작도와 합동 강의노트 PRO

1작도란? — 뜻과 두 가지 도구

지금까지 우리는 점, 선, 각, 그리고 여러 도형 사이의 위치 관계를 배웠어요. 이번 단원부터는 그 도형을 직접 만들어보는 이야기, 바로 작도(作圖)입니다.

작도란 주어진 조건에 맞게 도형을 그려내는 것을 말해요. 삼각형이 하나 있으면, 그 삼각형과 완전히 똑같은 삼각형을 다른 자리에 그대로 옮겨 그리는 것 — 이게 바로 작도예요.

🔑 작도에서 사용할 수 있는 도구는 딱 두 가지!

① 컴퍼스 — 원을 그리는 도구지만, 작도에서는 주로 길이를 재고 옮기는 데 사용해요.
② 눈금 없는 자 — 두 점을 이어 직선을 긋는 데만 사용해요.

⚠️ 주의 — 눈금 없는 자로는 길이를 잴 수 없다!

각도기나 눈금 있는 자는 작도에서 사용하지 않아요. 길이를 재고 옮기는 역할은 오직 컴퍼스만 할 수 있어요. 컴퍼스의 한쪽 다리(핀)를 한 점에 꽂고, 다른 쪽(연필)을 원하는 만큼 벌리면 그 벌어진 정도가 곧 하나의 '길이'가 되는 거예요.

Q. 작도에서 각도기를 사용해도 되나요?

Q. 눈금 없는 자로 두 점 사이의 길이를 알 수 있나요?

2선분의 작도

선분 AB와 길이가 같은 선분을 직선 l 위에 그대로 옮겨 그려봅시다.

🔑 선분의 작도 순서 (총 5단계)

① 직선 l을 긋는다.
② 직선 l 위에 점 C를 잡는다.
③ 컴퍼스로 선분 AB의 길이를 잰다.
④ 점 C를 중심으로, 반지름의 길이가 AB인 원(호)을 그려 직선 l과의 교점을 찾는다.
⑤ 그 교점을 D라 하면, 선분 CD가 바로 선분 AB를 옮겨온 것이다.

🏆 시험 포인트 — 순서가 생명!

작도 문제에서는 순서를 묻는 문제가 자주 나와요. 컴퍼스로 길이를 잰 바로 다음에는 반드시 그 길이를 사용하는 단계가 이어져야 해요.

Q. 선분의 작도는 모두 몇 단계로 이루어지나요?

Q. 선분의 작도에서 컴퍼스를 사용하는 총 횟수는?

3각의 작도

이번엔 각을 옮겨 그려봅시다. ∠XOY와 크기가 똑같은 각을, 새로운 반직선 PQ 위에 작도할 거예요.

🔑 각의 작도 순서 (총 5단계, 컴퍼스로 길이 재기 2번)

① 점 O를 중심으로 원을 그려 반직선 OX, OY와의 교점을 각각 A, B라 한다.
② 점 P를 중심으로, 반지름의 길이가 OA인 원을 그려 반직선 PQ와의 교점을 C라 한다.
③ 컴퍼스로 선분 AB의 길이를 잰다.
④ 점 C를 중심으로, 반지름의 길이가 AB인 원을 그려 ②의 원과 만나는 점을 D라 한다.
⑤ 두 점 P, D를 이어 반직선 PD를 긋는다. → ∠CPD가 완성된 각.

💡 컴퍼스는 벌리는 즉시 써먹는다!

한 번 벌려놓은 컴퍼스는 그대로 다음 단계에 바로 사용해요. 이 순서를 기억해두면 작도 문제가 훨씬 쉬워져요.

Q. 각의 작도는 모두 몇 단계로 이루어지나요?

Q. 각의 작도에서 컴퍼스로 길이를 재는 횟수는?

4평행선의 작도

이번엔 각의 작도를 응용해서, 직선 l 위에 있지 않은 점 P를 지나고 l과 평행한 직선 m을 작도해봅시다.

💡 어떤 성질을 이용할까?

두 직선이 평행하면 동위각(또는 엇각)의 크기가 같고, 반대로 동위각(또는 엇각)이 같으면 두 직선은 평행하다. 이 성질을 거꾸로 이용해서, 각을 하나 만든 뒤 그 각과 크기가 같은 동위각이 점 P에도 생기도록 작도하면 돼요.

🔑 평행선의 작도 순서 (총 6단계)

① 점 P를 지나며 직선 l과 교차하는 직선을 하나 긋는다. (교점을 Q라 하자)
② 점 Q를 중심으로 원을 그려 두 직선과의 교점을 각각 A, B라 한다.
③ 점 P를 중심으로, 반지름이 QA인 원을 그려 ①의 직선과의 교점을 C라 한다.
④ 컴퍼스로 선분 AB의 길이를 잰다.
⑤ 점 C를 중심으로, 반지름이 AB인 원을 그려 ③의 원과 만나는 점을 D라 한다.
⑥ 두 점 P, D를 이어 그으면 그 직선이 바로 l과 평행한 직선 m이다.

🔮 참고 — 엇각으로도 만들 수 있어요

각을 P의 반대쪽에 옮기면, 엇각이 같다는 성질을 이용해 평행선을 만드는 셈이 돼요. 원리는 같고 각의 방향만 다를 뿐이에요.

Q. 평행선의 작도에서 활용하는 두 직선의 평행 조건은 '동위각이 같다' 또는 무엇이 같다는 성질인가요?

Q. 평행선의 작도에서 컴퍼스로 길이를 재는 횟수는?

5삼각형의 결정조건

우리의 목표는 다각형, 그중에서도 가장 기본이 되는 삼각형을 작도하는 거예요. 그러려면 먼저 "어떤 조건이 주어져야 삼각형이 하나로 정해지는가"를 알아야 해요.

⚠️ 삼각형이 만들어지기 위한 조건 (세 변의 길이)

세 변의 길이가 주어질 때, 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합보다 짧아야 삼각형이 만들어져요(세 쌍 중 가장 긴 변 하나만 확인하면 충분!). 3cm, 4cm, 8cm이면 3+4=7<8이라 불가능, 6cm, 7cm, 10cm이면 6+7=13>10이라 가능해요.

🔑 삼각형이 하나로 정해지는 세 가지 방식

① 세 변의 길이 ② 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기 ③ 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기

🏆 시험 포인트 — 끼인각이 아니면 안 돼요!

두 변과 각을 줬다고 다 되는 게 아니에요. 그 각이 반드시 두 변 사이에 낀 각(끼인각)이어야 삼각형이 하나로 정해져요. 끼인각이 아니면 조건을 만족하는 삼각형이 두 개 나올 수 있어요.

🔮 참고 — 각 세 개만으로는 안 돼요

모양은 각이, 크기는 변의 길이가 결정해요. 변의 길이 정보가 전혀 없으면, 모양은 같지만 크기가 다른 삼각형을 무수히 만들 수 있어서 삼각형이 하나로 정해지지 않아요.

Q. 세 변의 길이가 4cm, 5cm, 9cm이면 삼각형을 작도할 수 있나요?

Q. 삼각형이 하나로 정해지려면 "두 각의 크기와 그 사이에 낀 ___"이 필요해요. 빈칸에 알맞은 말은?

6삼각형의 작도

앞에서 배운 선분·각의 작도를 활용해서, 세 가지 방식으로 실제 삼각형을 작도해봅시다.

🔑 ① 세 변의 길이가 주어질 때 (SSS 방식)

한 변을 먼저 작도한 뒤, 그 양 끝점에서 각각 나머지 두 변의 길이를 반지름으로 하는 호를 그려요. 두 호가 만나는 교점이 나머지 한 꼭짓점이 돼요.

💡 ② 두 변의 길이와 끼인각이 주어질 때 (SAS 방식)

먼저 각을 작도해서 반직선 두 개를 만든 뒤, 각 반직선 위에 주어진 두 변의 길이를 각각 옮겨 표시해요. 그 두 점과 각의 꼭짓점을 이으면 삼각형이 완성돼요.

💡 ③ 한 변의 길이와 양 끝각이 주어질 때 (ASA 방식)

먼저 한 변을 작도한 뒤, 그 변의 양 끝점에서 각각 주어진 각을 작도해서 반직선을 그어요. 두 반직선이 만나는 교점이 나머지 한 꼭짓점이 돼요.

Q. 세 변의 길이가 주어질 때 삼각형을 작도하려면, 컴퍼스로 원(호)을 몇 번 그려서 나머지 꼭짓점을 찾나요?

Q. 두 변과 끼인각으로 삼각형을 작도할 때, 가장 먼저 작도하는 것은 변인가요, 각인가요?

7도형의 합동

이 단원의 하이라이트, 합동입니다. 두 도형을 포개었을 때 완벽하게 겹쳐지면, 이 두 도형은 서로 합동(合同)이라고 해요. 즉, 모양과 크기가 모두 같은 두 도형을 합동이라고 부릅니다.

🔑 합동 기호와 대응 관계

두 도형이 합동일 때는 세 줄짜리 등호(≡)를 사용해서 △ABC≡△DEF처럼 나타내요. (참고: 두 줄짜리 등호(=)는 넓이만 같을 때 쓰는 기호예요.)

🚨 합동에서 가장 중요한 것 — 바로 순서!

△ABC≡△DEF라고 쓰면 점 A는 점 D와, 점 B는 점 E와, 점 C는 점 F와 대응한다는 뜻까지 정확히 담고 있어요. 순서를 바꿔 △ABC≡△EFD라고 쓰면 틀린 표현이 됩니다!

💡 대응점 · 대응변 · 대응각

점은 점끼리(대응점), 변은 변끼리(대응변), 각은 각끼리(대응각) 짝이 지어져요. 대응변의 길이는 서로 같고, 대응각의 크기도 서로 같아요.

Q. 두 도형이 완전히 포개어질 때, 이 관계를 무엇이라고 하나요?

Q. △ABC≡△DEF일 때, 점 B에 대응하는 점은?

8삼각형의 합동조건 (SSS · SAS · ASA)

두 삼각형이 합동인지 어떻게 확인할까요? 앞서 배운 삼각형의 결정조건과 완전히 같은 원리로, 세 가지 합동조건이 있어요. S는 Side(변), A는 Angle(각)의 줄임말이에요.

합동조건	의미	확인 순서
SSS	대응하는 세 변의 길이가 각각 같다	변-변-변
SAS	대응하는 두 변과 그 끼인각이 각각 같다	변-각-변
ASA	대응하는 한 변과 그 양 끝각이 각각 같다	각-변-각

🏆 시험 포인트 — 합동 조건까지 꼭 함께 쓰기!

서술형 문제에서 "△ABC≡△DEF이다"라고만 쓰면 감점이에요. 반드시 "SAS 합동이므로"처럼 근거를 밝혀 써야 해요.

⚠️ 흔한 실수 — 각만 세 개는 합동조건이 아니다!

세 각이 모두 같아도 크기가 다를 수 있어 합동이라 할 수 없어요. 끼인각이 아닌 두 변+각(SSA)도 합동을 보장하지 못해요.

Q. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같아서 성립하는 합동조건의 이름은?

Q. 삼각형의 합동조건을 확인할 때는 항상 몇 가지 요소(변 또는 각)를 확인하나요?

📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)

아직 틀린 문제가 없어요. 퀴즈를 풀어보세요!

🔓 연습문제 잠금 해제

아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.

✓본문 퀴즈 전부 채점하기 (0 / 16)
✓오답노트 확인하기 (위에서 '오답 정리 완료' 누르기)

✏️ 연습문제

기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열려요. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.

기본작도·합동 기본 개념 확인0 / 10

1.작도에서 길이를 재고 옮기는 데 사용하는 도구는?

2.작도에서 두 점을 이어 직선을 긋는 데만 사용하는 도구는?

3.선분 AB와 길이가 같은 선분을 직선 l 위에 작도하려고 한다. 이때 서로 다른 길이를 측정하는 횟수는?

4.∠XOY와 크기가 같은 각을 작도할 때, 서로 다른 길이(OA, AB)를 측정하는 횟수는?

5.두 직선이 평행하려면 동위각이 같거나, 아니면 무엇이 같아야 하나요?

6.세 변의 길이가 2cm, 3cm, 6cm이면 삼각형을 작도할 수 있나요?

7.세 변의 길이가 5cm, 6cm, 9cm이면 삼각형을 작도할 수 있나요?

8.두 도형이 완전히 포개어질 때(합동일 때) 사용하는 등호는 몇 줄인가요?

9.세 변의 길이가 각각 같아서 성립하는 합동조건의 이름은?

10.한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 각각 같아서 성립하는 합동조건의 이름은?

응용작도·합동 응용 — 회전·판별·개수0 / 10

🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.

1.다음 그림은 정삼각형 ABC의 변 BC의 연장선 위에 점 D를 잡고, AD를 한 변으로 하는 정삼각형 ADE를 그린 것이다. BC=3cm, CD=4cm일 때, EC의 길이는? (단위: cm)

→ △ABD≡△ACE(SAS)이므로 EC=BD=BC+CD예요.

2.다음 그림과 같이 정사각형 ABCD와 정사각형 CEFG가 꼭짓점 C를 공유하도록 놓여 있다. DE=7.2cm일 때 BG의 길이는? (단위: cm)

→ △DCE≡△BCG(SAS, 90° 회전)이므로 BG=DE예요.

3.선분 AB와 선분 CD가 점 O에서 만나고 AC∥BD, AC=BD이다. 이때 △ACO≡△BDO가 성립하는 합동조건은?

→ AC∥BD이므로 엇각이 같음을 이용하세요(∠OAC=∠OBD, ∠OCA=∠ODB).

4.△ABC와 △ADE에서 AB=AD, AC=AE, ∠BAC=∠DAE일 때, 두 삼각형이 합동임을 보이는 합동조건은?

5.다음 조건을 모두 만족하는 삼각형은 모두 몇 개인가?
(가) 세 변의 길이는 모두 자연수이다. (나) 둘레의 길이는 15cm이다. (다) 두 변의 길이는 같고 나머지 한 변의 길이는 다르다.

→ 같은 두 변을 a, 다른 한 변을 b라 하면 2a+b=15, b<2a, b≠a예요.

6.선분 AB와 같은 길이의 선분을 직선 l 위에 작도하려 한다. 다음 네 단계를 작도 순서대로 나열하면?
(ㄱ) 컴퍼스로 AB의 길이를 잰다. (ㄴ) 직선 l 위에 점 C를 잡는다.
(ㄷ) 점 C를 중심으로 반지름 AB인 원을 그려 l과의 교점 D를 찾는다. (ㄹ) 직선 l을 긋는다.

7.다음은 반직선 PQ를 이용하여 ∠XOY와 크기가 같은 ∠CPD를 작도하는 과정에 대한 설명이다. 옳지 않은 것의 번호는?
① 점 O를 중심으로 하고 적당한 반지름의 원을 그려 반직선 OX, OY와의 교점을 각각 A, B라 한다.
② 점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 AB인 원을 그려 반직선 PQ와의 교점을 C라 한다.
③ 컴퍼스로 선분 AB의 길이를 측정한다.
④ 점 C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 AB인 원을 그려 ②의 원과 만나는 점을 D라 한다.
⑤ 두 점 P, D를 이으면 ∠CPD가 구하는 각이다.

→ ②에서 점 P를 중심으로 그리는 첫 번째 원의 반지름은 AB가 아니라 OA여야 해요.

8.다음 그림에서 AB=DB, AC=DC이고, BC는 두 삼각형의 공통변이다. ∠ABC=52°, ∠BCA=70°일 때 ∠BDC의 크기는? (단위: 도)

→ △ABC≡△DBC(SSS)이므로 ∠BDC=∠BAC=180°−52°−70°예요.

9.직선 l 위에 있지 않은 점 P를 지나며 l에 평행한 직선 m을 작도했다. 이 작도에서 사용한 각(동위각)이 72°였다면, 완성된 두 평행선 l, m이 같은 직선과 만나서 이루는 동위각의 크기는? (단위: 도)

→ 작도로 만든 각과 그 동위각은 정의상 크기가 같아요.

10.세 변의 길이 중 두 변이 각각 4cm, 9cm로 주어졌다. 나머지 한 변의 길이가 될 수 있는 자연수는 모두 몇 개인가?

→ |9−4| < (나머지 변) < 9+4

심화킬러 — 회전합동·접기·역산·개수0 / 10

🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.

🔮 심화 공략 — 정사각형 위의 45° 회전 합동

정사각형 ABCD의 변 위에 ∠EAF=45°가 되도록 점 E, F를 잡는 유형은 "DC를 연장해 DG=BE인 점 G를 잡고 △ABE≡△ADG(SAS)를 만드는 것"이 핵심 전략이에요. 그러면 AE=AG, ∠EAF=∠GAF=45°가 되어 △AEF≡△AGF(SAS)까지 이어져요.

🧩 단계별 풀이 — 정사각형 위의 45° 회전 합동

정사각형 ABCD의 두 변 BC, CD 위에 ∠EAF=45°, ∠AEF=65°가 되도록 점 E, F를 잡았다. ∠EFC의 크기를 구하시오.

STEP 1
△AEF에서 세 각의 합이 180°이므로 ∠AFE = 180°−45°−65° = 70°.

STEP 2
DC를 연장해 DG=BE인 점 G를 잡으면 △ABE≡△ADG(SAS)이고, 이어서 △AEF≡△AGF(SAS)가 성립해 ∠AFE=∠AFG=70°.

STEP 3
점 F에서 직선 DC 위의 각 EFC, AFE, AFG는 평각(180°)을 이루므로
∠EFC = 180° − ∠AFE − ∠AFG = 180° − 70° − 70°

정답
= 40°

1.정사각형 ABCD의 두 변 BC, CD 위에 ∠EAF=45°, ∠AEF=70°가 되도록 점 E, F를 잡았다. ∠EFC의 크기는? (단위: 도)

→ 위 단계별 풀이와 똑같은 방법, 각도만 다르게 적용하세요.

2.길이가 3cm, 4cm, 7cm, 8cm, 12cm, 13cm인 6개의 선분이 있다. 이 중 서로 다른 3개의 선분으로 만들 수 있는 삼각형은 모두 몇 개인가?

→ 6개 중 3개를 고르는 경우는 20가지 — 가장 긴 변 하나만 확인하며 하나씩 따져보세요.

3.직사각형 ABCD를 대각선 BD를 접는 선으로 하여 꼭짓점 A가 점 E에 오도록 접었다. 접힌 선분 DE가 변 BC와 만나는 점을 F라 하자(이때 삼각형 FBD는 FB=FD인 이등변삼각형이 된다). ∠DBC=32°일 때 ∠DFB의 크기는? (단위: 도)

→ AD∥BC이므로 ∠ADB=∠DBC=32°(엇각). 접은 각은 같으므로 ∠FDB=∠ADB=32°이고, F는 BC 위에 있어 ∠FBD=∠DBC=32°. △FBD의 세 각의 합이 180°.

4.다음 그림과 같이 AD∥BC이고 ∠A=∠B=90°인 사다리꼴 ABCD가 있다. 변 BC의 연장선 위의 점을 E, AE와 CD의 교점을 F라 하면 AF=EF이다. AB=5cm, BE=8cm일 때, 사다리꼴 ABCD의 넓이는? (단위: cm²)

→ △ADF≡△ECF(ASA)이므로 사다리꼴 ABCD의 넓이 = △ABE의 넓이 = ½×AB×BE.

5.다음 그림과 같이 △ABC의 두 변 AB, AC를 각각 한 변으로 하는 정삼각형 ABD, ACE를 삼각형 바깥쪽에 그렸다. CD와 BE의 교점을 P라 할 때, ∠BPC의 크기는? (단위: 도)

→ △ABE≡△ADC(SAS, ∠BAE=∠DAC=60°+∠BAC)이므로 BE=CD이고, 이 두 선분이 만나는 각은 항상 120°예요(페르마점의 성질).

6.세 변의 길이가 각각 자연수 x, x+3, 2x−4인 삼각형이 존재하도록 하는 자연수 x의 최솟값은?

→ 2x−4가 자연수이려면 x≥3부터 확인하고, 가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합을 만족시켜야 해요.

7.다음 중 △ABC≡△DEF가 항상 성립하도록 하는 조건을 모두 고르면 몇 개인가?
① AB=DE, BC=EF, CA=FD
② AB=DE, BC=EF, ∠B=∠E
③ AB=DE, ∠A=∠D, ∠B=∠E
④ ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
⑤ AB=DE, BC=EF, ∠A=∠D

→ ④는 AAA(모양만 같음), ⑤는 끼인각이 아닌 SSA — 둘 다 합동을 보장하지 못해요.

8.직선 l 위에 있지 않은 점 P를 지나며 l에 평행한 직선 m을 작도하는 데 사용한 각이 68°였다(즉, 작도에 쓰인 직선이 l과 이루는 각 중 하나가 68°). 완성된 두 평행선 l, m이 그 직선과 만나서 생기는 8개의 각 중에서, 68°와 크기가 다른 각의 크기는? (단, 크기가 다른 각은 한 가지뿐이다.) (단위: 도)

→ 평각(180°)에서 68°를 빼보세요.

9.△ABC≡△ADE이고, 이는 점 A를 중심으로 △ABC를 회전시켜 점 B가 점 D의 위치로, 점 C가 점 E의 위치로 옮겨진 것과 같다. ∠BAD=27°일 때 ∠CAE의 크기는? (단위: 도)

→ 한 점을 중심으로 도형을 회전시키면, 대응하는 모든 반직선이 같은 각도만큼 회전해요.

10.세 변의 길이가 각각 7cm, 13cm, a cm(자연수)인 삼각형을 만들 때, 이등변삼각형이 되지 않도록 하는 자연수 a의 개수는?

→ 먼저 6<a<20인 자연수를 모두 찾고, 그중 a=7 또는 a=13인 경우(이등변삼각형)를 제외하세요.

📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)

아직 틀린 문제가 없어요.