나 — 모르는 식을 A, B로 놓고 문장을 그대로 등식으로 옮긴 뒤 A, B를 먼저 구하는 것. 그리고 괄호 앞의 부호와 수는 안쪽 모든 항에 걸린다는 것만 놓치지 않으면 됩니다.
🧩 준비 예제 — '잘못 계산' 역산의 기본형
어떤 식에 2x − 3 을 더해야 할 것을 잘못하여 뺐더니 5x + 1 이 되었다. 바르게 계산한 식은?
STEP 1
어떤 식을 A 라 하면, 잘못한 계산: A − (2x − 3) = 5x + 1
어떤 식을 A 라 하면, 잘못한 계산: A − (2x − 3) = 5x + 1
STEP 2
A = (5x + 1) + (2x − 3) = 7x − 2 — 답이 아니다. 여기서 멈추는 것이 최다 실수
A = (5x + 1) + (2x − 3) = 7x − 2 — 답이 아니다. 여기서 멈추는 것이 최다 실수
STEP 3
바르게: A + (2x − 3) = (7x − 2) + (2x − 3)
바르게: A + (2x − 3) = (7x − 2) + (2x − 3)
정답
= 9x − 5 — 물어본 것은 A 가 아니라 바르게 계산한 식
= 9x − 5 — 물어본 것은 A 가 아니라 바르게 계산한 식
🧩 본 유형 — 두 식을 각각 역산해서 합치기 (아래 1번 유형)
A 에 x + 1 을 더해야 할 것을 뺐더니 3x 가 되었고, B 에서 x + 1 을 빼야 할 것을 더했더니 x 가 되었다. 바르게 계산한 두 식의 합은?
STEP 1
실수의 방향이 서로 반대다. 각각 따로 등식을 세운다.
실수의 방향이 서로 반대다. 각각 따로 등식을 세운다.
STEP 2
A − (x + 1) = 3x → A = 4x + 1 / B + (x + 1) = x → B = −1
A − (x + 1) = 3x → A = 4x + 1 / B + (x + 1) = x → B = −1
STEP 3
바르게: A + (x + 1) = 5x + 2 / B − (x + 1) = −x − 2
바르게: A + (x + 1) = 5x + 2 / B − (x + 1) = −x − 2
정답
합 = (5x + 2) + (−x − 2) = 4x — 두 번의 역산을 끝까지 각각 밀고 갈 것
합 = (5x + 2) + (−x − 2) = 4x — 두 번의 역산을 끝까지 각각 밀고 갈 것
1.어떤 다항식 A 에 x − 2 를 더해야 할 것을 잘못하여 뺐더니 2x + 3 이 되었고, 어떤 다항식 B 에서 3x − 1 을 빼야 할 것을 잘못하여 더했더니 −x + 2 가 되었다. 두 식을 바르게 계산한 결과의 합은? (예: -3x+3 처럼 입력)
→ 위 본 유형 풀이 참고. A 와 B 의 실수 방향이 반대다
2.두 다항식 A, B 에 대하여 A ★ B = 2A − B 로 새롭게 정의한다. 이때 { (x + 1) ★ 2x } ★ (x − 3) 을 간단히 하면? (예: -x+7 처럼 입력)
→ 중괄호 안을 먼저 계산해 하나의 식으로 만든 뒤 다시 ★ 를 적용
3.n 이 홀수일 때 (−1)n(2x − 3) + (−1)n+1(x + 1) + (−1)n+2(3x − 2) 를 간단히 하면? (예: -4x+6 처럼 입력)
→ n 이 홀수면 n+1 은 짝수, n+2 는 다시 홀수. 부호가 −, +, − 로 번갈아 간다
4.|a| = 3, |b| = 5 이고 a − b > 0 일 때, a2 − ab + b 의 값 중 가장 큰 값은?
→ a − b > 0 이면 b 의 부호가 하나로 정해진다. 남은 경우를 모두 계산해 비교할 것
5.(a − 2)x2 + (b + 3)x + 5 가 x 에 대한 일차식이고, x = 1 을 대입한 값이 10 일 때 a + b 의 값은?
→ 일차식이 되려면 이차항이 사라져야 한다. a 를 먼저 확정할 것
6.3x+a⁄4 − 2x−1⁄3 을 간단히 했을 때 x 의 계수와 상수항이 서로 같다. 이때 a 의 값은?
→ 분모 12로 통분하면 (x + 3a + 4)⁄12 꼴이 된다
7.바둑돌을 정사각형 모양으로 늘어놓아 n 번째 그림에는 n2 개가 놓인다. (n + 1) 번째 그림이 n 번째 그림보다 바둑돌이 21개 더 많을 때, n 의 값은?
→ 두 개수의 차를 n 에 대한 식으로 먼저 정리할 것
8.A = 3x − 2, B = −2x + 1 일 때 A − 2{ B − (A − 3B) } 를 간단히 하면? (예: 25x-14 처럼 입력)
→ 소괄호 → 중괄호 순서로. 괄호를 풀 때마다 앞의 부호를 모든 항에 걸 것
9.한 변의 길이가 x 인 정사각형의 네 모퉁이에서 한 변의 길이가 2 인 정사각형을 각각 잘라냈다. 남은 도형의 넓이를 S, 둘레의 길이를 L 이라 할 때, S − L 을 ax2 + bx + c 꼴로 나타내면 a + b + c 의 값은? (단, x > 4)
→ 넓이는 줄어든다. 그런데 둘레도 줄어들까? 잘린 자리를 따라가 보자
10.x = −2, y = 3 일 때 −x2y + (−x)2 ÷ y × 6 − x3 의 값은?
→ −x2 과 (−x)2 은 다르다. 나눗셈과 곱셈은 앞에서부터 차례로
📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)
아직 틀린 문제가 없어요.