중학교에 올라오면 1학기와 2학기 내용이 확실하게 구별돼요.
| 학기 | 영역 | 주요 내용 |
|---|---|---|
| 1학기 | 대수 (Algebra) | 수 → 방정식 → 함수 |
| 2학기 | 기하 (Geometry) | 도형 + 확률·통계 |
자연수 (1단원·2단원) → 정수·유리수 → 방정식·부등식 → 함수
1단원에서 자연수를 깊이 뜯어보는 것이 시작점이에요. 결국 1-1의 꽃은 방정식!
초등학교 때 자연수의 정의를 배운 적 있나요? 사실 없어요. 바로 1, 2, 3… 세는 것부터 시작했죠.
자연적으로 인지할 수 있는 수 — 눈에 보이는 것을 세면 나오는 수
사람이 4명 보인다 → 4 | 안경을 쓴 사람 1명 보인다 → 1
코끼리는 안 보인다 → 애초에 생각도 안 함 → 0은 자연수가 아님!
"이러이러한 것들을 ○○라고 부르기로 약속하자" — 이게 정의(definition)예요.
정의 = 약속 / 성질 = 약속으로부터 나오는 특징
자연적으로 인지하려면 일단 눈에 보여야 해요. 코끼리가 0마리라는 건 "코끼리를 생각해야" 알 수 있는 거라 자연적 인지가 아니에요.
자연수를 약수의 개수를 기준으로 세 가지로 나눠요.
약수가 1과 자기 자신, 딱 두 개뿐인 자연수
소수(小數·소수점 숫자)와 구별하려고 "소ː수"로 길게 발음해요.
소수들을 합성(곱)해서 만들 수 있는 수예요. 예) 6 = 2 × 3 → 합성수!
2, 3, 5, 7 | 11, 13, 17, 19 | 23, 29 | 31, 37 | 41, 43, 47 |
53, 59 | 61, 67 | 71, 73, 79 | 83, 89 | 97 (총 25개)
약수가 딱 1개(자기 자신)라서 따로 분류돼요.
합성수를 소수들의 곱으로 나타내는 것
소인수 = 어떤 수의 약수 중에서 소수인 것
예) 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 23 × 32 → 소인수: 2와 3
소인수분해 방법 3가지
| 방법 | 설명 |
|---|---|
| ① 곱셈 쪼개기 | 72 = 2×36 = 2×2×18 = … = 2×2×2×3×3 |
| ② 가지치기 (나무) | 끝 가지가 모두 소수가 될 때까지 쪼개기 |
| ③ 거꾸로 나눗셈 | 소수로 계속 나누고, 몫이 소수면 멈추기 |
③ 거꾸로 나눗셈 예시 (72)
가장 작은 소수 2로 나눈다. 90 ÷ 2 = 45
45는 짝수가 아니니 3으로. 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5
5는 소수라 멈춘다. 나눈 소수와 마지막 몫을 모두 곱한다.
90 = 2 × 32 × 5
결과에 합성수가 남아있으면 미완성! 모든 인수가 소수여야 해요.
❌ 32 × 9 → 9 = 32 이니까 34로 완성!
같은 수를 여러 번 반복해서 곱하는 것
2를 다섯 번 곱한다 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25
| ¹ | ² | ³ | ⁴ | ⁵ | |
|---|---|---|---|---|---|
| 2ⁿ | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
| 3ⁿ | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 |
| 5ⁿ | 5 | 25 | 125 | 625 | — |
어떤 수든 지수가 0이면 값이 1이에요. (20 = 1) — 고2 수학에서 배울 내용, 지금은 참고만!
초등 방식(1×12, 2×6…)은 번거로워요. 소인수분해를 하면 약수를 표로 체계적으로 구할 수 있어요!
12 = 22 × 3 이라면, 2카드 2장 + 3카드 1장이 있는 거예요.
카드를 0장, 1장, 2장씩 골라 곱하면 → 그게 바로 약수!
12 = 22 × 3의 약수 표
| 3⁰ = 1 | 3¹ = 3 | |
|---|---|---|
| 2⁰ = 1 | 1×1 = 1 | 1×3 = 3 |
| 2¹ = 2 | 2×1 = 2 | 2×3 = 6 |
| 2² = 4 | 4×1 = 4 | 4×3 = 12 |
→ 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (총 6개)
소인수분해를 하면 약수를 다 나열하지 않아도 개수를 바로 알 수 있어요!
약수의 개수 = (p+1) × (q+1) × …
지수가 p이면 카드를 0장, 1장, …, p장 선택할 수 있어요 → 총 p+1가지!
| 수 | 소인수분해 | 약수의 개수 |
|---|---|---|
| 12 | 22 × 3 | (2+1)(1+1) = 6 |
| 72 | 23 × 32 | (3+1)(2+1) = 12 |
| 120 | 23 × 3 × 5 | (3+1)(1+1)(1+1) = 16 |
① 소인수분해 → ② 각 지수에 +1 → ③ 모두 곱하기. 초등 방식(나열)은 틀리기 쉬워요!
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ㄱ. 2는 소수이다 ㄴ. 9는 소수이다 ㄷ. 모든 소수는 홀수이다 ㄹ. 51은 소수이다
45 = 3 × 15 | 60 = 22 × 3 × 5 | 80 = 42 × 5 | 140 = 22 × 5 × 7 | 200 = 2 × 102
2×3 | 2×32 | 2×52 | 2×33×5 | 22×33×5
ㄱ. 61은 소수가 아니다 ㄴ. 81의 소인수는 3뿐이다 ㄷ. 두 소수의 곱은 소수이다
ㄹ. 모든 소수가 홀수인 것은 아니다 ㅁ. 모든 자연수는 약수가 2개 이상이다
약수의 개수 공식을 거꾸로 이용하는 출제 유형이에요. 지수를 역설계하는 게 핵심!
9를 (지수+1)들의 곱으로 분해: 9 = 9 또는 9 = 3 × 3
9 = 9 → 소인수 1개, 지수 8 → 최소는 28 = 256
3 × 3 → 소인수 2개, 지수 각 2 → 최소는 22 × 32 = 36
36 < 256 이므로 답은 36 (작은 소수에 큰 지수를 몰아주는 게 최소!)
기호부터 푼다. 169 = 132 → [[169]] = 2+1 = 3, 128 = 27 → [[128]] = 7+1 = 8.
3 × 8 × [[x]] = 240 → 24 × [[x]] = 240 → [[x]] = 10. (여기서 한 번 역산)
약수가 10개인 수를 찾는다. 10 = 10 또는 10 = 5 × 2 이므로 지수 조합은 p9 또는 p4 × q 꼴.
가장 작게 만들려면 작은 소수에 큰 지수를 준다. p9 = 29 = 512, p4 × q = 24 × 3 = 48. (2 × 34 = 162은 더 큼)
= 48
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