일차방정식 강의노트 PRO

1등식이란?

🔑 등식(等式)

등호(=)를 사용한 식. 등호 양쪽에 서로 같은 값(같은 이야기)을 나타낼 때 등호를 씁니다.

📌 예시

1 + 2 = 3

💡 용어 — 좌변 · 우변 · 양변

용어	뜻
좌변	등호의 왼쪽
우변	등호의 오른쪽
양변	좌변 + 우변

"양변에 뭘 해줘라"는 설명이 계속 나오니 꼭 기억하세요!

Q. 등식 5 + 3 = 8 에서 우변의 값은?

Q. 등호를 사용한 식을 무엇이라고 하나요? (한글로)

2방정식과 항등식

🔑 방정식(方程式)

미지수의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 등식.

예시 — x + 3 = 5

x = 2 대입: 2 + 3 = 5 → 참

x = 3 대입: 3 + 3 = 5 → 거짓

🔮 근(根) = 해(解)

방정식을 성립시키는 미지수의 값을 근 또는 해라고 합니다. 같은 뜻이에요.

이 근(해)을 찾는 과정이 "방정식을 푼다"입니다.

🔑 항등식(恒等式)

미지수의 값과 관계없이 항상 성립하는 등식.

예시 — x + x = 2x

x = 0, 1, 3 무엇을 넣어도 항상 참! (x가 뭐든 성립)

구분	방정식	항등식
참/거짓	미지수 값에 따라 바뀜	항상 참
예시	x + 3 = 5	x + x = 2x

🏆 시험 킬러 — "다음 중 항등식인 것은?"

정리했을 때 미지수가 완전히 사라지고 참이 남으면 항등식! 미지수가 남으면 방정식.

Q. x + 3 = 5 에 x = 2를 대입하면 참인가요 거짓인가요?

Q. x + x = 2x 처럼 미지수 값과 관계없이 항상 성립하는 등식을 무엇이라 하나요?

Q. 방정식을 성립시키는 미지수의 값을 '근' 또는 무엇이라 하나요?

3등식의 성질

🔑 등식의 성질

a = b 이면, 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누어도 등식은 여전히 성립합니다.

＋

덧셈

a=b ⇒ a+c=b+c

－

뺄셈

a=b ⇒ a−c=b−c

곱셈

a=b ⇒ ac=bc

나눗셈

a=b ⇒ a/c=b/c

🚨 나눗셈은 c ≠ 0일 때만!

어떤 수도 0으로 나눌 수 없어요. 양변을 c로 나눌 때는 반드시 c ≠ 0.

등식의 성질로 풀기 — x + 3 = 5

목표: 좌변에 x만 남기기 → 양변에서 3을 뺀다

x + 3 − 3 = 5 − 3 → x = 2

Q. 등식의 성질에서 나눗셈을 할 때, 나누는 수는 반드시 무엇이 아니어야 하나요? (숫자만)

Q. x + 3 = 5 의 양변에서 3을 빼면 x = ?

4이항

🔑 이항(移項)

등식의 한쪽에 있는 항을 반대쪽으로 옮기는 것. 옮겨간 항의 부호가 바뀝니다.

x + 3 = 5 를 이항으로 풀면

좌변의 +3을 우변으로 옮기면 → −3으로 부호 반전

x = 5 − 3 = 2

🚨 곱셈·나눗셈은 이항이 아니다!

3x = 7 을 풀 때 양변을 3으로 나눠서 x = 7/3 을 얻어요.

3은 항이 아니라 x의 계수. 계수를 나누는 건 이항이 아니라 등식의 성질(나눗셈) 그대로! 이항은 덧셈·뺄셈에서만 쓰는 말입니다.

등식의 성질	이항과의 관계
덧셈 · 뺄셈	✅ 이항으로 압축 가능
곱셈 · 나눗셈	❌ 이항 아님 (계수 처리)

Q. 이항할 때 항의 부호는 어떻게 되나요? (바뀐다 / 그대로)

Q. 3x = 7 에서 양변을 3으로 나누는 것은 이항인가요? (예 / 아니오)

5일차방정식의 풀이

🔑 일차방정식이란?

일차식으로 만든 방정식. 일반형은 ax + b = 0 (단, a ≠ 0)

💡 a ≠ 0 조건이 왜 필요할까?

a = 0이면 x항이 사라져서 더 이상 일차식이 아니에요. x가 살아있으려면 반드시 a ≠ 0!

🔮 ax + b = 0 풀이 2단계

① 상수항 b를 이항 → ax = −b

② 양변을 a로 나눔 → x = −b/a

예제 1 — 2x + 4 = 10

이항: 2x = 10 − 4 = 6

양변을 2로 나눔 → x = 3

예제 2 — 3x = 7

계수 3으로 양변을 나눔 (이항 아님!)

→ x = 7/3 (분수 답도 정상이에요)

🏆 헷갈리기 쉬운 구분 — 방정식이 맞나?

식	정체	이유
5x	단항식	등호가 없음
x + 2 > 5	부등식	등호가 아니라 부등호
3x + 5 = 2	일차방정식 ✅	등호 + 미지수 x(일차) 있음

Q. 2x + 4 = 10 의 해는?

Q. 3x = 7 의 해를 기약분수 a/b 꼴로 쓰면?

Q. ax + b = 0 에서 a는 반드시 무엇이 아니어야 하나요? (숫자만)

6괄호가 있을 때

🔑 아무리 복잡해도 기본은 같다!

괄호가 있으면 분배법칙으로 전개 → 동류항 정리 → 이항. 결국 똑같은 일차방정식이에요.

2(x + 3) = 3(x − 1)

① 전개: 2x + 6 = 3x − 3

② 이항: 2x − 3x = −3 − 6 → −x = −9

③ 양변에 −1 곱함 → x = 9

🚨 괄호 앞에 마이너스가 있으면 부호 다 뒤집힘!

−(x − 3) 을 전개하면 −x + 3. 괄호 안 부호가 모두 반전되니 항상 주의!

Q. 2(x + 3) = 3(x − 1) 의 해는?

Q. 괄호 앞에 마이너스가 있으면 괄호 안의 부호는 어떻게 되나요? (바뀐다 / 그대로)

7소수·분수 계수

계수가 소수 — 0.3x + 1 = 0.5x − 0.6

그대로 이항: 0.3x − 0.5x = −0.6 − 1 → −0.2x = −1.6

양변을 −0.2로 나눔 → x = 8

💡 소수, 꼭 정수로 바꿔야 할까?

정석은 양변에 10, 100을 곱해 정수 계수로 바꾸는 것. 소수가 복잡하지 않으면 그대로 암산해도 충분해요.

정수화하려면 등식의 성질로 양변에 10을 곱하면 됩니다: 3x + 10 = 5x − 6

계수가 분수 — (1/2)x − 1 = (1/3)x + 1

분모 2, 3의 최소공배수 6을 양변에 곱함: 3x − 6 = 2x + 6

이항: 3x − 2x = 6 + 6 → x = 12

🏆 목표는 암산! 하지만 서두르지 마세요

간단한 소수·분수는 정수화 없이 바로 이항해서 암산하는 게 더 빨라요. 많은 연습이 쌓여야 자연스러워지니 지금은 차근차근!

Q. 0.3x + 1 = 0.5x − 0.6 의 해는?

Q. (1/2)x − 1 = (1/3)x + 1 의 해는?

📕 오답노트 (본문에서 틀린 문제가 자동으로 모여요)

아직 틀린 문제가 없어요. 퀴즈를 풀어보세요!

🔓 연습문제 잠금 해제

아래 두 조건을 모두 채우면 기본·응용·심화 연습문제가 열려요.

✓본문 퀴즈 전부 채점하기 (0 / 16)
✓오답노트 확인하기 (위에서 '오답 정리 완료' 누르기)

✏️ 연습문제

기본 10문제를 모두 채점하면 응용이, 응용을 모두 채점하면 심화가 열려요. 음수는 −5 처럼 입력. 틀린 문제는 아래 연습 오답노트에 모입니다.

기본판별 · 이항 · 기본 풀이0 / 10

1.다음 중 [ ] 안의 수가 그 방정식의 해인 것은 몇 개인가?
ㄱ. x + 3 = −2 [−1] ㄴ. ²⁄₃x = 2 [3]
ㄷ. 3x − 4 = x [−2] ㄹ. 3x − 2 = 2x − 2 [0]

→ 대입해서 좌변과 우변이 같아지는지 확인할 것

2.등식의 성질에 대한 다음 설명 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. a = b 이면 a − 3 = b − 3 이다 ㄴ. 5a = 10b 이면 a = 2b 이다
ㄷ. a = 9 이면 a + (−2) = 5 이다 ㄹ. x − 4 = y − 2 이면 x − 2 = y 이다
ㅁ. a = 2b 이면 a − 1 = 2(b − 1) 이다

→ ㅁ은 우변을 전개해 보면 2b − 2 다

3.다음 중 이항을 바르게 한 것은 몇 개인가?
ㄱ. 5x − 2 = 3 → 5x = 3 + 2 ㄴ. −3x − 3 = 6 → 3x = 6 + 3
ㄷ. 3x + 7 = 4x → 3x − 4x + 7 = 0 ㄹ. 6x = 2x + 8 → 6x − 2x = 8
ㅁ. 5x − 3 = 8x − 6 → 5x − 8x = −6 + 3

→ 이항하면 부호가 바뀐다. 옮기지 않은 항의 부호까지 바꾸면 안 된다

4.일차방정식 7 − 3x = 2x + 22 의 해는?

5.일차방정식 3(x − 2) = 2x + 1 의 해는?

6.일차방정식 0.3x − 0.5 = 0.1x + 0.7 의 해는?

→ 양변에 10을 곱해 소수를 없앨 것

7.일차방정식 ^x⁄₂ − ^x−1⁄₃ = 1 의 해는?

→ 양변에 6을 곱할 때 모든 항에 곱해야 한다

8.다음 중 x 에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 것(항등식)은 몇 개인가?
ㄱ. 2x + 3 = 2x + 3 ㄴ. 3(x − 1) = 3x − 3
ㄷ. x + 1 = 2x ㄹ. 2(x + 2) = 2x + 2

9.일차방정식 −(2x − 5) = x − 1 의 해는?

→ 괄호 앞의 −는 안쪽 모든 항의 부호를 바꾼다

10.두 방정식 2x − 1 = 5 와 x + a = 1 의 해가 같을 때, 상수 a 의 값은?

→ a 가 없는 방정식부터 풀어 해를 구할 것

응용해가 같을 조건 · 항등식 · 해의 조건0 / 10

🔒 기본 10문제를 모두 채점하면 열려요.

1.일차방정식 ^7−x⁄₂ = 3(1.5 − x) 의 해는? (기약분수)

→ 1.5 를 분수 ³⁄₂ 로 바꾸면 통분이 쉬워진다

2.일차방정식 2(x − 3) = 5x + 3 의 근과 ^x⁄₂ = 2 의 근의 합은?

3.두 일차방정식 1 − ^x+a⁄₃ = ^x−2a⁄₂ 와 5x + 6 = 2x 의 해가 같을 때, 상수 a 의 값은?

→ a 가 없는 오른쪽 방정식부터 풀어 해를 구한 뒤 대입

4.일차방정식 0.2(x − a) − 0.5(x − 2) = 1 의 해가 x = −2 일 때, 상수 a 의 값은?

→ x = −2 를 먼저 대입하면 a 에 대한 방정식이 된다

5.두 방정식 0.5x + 3 = 1 과 k(x + 2) + 3 = 5 의 해가 서로 같을 때, 상수 k 의 값은?

6.등식 (2a + 7)x + 6 = 15x − (b − 3) 이 x 의 값에 관계없이 항상 성립할 때, a + b 의 값은?

→ 항등식이므로 x 의 계수끼리, 상수항끼리 각각 같다

7.일차방정식 ¹⁄₂x − ³⁄₂ = ¹⁄₄x 의 해가 일차방정식 a(x − 1) = 8 − 3x 의 해의 3배일 때, 상수 a 의 값은?

→ 왼쪽 방정식의 해를 먼저 구하고, 그 값을 3으로 나눈 것이 오른쪽의 해

8.소윤이가 일차방정식 5x + 3 = 6x − 12 에서 6을 잘못 보고 풀었더니 해가 x = 5 가 되었다. 소윤이는 6을 어떤 수로 잘못 보았는가?

→ 잘못 본 수를 □ 로 놓고 x = 5 를 대입

9.x 에 관한 일차방정식 3(11 − 2x) = k 의 해가 자연수일 때, 가능한 자연수 k 의 개수는?

→ x 를 k 에 대한 식으로 정리하면 x = ^33−k⁄₆. 이것이 자연수가 되어야 한다

10.x 에 관한 일차방정식 x − ¹⁄₅(x + 4a) = −4 의 해가 음의 정수일 때, 자연수 a 의 값을 모두 더하면?

→ 정리하면 x = a − 5. 음의 정수가 되는 자연수 a 를 모두 찾을 것

심화킬러 — 문자계수 · 조건부 해 · 역산0 / 10

🔒 응용 10문제를 모두 채점하면 열려요.

🔮 이 세트의 핵심 — 해를 구하는 게 아니라 조건을 다룬다

여기서부터는 "풀어서 x 를 구하시오"가 거의 없습니다. 대신 해에 조건이 붙거나(자연수·음의 정수), 계수 자리에 문자가 있거나, 누군가 잘못 풀었거나 합니다. 요령은 둘입니다 — ① 문자를 포함한 채로 끝까지 정리해 x = (a 에 대한 식) 꼴을 만든다. ② 문제가 무엇을 물었는지 다시 확인한다. a 를 구해 놓고 그대로 답으로 쓰는 실수가 이 세트에서 가장 많이 나옵니다.

🧩 준비 예제 — 해에 조건이 붙는 문제의 기본형

x 에 대한 일차방정식 ax = 6 의 해가 자연수가 되도록 하는 정수 a 를 모두 구하면?

STEP 1
a ≠ 0 이므로 양변을 a 로 나누면 x = ⁶⁄_a

STEP 2
x 가 자연수 → ⁶⁄_a 가 자연수 → a 는 6의 약수이면서 양수여야 한다

STEP 3
a = 1, 2, 3, 6 (이때 x = 6, 3, 2, 1)

정답
a = 1, 2, 3, 6 — 핵심은 x = (분수 꼴) 로 만든 뒤 분모를 약수로 보는 것

🧩 본 유형 — 우변이 음수일 때 (아래 1번 유형)

x 에 대한 일차방정식 ax + 5 = 2 의 해가 자연수가 되도록 하는 모든 정수 a 와, 그때의 해 x 를 구하면?

STEP 1
이항하면 ax = −3 → x = −³⁄_a

STEP 2
x 가 자연수(양수)인데 분자가 −3 이므로 a 는 음수여야 한다 — 여기서 부호를 놓치면 답이 반대로 나온다

STEP 3
a = −1, −3 → x = 3, 1

정답
a = −1, −3 (이때 x = 3, 1) — 문제가 a 를 물었는지 x 를 물었는지 반드시 확인할 것

1.x 에 대한 일차방정식 ax + 4 = −2 의 해가 자연수가 되도록 하는 모든 정수 a 에 대하여, 그때의 해 x 를 모두 더하면?

→ 위 본 유형 풀이 참고. 묻는 것은 a 의 합이 아니라 해 x 의 합이다

2.x 에 대한 일차방정식 x − ^3x+a⁄₄ = a + 5 의 해가 x = 5 일 때, 그 상수 a 에 대하여 방정식 a(x − 1) = x + 7 의 해는?

→ 먼저 a 를 구한 다음, 그 a 를 넣은 새 방정식을 다시 풀어야 한다

3.두 일차방정식 (x − 3) : 12 = ^2x−3⁄₄ : 3 과 3(x − 2) = a 의 해의 차가 5 일 때, 가능한 모든 상수 a 의 값의 합은?

→ 비례식은 외항의 곱 = 내항의 곱. 차가 5이므로 두 경우가 나온다

4.등식 (a − 2)x + 3b = 5x + b − 8 이 x 의 값에 관계없이 항상 성립할 때, a × b 의 값은?

→ 상수항을 비교할 때 b 가 양변에 모두 있다는 점에 주의

5.세 수 a, b, c 에 대하여 a + b + c = 12 일 때, x 에 대한 일차방정식
^x⁄_a + ^x⁄_b + ^x⁄_c − 3 = ^b+c⁄_a + ^a+c⁄_b + ^a+b⁄_c 의 해를 구하면? (단, abc ≠ 0)

→ 우변의 b + c 를 12 − a 로 바꿔 보면 양변이 같은 꼴로 보인다

6.어떤 학생이 일차방정식 4(x − a) = 3x + 2 에서 괄호를 풀지 않고 4x − a = 3x + 2 로 잘못 계산하여 해 x = 9 를 얻었다. 이 방정식의 바른 해는?

→ 잘못된 식으로 a 를 먼저 구한 뒤 원래 식에 넣어 다시 풀 것. a 가 답이 아니다

7.x 에 관한 방정식 (a − 3)x = 2(a − 3) 에 대하여 다음 설명 중 옳은 것은 몇 개인가?
ㄱ. a = 3 이면 해가 무수히 많다 ㄴ. a = 5 이면 해는 x = 2 이다
ㄷ. 해가 없게 되는 a 의 값이 존재한다 ㄹ. a ≠ 3 이면 a 의 값과 관계없이 해는 항상 같다

→ 양변을 (a − 3) 으로 나눌 수 있는 경우와 없는 경우를 나누어 볼 것

8.일차방정식 0.3(x − 1) − ^2x−1⁄₅ = 0.1x − ¹⁄₂ 의 해는?

→ 소수와 분수가 섞이면 양변에 10을 곱해 한 번에 정리하는 것이 빠르다

9.일차방정식 3(2x − a) = 5x + 12 에서 어떤 학생이 a 를 4 로, 12 를 b 로 잘못 보고 풀어 해 x = 6 을 얻었다. 원래 방정식의 해가 x = 15 일 때, b 의 값은?

→ 원래 식과 잘못 본 식을 각각 따로 세울 것. 원래 식에서 a 부터 구한다

10.일차방정식 ^x−1⁄₂ − ^x−2⁄₃ + ^x−3⁄₄ = ^x−4⁄₆ 의 해는? (기약분수)

→ 분모 2, 3, 4, 6 의 최소공배수 12 를 양변에 곱할 것

📒 연습 오답노트 (연습문제에서 틀린 문제)

아직 틀린 문제가 없어요.